- •Тема 2.
- •Поля физических величин
- •Математическая модель поля
- •Прямая полевая задача
- •Градиент скалярной функции
- •Векторное поле u ux ( x, y)x0 uy ( x, y) y0
- •Дивергенция векторного поля
- •Ротор векторного поля
- •Лапласиан от скалярного поля
- •Классификация полей
- •Интегральные теоремы
- •Интегральные теоремы
- •Обратная полевая задача
- •уравнения математической физики
- •Краевые задачи
- •Конец темы
Тема 2.
Уравнения математической физики
Поля физических величинМатематическая модель поляПрямая полевая задачаОбратная полевая задача
02.07.19 |
1 |
Поля физических величин
Любое физическое явление или процесс представляет собой распределение и изменение каких-либо физических величин (скалярных, векторных, тензорных) в некоторой области пространства и во времени.
Распределение некоторой величины в пространстве и во времени получило название поле.
Такие поля окружают нас: температурное поле, электромагнитное поле, поле скоростей, поле вероятности.
Основной задачей теоретической физики, а так же многих технических приложений является исследование полей физических величин, (полевые задачи).
Для их исследований разработано огромное программное обеспечение.
02.07.19 |
2 |
Математическая модель поля
•Математической моделью поля является функция нескольких переменных, обычно F ( x, y, z, t)
T(x, y, z), E (x, y, z,t), H (x, y, z,t), V (x, y, z,t), (x, y, z,t), ij (x, y, z)
•Поля бывают
скалярные
векторные
Тензорные (т.е.описывается несколькими векторами).
стационарные
Нестационарные
При исследовании полей выделяют две задачи – прямую и обратную
02.07.19 |
3 |
Прямая полевая задача
Задано поле F ( x, y, z, t) ; требуется установить характер этого поля, например быстроту его изменения от точки к точке.
Математическая теория поля занимается изучением дифференциальных и интегральных свойств различных полей.
Здесь для векторной |
u ux x0 uy y0 uz z0 |
|
|
и скалярной |
(x, y, z) |
функций введены операторы дифференцирования:
r |
, |
r |
r |
r |
, |
2 |
divu |
v |
rotu |
, v |
|
02.07.19 |
4 |
Линии уровня и градиент скалярной функции (x,y)=0.75x2+y2
02.07.19 |
5 |
Градиент скалярной функции
grad |
r |
|
r |
|
r |
x x0 |
y y0 |
z z0 |
•Характеризует направление наибольшего возрастания функции в каждой точке поля.
02.07.19 |
6 |
Векторное поле u ux ( x, y)x0 uy ( x, y) y0
y
y0
x0
x
7
Дивергенция векторного поля
|
r |
ux |
|
uy |
uz |
|
|
divu |
x |
|
|
z |
|
|
y |
|
||||
• |
Характеризует распределение в пространстве |
|
||||
|
источников векторного поля |
E( x, y) |
||||
• |
Например, источниками электрического поля |
|||||
|
являются заряды, положительные или |
|
||||
|
отрицательные. |
|
|
|||
• |
В этом случае |
divE ( x, y) дает |
|
распределение зарядов.
02.07.19 |
8 |
Ротор векторного поля
r |
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
uz |
|
|
y |
|
ux |
||||||||
|
uz |
|
|
r |
|
ux |
|
r |
|
|
|
|
||||||||
rot u |
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
z |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||||||||||
|
|
y |
|
z |
0 |
|
|
x |
0 |
|
|
|
y |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Характеризует завихрения векторного поля.
•Например известно, что при движении электронов, являющихся причиной тока вокруг него образуется вихревое магнитное поле.
• |
Так вот, если мы знаем распределение магнитного поля |
B( x, y) |
|
||
• |
тогда ротор от него rotB ( x, y) дает распределение токов. |
02.07.19 |
9 |
Лапласиан от скалярного поля
2 div ( ) |
2 |
|
2 |
|
2 |
x2 |
y2 |
z2 |
•Характеризует распределение источников скалярного поля
•Например имеется распределение температуры вдоль плоской пластины T(x,y).
•Градиент температуры указывает направление максимального
распространения тепла в данной точке q T ( x, y)
• |
Тогда div( T ) 2T qv ( x, y) |
|
• |
дает распределение мощности источников тепла |
qv ( x, y) |
• |
Зная распределение источников можно получить распределение |
температуры из уравнения: |
|
2 |
T |
|
2 |
T |
|
|
|
||
|
|
|
|
( x, y) |
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
q |
||||
|
|
|
|
y |
|
v |
|
||||
02.07.19 |
|
x |
|
|
|
|
|
10 |