k_r_№1
.pdf
Для исходной схемы (см. рис.1.12) определим токи:
I2 = Uab /R 2 =1.33 A,
I3 = Uac /R3 = 0,667 A,
I4 = Ucb /R 4 = 0,667 A.
На основании первого закона Кирхгофа для узла c:
I5 = I3 − I4 = 0;
для узла b:
I6 = I4 + I2 = 0,667 +1,33 = 2A;
Правильность решения проверим, составив баланс мощностей для исходной схемы:
E1I1 + I6E6 = I12R1 + I22R 2 + I32R3 + I34R 4 + I52R5 + I62R 6 ,
40 × 2 + 40 × 2 = 4 ×10 + (1,33)2 × 30 + (0,667)2 × 30 + 4 ×10 + 0 ×10, 160 =160
6 Метод эквивалентного генератора напряжения (тока)
Метод позволяет сложную электрическую схему с произвольным числом источников электрической энергии привести к схеме с одним источником, что упрощает расчет.
Существует два варианта метода: вариант с источником напряжения и вариант с источником тока.
6.1. Метод эквивалентного генератора напряжения (МЭГН)
Для того чтобы определить ток в произвольной ветви схемы (рис.1.15,а) данным методом, необходимо:
а) Электрическую цепь,
к которой подключена данная ветвь, заменить
эквивалентным
источником напряжения, величина
которого определяется напряжением на выходах разомкнутой ветви аb, а внутреннее
сопротивление источника равняется
входному сопротивлению пассивной электрической цепи со стороны выводов а и b при разомкнутой ветви аb. Напряжение на зажимах аb определятся любым, ранее изученным методом (рис.1.15, б), т.к. для определения напряжения R H
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
исключается, то напряжение эквивалентного генератора называют напряжением холостого хода и обозначают Uabxx .
При определении внутреннего сопротивления источника напряжения (рис.1.15, в) необходимо ветви, содержащие источники тока, разорвать, т.е. исключить все элементы, находящиеся в таких ветвях, а источники напряжения закоротить, т.е. на место источников напряжения включить перемычки, б) Определить искомый ток по формуле
IH = Uabxx /(R Г + RH ).
ПРИМЕР 6. Определить ток в ветви с R 4 (рис.1.16) МЭГН, если
R1 = R2 = R3 = R4 =100 Ом,
R5 = R6 = 50 Ом,
E1 =100 B,
J06 = 2 A.
РЕШЕНИЕ. а) Определим ЭДС эквивалентного генератора напряжения, равную
Uabxx (рис.1.17).
Исходная схема распалась на две одноконтурные схемы, токи которых равны:
I1 |
= |
|
E1 |
= |
|
100 |
= 0,5A; |
||
R1 |
+ R 2 |
100 |
+100 |
||||||
|
|
|
|
||||||
I6 = J06. |
|
|
|
|
|
||||
Ток в сопротивлении R3 равен нулю. Определим напряжение Uabxx :
Uabxx = I1R2 + I3R3 + I6R5 = 0,5 ×100 + 0 ×100 + 2 × 50 =150 B.
Для определения R Г источник ЭДС E1 заменим его внутренним сопротивлением (т.к. R1ВН = 0 , то на месте E1 включим перемычку), ветвь с источником J06 разорвём. (рис.1.18):
R Г = R5 + R3 + |
R1R 2 |
= 50 +100 + |
|
100 ×100 |
= 200 Ом. |
|
R1 + R 2 |
100 +100 |
|||||
|
|
|
||||
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
б) Определим ток I4 :
I4 = Uabxx/(RГ + R4 ) =150/(200 +100) = 0,5A.
6.2. Метод эквивалентного генератора тока (МЭГТ)
Для того чтобы определить ток в произвольной ветви схемы МЭГТ (рис.1.19, а), необходимо:
а) Электрическую цепь, к которой подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником тока; ток эквивалентного источника должен быть равен току, проходящему между выводами m и n (рис.1.19, в), замкнутыми накоротко, а внутренняя проводимость источника УГ должна равняться
входной проводимости пассивной электрической цепи (рис.1.15, с) со стороны выводов m и n.
б) Определить искомый ток в ветви по формуле
IH = RГImnkз/(R Г + R H ) = YHImn /(YH + YГ ),
где
YH =1/R H .
