DiVM / DiVM / 12_116608_1_52628

Определение. СЕ называется дополнением множества А относительно множества Е, если А Е и CЕ = Е \ A.

A E

Для множеств А, В и С справедливы следующие соотношения:

Пример. Исходя из определения равенства множеств и операций над множествами, доказать тождество и проверить его с помощью диаграммы Эйлера - Вейна.

A\ B A\ (A B)

Из записанных выше соотношений видно, что

A\ (A B) (A\ A) (A\ B) (A\ B)= A \ В

Что и требовалось доказать.

Для иллюстрации полученного результата построим диаграммы Эйлера – Вейна

91

A B

Пример. Исходя из определения равенства множеств и операций над множествами, доказать тождество.

A \ (B C) = (A \ B) (A \ C)

Если некоторый элемент х А \ (В С), то это означает, что этот элемент принадлежит множеству А, но не принадлежит множествам В и С.

Множество А \ В представляет собой множество элементов множества А, не принадлежащих множеству В.

Множество А \ С предсталяет собой множество элементов множества А, не принадлежащих множеству С.

Множество (A \ B) (A \ C) представляет собой множество элементов, которые принадлежат множеству А, но не принадлежат ни множеству В, ни множеству С.

Таким образом, тождество можно считать доказанным.

2. ОТНОШЕНИЯ И ФУНКЦИИ

Определение. Упорядоченной парой (a, b) двух элементов a и b

называется множество {{a},{a, b}}.

Для любых элементов a, b, c, d справедливо соотношение:

(a,b) (c,d) a c b d;

Определение. Декартовым произведением множеств А и В называется множество всех упорядоченных пар (a, b), где а А, b B.

Декартово произведение п равных множеств А будет называться п – й декартовой степенью множества А и обозначаться Аn.

92

Определение. n – мерным отношением R на непустом множестве А называется подмножество Аn. Если R – n – мерное отношение на множестве А и (а1,а2,…аn) R, то говорят, что отношение R выполняется для элементов а1,а2,…аn и записывают R а1а2…аn. Если n = 2, то такое отношение называется

бинарным.

Для бинарного отношения вместо общей записи Ra1a2 применяют запись

а1Ra2.

Свойства бинарных отношений.

Определение. Произведением двух бинарных отношений R и S, заданных на множестве А, называется множество

(x, y) z(z A) (x,z) R (z, y) S

Знак называется штрих Шеффера и обозначает антиконъюнкцию.

Определение. Обратным (инверсным) отношением к отношению R,

заданному на множестве А, называется отношение R-1, определяемое равенством:

R 1 (x, y)(y,x) R

Если R, S и T – бинарные отношения на множестве А, то выполняются следующие равентсва:

Алгебраические структуры.

Определение. На множестве А определена алгебраическая операция,

если каждым двум элементам этого множества, взятым в определенном порядке, однозначным образом поставлен в соответствие некоторый третий элемент из этого же множества.

Примерами алгебраических операций могут служить такие операции как сложение и вычитание целых чисел, сложение и вычитание векторов, матриц, умножение квадратных матриц, векторное умножение векторов и др.

Отметим, что скалярное произведение векторов не может считаться алгебраической операцией, т.к. результатом скалярного произведения будет число, и числа не относятся к множеству векторов, к которому относятся сомножители.

93

Определение. Множество А с определенной на нем алгебраической операцией (например, умножением) называется группой, если выполнены следующие условия:

1) для любых трех элементов a, b, c A выполняется свойство ассоциативности:

a(bc) (ab)c

2) в множестве А существует такой элемент е, что для любого элемента а из этого множества выполняется равенcтво:

ae ea a

3) для любого элемента а множества существует элемент а’ из этого же множества такой, что

aa a a e

Различные множества могут являться группой относительно какойлибо операции и не являться группой относительно другой операции.

Число элементов называется порядком группы.

Определение. Между элементами множеств M и N установлено

взаимно однозначное соответствие, если каждому элементу множества М поставлен в соответствие определенный элемент множества N, причем различным элементам одного множества соответсвуют различные элементы другого множества.

Определение. Две группы M и N называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответсвие, при котором для любых двух элементов a, b M и соответствующим им элементам a’, b’ N элементу

с = ab будет соответствует элемент c’ = a’b’.

При этом отображение группы М на группу N называется

гомоморфизмом.

Определение. Если операция, определенная в группе коммутативна, (т.е. для любых элементов a и b группы верно соотношение ab=ba), то такая группа называется коммутативной или абелевой группой.

Определение. Множество R с двумя определенными в нем алгебраическими операциями, сложением и умножением, называется кольцом, если относительно операции сложения оно является абелевой группой, а операция умножения дистрибутивна, т.е. для любых элементов a, b и с R справедливы равенства:

94

Если операция умножения, определенная в кольце коммутативна, то такое кольцо называется коммутативным кольцом.

Определение. Полем называется коммутативное кольцо, в котором для любого ненулевого элемента a 0 и любого элемента b существует единственный элемент х такой, что ax = b.

3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

Если из некоторого количества элементов, различных меду собой, составлять различные комбинации, то среди них можно выделить три типа комбинаций, носящих общее название – соединения.

Рассмотрим подробнее эти три типа соединений:

1) Перестановки.

Определение. Если в некотором множестве переставлять местами элементы, оставляя неизменным их количество, то каждая полученная таким образом комбинация называется перестановкой.

Общее число перестановок из m элементов обозначается Pm и вычисляется по формуле:

Pm m!

