DiVM / DiVM / 12_116608_1_52628

0.74

получим вектор x(1) 0.64 .

0.22

Далее можем определить второе собственное число

где i=1,2,…,n.

При вычислении собственных чисел подобным образом, будет накапливается ошибка. Данная методика позволяет приближенно оценить собственные значения матрицы.

41

5. ЗАДАЧА ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИИ

Постановка задачи. Пусть на отрезке [a,b] задана функция у= f(x) своими

громоздким и неудобным для математических преобразований (например, специальные функции). Кроме этого значения yi могут содержать ошибки эксперимента.

Определение. Точки x0 ,...,xn называются узлами интерполяции. Требуется найти аналитическое выражение функции F(x), совпадающей в

узлах интерполяции со значениями данной функции, т.е.

F(x0 ) y0,F(x1) y1,...,F(xn ) yn.

Определение. Процесс вычисления значений функции F(x) в точках отличных от узлов интерполирования называется интерполированием функции

f(x). Если х х0,xn , то задача вычисления приближенного значения функции в т. х называется интерполированием, иначе - экстраполированием.

Геометрически задача интерполирования функции одной переменной означает построение кривой, проходящей через заданные точки ( x0 ,y0 ),( x1,y1 ),...,( xn ,yn )(рисунок 5). То есть задача в такой постановке может иметь бесконечное число решений.

у

Рисунок 5 - Геометрическая иллюстрация задачи интерполирования функции

Задача становится однозначной, если в качестве F(x) выбрать многочлен степени не выше n, такой что:

Fn (x0 )=y0 , Fn (x 1 )=y1 ,..., Fn (xn )=yn .

42

Определение. Многочлен Fn (x), отвечающий вышеназванным условиям, называется интерполяционным многочленом.

Определение. Когда многочлен F(x) выбирается в классе степенных функций, то интерполяция называется параболической.

Знание свойств функции f позволяет осознанно выбирать класс G аппроксимирующих функций. Широко используется класс функций вида

являющихся линейными комбинациями некоторых базисных функций 0 (x),..., m(x). Будем искать приближающую функцию в виде многочлена степени m, с коэффициентами с 0 ,...,сm , которые находятся в зависимости от вида приближения. Функцию Фm(х) называют обобщенным многочленом по системе функций 0(х), 1(х),…, m(х), а число m – его степенью. Назовем обобщенный многочлен Фm(х) интерполяционным, если он удовлетворяет условию

Фm(хi)=yi, (i=0,1,…,n). (5.2)

Покажем, что условие (5.2) позволяет найти приближающую функцию единственным образом

Система (5.3) есть система линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов с0,с1,…,сm.

Эта система n линейных уравнений имеет единственное решение, если выполняется условие m=n и определитель квадратной матрицы Р

43

Без вывода приведем одну из форм записи интерполяционного многочлена Лагранжа

Определение. Этот многочлен называется интерполяционным многочленом Лагранжа и сокращенно записывается в виде

5.1.1 Оценка погрешности интерполяционного многочлена

Оценить погрешность интерполяционной формулы Лагранжа можно только тогда, когда известно аналитическое выражение интерполируемой функции, а точнее, если известно максимальное значение (n+1)-ой производной функции f(x) на отрезке [a,b]. Пусть

|Rn (x)| =| f(x) - Ln (x)|,

где Rn (x) –погрешность;

f(x)- точное значение функции в точке х;

Ln (x)- приближенное значение, полученное по полиному Лагранжа.

Рассмотрим теперь случай с равноотстоящими узлами. Тогда интерполяционная формула Лагранжа заметно упрощается. В этом случае шаг h=xi+1-xi=const. Введем в рассмотрение многочлен вида

45

x x0= q h ,

x x1= q h h h (q 1) ,

. . . . . . . . . . .

x xi = q h i h h (q i), x xn= q h n h h (q n).

Тогда многочлен Qi примет вид

Тогда интерполяционный многочлен Лагранжа для равноотстоящих узлов имеет вид:

На практике часто пользуются линейной и квадратичной интерполяцией. В этом случае формула Лагранжа имеет вид

при квадратичной интерполяции.

46

5.2 Интерполяционные полиномы Ньютона

5.2.1 Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов

Вычисление значений функции для значений аргумента, лежащих в начале таблицы удобно проводить, пользуясь первой интерполяционной формулой Ньютона. Для этого введем понятие конечной разности.

Определение. Конечной разностью перового порядка называется разность между значениями функции в соседних узлах интерполяции. Тогда конечные разности в точках х0,х1,…,хn-1

y0 y1 y0 f( x1 ) f( x0 ) f( x0 ),

Рассмотрим некоторые свойства конечных разностей. Вторая конечная разность в точке хi

2 yi f( xi 1 x) f( xi x) f( xi 1 ) f( xi )

.

f(xi 2 ) 2 f( xi 1 ) f( xi ) yi 2 2 yi 1 yi

Аналогично третья конечная разность

3 yi yi 3 3 yi 2 3 yi 1 yi .