ПРИМЕР 7. Определить ток в ветви с R3 МЭГТ (рис.1.20), если: E1 =10B ,
R1 = R3 = 10 Ом, J02 = 1A.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
РЕШЕНИЕ. а) Определим ток короткого замыкания в ветви при условии замены сопротивления R3 перемычкой (рис.1.21). Используя метод наложения (см. п. 4), определим ток Inmkз . При воздействии только источника напряжения
E1
I'mnкn = E1/R1 =1A,
при воздействии только источника тока J02 : I'mnk3' = J02 =1A.
Сумма частичных токов I'mnk3 и I'mnk3' даст общий ток
Imnk3 = I'mnk3 + I'mnk3' = 2 A.
Для того чтобы определить RГ исключим из схемы источник напряжения E1 и источник тока J02 (рис.1.22).
RГ = R1 =10 Ом; ϕГ = 0,1Ом
б) Определим ток I3 :
I3 = Ik3RГ/(RГ + RH ) = 2 ×10/(10 + 10) =1A,
или
I3 = Ik3YH /(YH + YГ ) = 2 × 0,1/(0,1 + 0,1) =1A.
УКАЗАНИЯ К РАСШИФРОВКЕ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1
Контрольная работа подготовлена с помощью ЭВМ для каждого студента индивидуально. Расшифровка исходных данных для построения исходной схемы пояснена на следующем примере.
Исходные денные варианта:
Номер ветви |
Начало-конец |
Сопротивление, |
Источники |
Источники |
|
Ом |
ЭДС, В |
тока, А |
|||
|
|
||||
1 |
34 |
160 |
0 |
0 |
|
2 |
45 |
620 |
500 |
3 |
|
3 |
52 |
250 |
0 |
0 |
|
4 |
26 |
540 |
0 |
4 |
|
5 |
61 |
430 |
0 |
0 |
|
6 |
13 |
340 |
0 |
0 |
|
7 |
53 |
450 |
0 |
0 |
|
8 |
46 |
520 |
200 |
0 |
1. Расположить шесть узлов цепи в указанном порядке и в соответствии с вариантом задания соединить их ветвями (рис.1.23).
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
2.Перерисовать полученный граф схемы, изменив расположение узлов таким способом, чтобы ветви не пересекались (рис.1.24).
3.Включить в ветви сопротивления и заданные ЭДС. Источники тока подключить параллельно соответствующим ветвям (рис.1.25).
4.Придать элементам схемы удобное расположение. Обозначить положительные направления источников ЭДС, источников тока и токов ветвей.
Положительные направления определяются индексами начального и конечного узлов, к которым присоединена ветвь. Всем сопротивлениям, источникам и токам ветвей присвоить номера соответствующих ветвей (рис.1.26).
Расчет схем заключается в определении токов во всех ветвях схемы, определении напряжения между узлами, указанными в задании, составлении баланса мощностей в цепи, определении тока в заданном сопротивлении методом эквивалентного генератора.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ПРИМЕР РАСЧЕТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1
1.Расчет токов методом преобразования
На схеме рис.1.26 преобразуем источник тока J04 в источник
напряжения E04 .
E04 = J04 × R4 = 540 × 4 = 2160B,
источник тока J02 в источник напряжения E02 :
E02 = J02 × R2 = 620 × 3 =1860B,
а также объединим последовательно включенные
сопротивления R5 , R6
и R4 , R3 :
R56 = R5 + R6 = 770 Ом,
R43 = R4 + R3 = 790 Ом.
Полученная схема показана на рис.1.27. На этой схеме объединим источники напряжения E2 и E02 :
E'2 = E2 + E02 =1860 + 500 = 2360B.
Чтобы сделать треугольник 6-3-5 пассивным, преобразуем источник напряжения E04 в источник тока J43 :
J43 = E04 = 2160 = 2,743 A. R43 790
Пассивный треугольник 6-3-5 преобразуем в пассивную звезду (рис.1.28),
где
R437 |
= |
|
|
|
R43R7 |
|
=176,86 Ом; |
||
|
R43 |
+ R7 + R56 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
R4356 |
= |
|
|
R43R56 |
|
|
= 302,64 Ом; |
||
|
R43 |
+ R7 + R56 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
R 567 = |
|
|
|
R 56 R 7 |
|
=172,39 Ом. |
|||
R 43 |
+ R 7 + R 56 |
|
|||||||
|
|
|
|
||||||
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Источник тока J43 преобразуем в источник напряжения E437 и E4356 :
E437 = J43R437 = 2,734 ×176,86 = 483,54 B;
E4356 = J43R4356 = 2,734 × 302,64 = 837,42 B;
В результате этих преобразований схема будет иметь следующий вид (рис.1.29):
С цепью дальнейшего упрощения схемы объединим источники напряжения и сопротивления:
E′8 = E8 − E4356 = −627,42 B;
E¢2¢ = E¢2 + E437 = 2843,54 B;
R¢8 = R8 + R4356 = 822,64 Ом;
R¢2¢ = R2 + R437 = 796,86 Ом;
R1¢ = R1 + R567 = 332,39 Ом.