2) Размещения.

Определение. Если составлять из т различных элементов группы по n элементов в каждой, располагая взятые элементы в различном порядке. Получившиеся при этом комбинации называются размещениями из т элементов по п.

Общее число таких размещений расчитывается по формуле:

Вообще говоря, перестановки являются частным случаем размещений.

3) Сочетания.

Определение. Если из т элементов составлять группы по п элементов в каждой, не обращая внимания на порядок элементов в группе, то получившиеся при этом комбинации называются сочетаниями из т элементов по п.

95

Общее число сочетаний находится по формуле:

Также одним из вариантов комбинаций являются перестановки с повторяющимися элементами.

Если среди т элементов имеется т1 одинаковых элементов одного типа, т2 одинаковых элементов другого типа и т.д., то при перестановке этих элементов всевозможными способами получаем комбинации, количество которых определяется по формуле:

Пример. Номер автомобиля состоит из трех букв и трех цифр. Сколько различных номеров можно составить, используя 10 цифр и алфавит в 30 букв.

Очевидно, что количество всех возможных комбинаций из 10 цифр по 4

равно 10.000.

Число всех возможных комбинаций из 30 букв по две равно

А302 30 29 870.

Если учесть возможность того, что буквы могут повторяться, то число повторяющихся комбинаций равно 30 (одна возможность повтора для каждой буквы). Итого, полное количество комбинаций по две буквы равно 900.

Если к номеру добавляется еще одна буква из алфавита в 30 букв, то количество комбинаций увеличивается в 30 раз, т.е. достигает 27.000 комбинаций.

Окончательно, т.к. каждой буквенной комбинации можно поставить в соответствие числовую комбинацию, то полное количество автомобильных номеров равно 270.000.000.

Бином Ньютона. (полиномиальная формула)

В дальнейшем будет получена формула бинома Ньютона с помощью приемов дифференциального исчисления.

Бином Ньютона – это формула, выражающая выражение (a + b)n в виде многочлена. Эта формула имеет вид:

n

(a b)n an Cn1an 1b Cn2an 2b2 ... bn Cni an ibi

i 0

96

Cnk - число сочетаний из п элементов по k.

Широко известные формулы сокращенного умножения квадрата суммы и разности, куба суммы и разности, являются частными случаями бинома Ньютона.

Когда степень бинома невысока, коэффициенты многочлена могут быть найдены не расчетом по формуле количества сочетаний, а с помощью так называемого треугольника Паскаля. (Блез Паскаль (1623 – 1662) – французский математик).

Этот треугольник имеет вид:

1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

…………………

Формула бинома Ньютона может быть обобщена для произвольного числа слагаемых.

n1 n2 ... nk n

Напомним, что при вычислениях 0! принимается равным 1.

Пример. В разложении xk yp n найти члены, содержащие х , если k=3, p=2, n=8, =9.

n

По фомуле бинома Ньютона имеем: xk yp n Cni xk n i yp i

i 0

C учетом числовых значений:

8

x3 y2 8 C8i x3(8 i) y2i i 0

97

В принципе, можно написать разложение этого выражения в многочлен, определить коэффициеты либо непосредственно, либо из треугольника Паскаля (степень бинома сравнительно невелика), однако, делать это не обязательно, т.к. необходимо найти только член разложения,

Пример. В разложении (x y z w)m найти члены, содержащие x . т=9,

=6.

По обобщенной формуле бинома Ньютона получаем:

Для нахождения полного разложения необходимо определить все возможные значения ni, однако, это связано с громадными вычислениями. Однако, т.к. надо найти только члены, содержащие х6, то n1 = 6, а сумма всех четырех значений п равна 9. Значит, сумма п2 + п3 + п4 = 3.

Рассмотрим возможные значения этих величин:

Искомые члены разложения:

4. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

Математическая логика – разновидность формаьной логики, т.е. науки, которая изучает умозаключения с точки зрения их формального строения.

Определение. Высказыванием называется предложение, к которому возможно применить понятия истинно или ложно.

98

В математической логике не рассматривается сам смысл высказываний, определяется только его истинность или ложность, что принято обозначать соответственно И или Л.

Понятно, что истинные и ложные высказывания образуют соответствующие множества. С помощью простых высказываний можно составлять более сложные, соединяя простые высказывания союзами “и”, “или”.

Таким образом, операции с высказываниями можно описывать с помощью некоторого математического аппарата.

Вводятся следующие логические операции (связки) над высказываниями

1)Отрицание. Отрицанием высказывания Р называется высказывание, которое истинно только тогда, когда высказывание Р ложно.

Обозначается Р или P .

Соответствие между высказываниями определяется таблицами истинности. В нашем случае эта таблица имеет вид:

2) Конъюнкция. Конъюнкцией двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания.

Обозначается P&Q или Р Q.

3) Дизъюнкция. Дизъюнкцией двух высказываний P и Q называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.

Обозначается P Q.

99

Л Л Л

4) Импликация. Импликацией двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда высказывание Р истинно, а Q – ложно.

Обозначается P Q (или Р Q). Высказывание Р называется посылкой импликации, а высказывание Q – следствием.

5) Эквиваленция. Эквиваленцией двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинности высказываний совпадают.

Обозначается Р Q или Р Q.

С помощью этих основных таблиц истинности можно составлять таблицы истинности сложных формул.

Пример. С помощью таблиц истинности проверить, являются ли эквивалентными формулы и .

p (p r)

p (p r)

Составим таблицы истинности для каждой формулы:

100