Пример
На рис. представлены стандартная финитная функция и базис из сдвигов этой функции для n=4, p=2, N=7
07/02/19 |
11 |
Теорема Стренга-Фикса (один из вариантов)
Допустим, что |
u W2s 1, |
W2s |
и существует преобр. Фурье |
||||||||||||||||||||||||||||
) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
j x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
) |
j x |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( x) |
|
|
|
|
|
( )e |
|
|
d . |
||||
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
( x)e |
|
|
dx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(0) 0 |
|
d m (2 i) |
0 |
|
i |
0, i ; |
|
|
0 m s |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dxm |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Тогда существуют такие a1...aN |
|
, что при |
|
|
|
h 0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
p x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
s 1 m |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
u u |
|
|
|
|
|
|
|
u ak |
k |
|
|
|
|
Ch |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
W2 |
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Наличие такой центральной теоремы, а также еще ряда доказанных Стренгом-Фиксом теорем, в частности о существовании функций,
удовлетворяющих условиям (6.7), дает алгоритм для построения
базисных |
финитных |
функций, |
обладающих |
необходимыми |
аппроксимационными свойствами |
|
12 |
||
07/02/19 |
|
|
||
В-сплайны и некоторые наиболее часто используемые базисы
Шенберг предложил один интересный класс функций, удовлетворяющих условию теоремы Стренга-Фикса
Функцию |
s (x) |
называют В-сплайном (Шенберга) степени |
||
s=0,1,…, если ее преобразование Фурье имеет вид |
||||
|
) |
sin( / 2) |
s 1 |
|
|
|
|||
|
s ( ) |
/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
Как легко заметить, это преобразование удовлетворяет всем условиям теоремы.
07/02/19 |
13 |
Базис из ступенек
В-сплайн степени s=0
|
|
1 |
|
sin( / 2) |
|
|
0, |
|
x |
|
|
0,5, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0.5 |
|
|
|
j x |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0 |
( x) |
|
|
e |
|
d |
|
|
|
|
|
|
2 |
/ 2 |
|
|
x |
|
0,5. |
||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1, |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
07/02/19 |
14 |
Базис из ступенек
базис представляет собой набор сдвигов стандартной ступеньки
|
0 |
u |
N |
(x) |
, а |
0.5 |
|
|
|
функция(x) |
представляет собой разрывную |
|||
ступенчатую функцию (N=n). Аппроксимация по норме |
||||
0 |
|
1 |
|
|
|
. Такойo(h ) базис может быть выбран в |
|||
W2 |
|
|||
имеет порядок |
||||
качестве второго базиса |
при использовании метода Галеркина- |
|||
Петрова |
|
|
|
|
f 
a |
xk |
b |
x |
07/02/19 |
15 |
Базис из крышек
В-сплайн степени s=1:
1( x) 0 ( x) 0 ( x)
) |
sin( / 2) |
||
1 |
( ) |
|
|
|
/ 2 |
||
|
|
||
2 |
) |
) |
|
|
( ) |
||
|
0 |
( ) 0 |
|
|
|
|
|
0 ( y) 0 ( x y)dy
|
|
0, |
|
|
x |
|
1, |
|
|
|
|
|
|||
1 |
(x) |
x 1, 1 |
|
x |
|
0, |
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x, |
0 x 1. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аппроксимация по норме |
W |
0 |
имеет второй порядок |
2 |
||||
• |
по норме |
W21 |
|
- первый |
07/02/19 |
16 |
Аппроксимация ломаной
f |
x |
07/02/19 |
17 |
В-сплайн степени s=3
получается сверткой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
(x) 1(x) 1(x) 1( y) 1(x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
x |
|
2, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
(2 x)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
, |
1 x 2, |
|||
|
|
32 |
|
6 |
|||||
|
|
(x) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 1 3(1 x) 3(1 x)2 3(1 |
||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( x), |
|
|
x 0. |
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
y)dy
x)3 , 0 x 1,
3 3 |
3 |
0 |
o(h4 ) |
|
Аппроксимация кубической параболой
07/02/19 |
18 |
Атомарные функции
Класс бесконечно-дифференцируемых функций, удовлетворяющих условиям теории Стренга-Фикса как естественное обобщение В- сплайнов, был введен в 1971 г В.Л. Рвачевым. и В.А Рвачевым.
|
|
1 |
|
|
sin( / 2i ) |
|
|
up( x) |
|
|
|
|
|
e j xd |
|
2 |
/ 2 |
i |
|||||
|
|
i 1 |
|
|
|||
up(x) 1 up(1 x) |
|||||||
dup(x) |
2 up(2x 1) up(2x 1) |
||||||
dx |
|
|
|
|
|
|
|
07/02/19 |
19 |
Эрмитовы базисы
Чтобы сохранить точность при фиксированном p=1, вводят на одном носителе не одну, а несколько линейно независимых, ортогональных стандартных финитных функций, например таких
0, x 1,
1(x) (1 x)3 (1 3x 6x2 ), 0 x 1,
1( x), 1 x 01
2 (x)
u2 N
|
0, |
|
|
x |
|
1, |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
(1 |
3,5x), 0 |
|||||
x(1 |
x) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 ( x), 1 x 0 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
N |
|
|
|
x hk |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
a |
|
|
|
|
b |
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|||||||||||
|
k |
1 |
|
h |
|
k |
|
|||||||
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x 1,
|
|
|
|
0, |
|
(0) |
1 |
|
|
12 ( 1) 12 |
( 1) 12 ( 1) |
2 |
|||||
x hk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
o(h |
4 |
) |
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
ak ; u(xk ) |
bk ; u (xk ) |
20 |
07/02/19 |
|