Общее выражение для конечной разности n-го порядка имеет вид

47

n yi yn i C1n yn i 1 Cn2 yn i 2 ... ( 1)mCnm yn i m ...( 1)n yi ,

а вообще, конечная разность порядка m от конечной разности порядка n

m( ny) m ny .

Конечные разности n-го порядка от многочлена степени n - есть величина постоянная, а конечные разности n+1-го порядка равны нулю.

Для вычисления значений функции в начале таблицы требуется построить интерполяционный многочлен степени n такой, что выполнены условия интерполяции

Pn( x0 ) y0 ,...,Pn( xn ) yn .

В силу единственности многочлена степени n, построенного по n+1 значениям функции f(x) многочлен Pn (x), в конечном счете, совпадает с многочленом Лагранжа. Найдем этот многочлен в виде:

Pn(x) a0 a1 (x x0 ) a2(x x0 )(x x1 ) ... an(x x0 )...(x xn 1 ),

где аi(i=0,1,…, n) – неизвестные коэффициенты. Для нахождения а0 положим x x0 . Тогда P(x0 ) a0 , отсюда а0=у0.

многочлена Pn(x) в точке х.

Pn(x) Pn(x h) Pn(x) a0 a1(x x0 h) ... an(x x0 h) ...(x xn 1 h)

a0 a1(x x0 ) ... an(x x0 )...(x xn 1 ).

Врезультате преобразований получим

Pn( x) h a1 2ha2( x x0 ) ... n han( x x0 )...(x xn 1 ).

Вычислим первую конечную разность многочлена Pn(x) в точке х0

Чтобы определить коэффициент а2, составим конечную разность второго порядка 2Pn( x) Pn( x h) Pn( x). Отсюда после преобразования получим

a2 2y0 . Вычисляя конечные разности более высоких порядков и полагая

2! h2

48

х=х0, придем к общей формуле для определения коэффициентов:ai i y0 i! hi

(i=0,1,2,…,n).

Подставим значения ai в многочлен, в результате получим первую интерполяционную формулу Ньютона:

pn(x) y0 y0 (x x0 ) ... ny0 (x x0 )...(x xn 1). 1!h n!hn

Первую интерполяционную формулу можно записать в том виде, в котором ее удобнее использовать для интерполирования в начале таблицы. Для этого введем переменную q=(x-x0)/h, где h-шаг интерполирования, а q-число шагов. Тогда первая формула примет вид

Pn(x) y0 q y0 q(q 1) 2y0 ... q(q 1)...(q n 1) ny0.

2! n!

5.2.2 Вторая интерполяционная формула Ньютона

Эта формула используется для интерполирования в конце таблицы. Построим интерполяционный многочлен вида

Pn(x) a0 a1(x xn ) a2(x xn )(x xn 1 ) ... an(x xn )...(x x1 ).

Неизвестные коэффициенты а0,а1,…,аn подберем так, чтобы были выполнены равенства Pn( x0 ) y0 ,Pn( x1 ) y1,...,Pn( xn ) yn . Для этого

необходимо и достаточно, чтобы i Pn (xn i ) iyn i (i=0,1,…,n).

В случае, если положить x xn , то сразу определяется коэффициент

а0

Pn (x) yn a0 .

Из выражения для первой конечной разности найдем a1 :

Pn(x) 1 ha1 2 ha2(x xn 1 ) ... n han(x xn 1)(x xn 2 )...(x x1 ).

49

Отсюда, полагая х=хn-1 получим a1 yn 1 . Из выражения для второй h

конечной разности найдем а2: a2 2 yn 2 . Общая формула для коэффициента аi

2!h2

имеет вид ai i yn i . i!hi

Подставим эти коэффициенты в формулу многочлена и получим вторую интерполяционную формулу Ньютона:

Pn(x) yn yn 1 (x xn ) ... ny0 (x xn )...(x x1 ).

h n!hn

На практике используют формулу Ньютона в другом виде. Положим q=(x-xn)/h. Тогда

Pn(x) yn q yn 1 q(q 1) 2yn 2 ... q(q 1)...(q n 1) ny0. 2! n!

5.3 Интерполирование сплайнами

Многочлен Лагранжа или Ньютона на всем отрезке a,b с использованием большого числа узлов интерполирования часто приводит к плохому приближению, что объясняется накоплением погрешностей в ходе вычислений. Кроме того, из-за расходимости процесса интерполирования увеличение числа узлов не обязано приводить к повышению точности вычислений. В силу вышесказанного на практике весь отрезок a,b разбивается на частичные интервалы и на каждом из них приближающая функция f (x) заменяется многочленом невысокой степени. Такая интерполяция называется кусочно-полиномиальной интерполяцией.

Определение. Сплайн - функцией называют кусочно-полиномиальную функцию, определенную на отрезке a,b и имеющую на этом отрезке некоторое число непрерывных производных.

Слово сплайн означает гибкую линейку, которую используют для проведения гладких кривых через определенное число точек на плоскости. Преимущество сплайнов - сходимость и устойчивость процесса вычисления. Рассмотрим частный случай (часто используемый на практике), когда сплайн определяется многочленом третьей степени.

5.3.1 Построение кубического сплайна

50