DiVM / DiVM / 12_116608_1_52629

2

Лабораторная работа № 1. Решение систем линейных алгебраических уравнений

Метод Гаусса.

Входные параметры: n—целое положительное число, равное порядку n системы; а — массив из nхn действительных чисел, содержащий матрицу коэффициентов системы (а(1) = а11, а(2) = a12…а(n) = аn1, а(n + 1) = а12, .... а(nх n) = аnn); b — массив из n действительных чисел, содержащий столбец свободных членов системы (b(1) = b1, b(2)=b2,…b(n)=bn).

Выходные параметры: b—массив из n действительных чисел (он же входной); при выходе из программы содержит решение системы b(l) = x1, b(2) = x2, … b(n) = хn; error—признак правильности решения (код ошибки): если ks = 0, то в массиве b содержится решение системы, если error= 1, исходная система

а(n+1) = а12, а(n+2) = а22… а(n x n) = аnn. b(1) = b1, b(2)=b2,…b(n)=bn

4.проверить соответствие фактических параметров по типу и порядку следования формальным параметрам подпрограммы SIMQ. Параметры а и b - величины вещественного типа, n и error - целого типа.

Задание. Используя программу SIMQ, решить заданную систему трех линейных уравнений. Схема алгоритма приведена на рисунке 1.

Порядок выполнения лабораторной работы:

1.Составить головную программу, содержащую обращение к SIMQ и печать результатов;

2.Произвести вычисления на ЭВМ.

Пример. Решить систему уравнений

x1 x2 x3 6

x1 x3 2x1 2x2 x3 8

3

Рисунок 1 – Схема алгоритма метода Гаусса

4

Текст программы:

PROCEDURE SIMQ(Nn:Integer;Var Aa:TMatr;Var Bb:TVector;Var Ks:Integer); Label M1;

Const Eps=1e-21;

Var Max,U,V : Real; I,J,K1,L : Integer; Begin

For I:=1 To Nn Do Aa[i,Nn+1]:=Bb[i]; For I:=1 To Nn Do

Begin

Max:=Abs(Aa[i,i]); K1:=I; {запоминает номер строки с максимальным элементом}

For L:=I+1 To Nn Do If (Abs(Aa[l,i])>Max) Then Begin

Max:=Abs(Aa[l,i]); K1:=L;

End;

For J:=I To Nn+1 Do {обмен местами элементов строк с максимальным элементом}

Begin U:=Aa[i,j]; Aa[i,j]:=Aa[k1,j]; Aa[k1,j]:=U;

End;

V:=Aa[i,i]; {элемент на главной диагонали, являющийся максимальным } For J:=I To Nn+1 Do Aa[i,j]:=Aa[i,j]/V;

For L:=i+1 To Nn Do {все последующие строки после строки с максимальным элементом}{при I=1: L=2 (2,2),(2,3)..(2,Nn+1)

End;

End;

Bb[nn]:=Aa[Nn,Nn+1]; {находим n-ый элемент решения}

For I:=Nn-1 Downto 1 Do {находим в обратном порядке все элементы решения}

Begin Bb[i]:=Aa[i,nn+1];

For J:=I+1 To Nn Do Bb[i]:=Bb[i]-Aa[i,j]*Bb[j];

End;

M1:End;

Вычисления по программе привели к следующим результатам: X(1)= .100000E+01 Х(2)= .200000Е+01 Х(3)= .З00000Е + 01

признак выхода 0

5

Варианты заданий для решения систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса приведены в таблице 1.

Метод квадратных корней Холецкого

Входные параметры: n—целое положительное число, равное порядку n системы; а — массив из n х n действительных чисел, содержащий матрицу коэффициентов системы (а(1) = а11, а(2) = a12…а(n) = аn1, а(n + 1) = а12, .... а(n х n) = аnn); b — массив из n действительных чисел, содержащий столбец свободных членов системы (b(1) = b1, b(2)=b2,…b(n)=bn).

Выходные параметры: b—массив из n действительных чисел (он же входной); при выходе из программы содержит решение системы b(l) = x1, b(2) = x2, … b(n) = хn; p—количество операций.

Схема алгоритма приведена на рисунке 2.

Пример. Решить систему уравнений

x1 x2 x3 6

x1 x3 2x1 2x2 x3 8

Текст программы:

Procedure Holets(n:integer;a:TMatr;b:TVector;var x:TVector;var p:integer); Var i,j,k:integer; a11:real;

Begin Out_Slau_T(n,a,b); For i:=1 To n Do Begin

If i<>1 Then Begin If a[i,i]=0 Then Begin

p:=0; error:=2; MessageDlg('!!!!',mtError,[mbOk],0); Exit; End;

a[1,i]:=a[1,i]/a[1,1];

End;

For j:=1 To i Do Begin For k:=1 To j-1 Do Begin a[i,j]:=a[i,j]-a[i,k]*a[k,j]; End;

For i:=1 To n Do Begin

For j:=1 To i-1 Do b[i]:=b[i]-a[i,j]*b[j]; If a[i,i]=0 Then Begin

p:=0; error:=2; MessageDlg('!!!!',mtError,[mbOk],0); Exit; End;

b[i]:=b[i]/a[i,i];

End;

For i:=n DownTo 1 Do Begin

For j:=n DownTo i+1 Do b[i]:=b[i]-a[i,j]*b[j];

6

End;

x:=b;

p:=2*n*n;

End;

Вычисления по программе привели к следующим результатам: X(1)= .100000E+01 Х(2)= .200000Е+01 Х(3)= .З00000Е + 01

A

Рисунок 2 - Схема алгоритма метода Холецкого

7

Варианты заданий. Решить систему линейных уравнений вида Ах=b. [1] Таблица 1

8

Лабораторная работа № 2. Приближение функций

Интерполяционный полином Лагранжа

Входные параметры: N - число узлов интерполяции; y - массив размерности n, содержащий значения функции в узлах интерполяции; x-массив размерности n, содержащий значения узлов интерполяции; q-точка в которой вычисляем значения функции интерполяции.

Выходные параметры: приближенное значение функции в точке q; графическая интерпретация результата.

Схема алгоритма приведена на рисунке 3.

Задание. Аппроксимировать табличную функцию с помощью интерполяционного полинома Лагранжа.

Текст программы:

function Lagran(n:integer;x,y:TVector;q:real):real; var i,j:integer; l,s:real;

begin L:=0;

for i:=1 to n do begin s:=1; for j:=1 to N do if j<>i then

s:=s*(q-x[j])/(x[i]-x[j]); L:=L+y[i]*s;

end;

Lagran:=l end

Вычисления по программе привели к следующим результатам:

9