Схема примет следующий вид (рис.1.30).
Далее целесообразно использовать метод узловых напряжений. Для определения напряжения U04 необходимо составить одно уравнение:
æ |
1 |
|
1 |
|
1 |
ö |
|
¢ |
|
¢¢ |
|
|
ç |
|
|
÷ |
|
E8 |
|
E2 |
|
||||
U04 × ç |
|
+ |
|
+ |
|
÷ |
= |
|
+ |
|
. |
|
¢ |
¢¢ |
¢ |
¢ |
¢¢ |
||||||||
|
|
|
ø |
|
|
|
||||||
è R8 |
|
R2 |
|
R1 |
|
R8 |
|
R2 |
|
|||
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E′8 |
|
+ |
E′2′ |
|
|
|
|
- |
627.42 |
+ |
2843.54 |
|
|||||||
|
|
|
|
R¢8 |
|
R¢2¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
U04 |
= |
|
|
|
|
|
|
= |
822..64 |
796.86 |
|
= 512.02 В. |
|||||||||||
|
1 |
|
+ |
1 |
|
+ |
1 |
|
1 |
|
+ |
|
1 |
|
+ |
1 |
|||||||
|
|
|
¢ |
|
¢¢ |
|
¢¢¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
822.64 796.86 |
|
332.39 |
|
||||||||||||
|
|
|
R8 |
|
|
R2 |
|
|
R1 |
|
|
|
|||||||||||
Определим токи в схеме рис.1.30 на основании второго закона Кирхгофа:
U |
04 |
= E′′ |
− I′ |
R′′ |
, |
I¢ |
= |
|
|
E′2′ − U04 |
= |
2843.54 − 512.02 |
= 2.93 А; |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
¢¢ |
|
|
|
|
796.86 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
||||
U |
04 |
= E′ |
− I |
R′ , |
I |
8 |
|
= |
E′8 − U04 |
|
= − 627.42 − 512.02 = -1.385А; |
|||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
8 |
8 |
8 |
|
|
|
|
|
R¢8 |
|
|
822.64 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
I |
= |
|
|
U04 |
= |
512.02 |
=1.54 А. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
322.39 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|||||
По схеме рис.1.29 определим напряжения между узлами 6,3,5:
U63 = I8R4356 + E4356 + I1R567 = -1.385× 302.54 + 827.42 +1.54 ×172.39 = 673.745 В; U53 = I¢2R437 - E437 + I1R567 = 2.93×176.86 - 483.54 +1.54 ×172.39 = 300.14 В;
U56 = U53 - U63 = 300.14 - 673.745 В;
Определим токи I5 , I7 и I4 (рис.1.26):
I5 = U63 = 673× 745 = 0.875 А; R56 770
I7 = U53 = 300 ×14 = 0.667 А; R7 450
I43 = U56 = - 373× 605 = -0.474 А. R43 790
Для определения неизвестных токов I4 ; I3; I2 составим уравнения по первому
закону Кирхгофа (рис.1.26) для узлов 4, 6 и 2:
для узла 4 I2 = I1 − I8 − J02 =1.54 +1.385 − 3 = −0.075 А;
для узла 6 I4 = I5 − I8 − J04 = 0.875 +1.385 − 4 = −1.74 А; для узла 2 I3 = I4 + J04 = −1.74 + 4 = 2.26 А.
2.Составление баланса мощностей
Мощность источника ЭДС положительна при совпадающих направлениях ЭДС и тока ветви и отрицательна при противоположном направлении ЭДС и тока ветви (рис.1.31):
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
PE = I1 × E1 |
PE = -I1 × E1 |
PE - мощность источника напряжения.
Мощность источника тока определяется произведением тока данного источника и напряжения на его зажимах. Она положительна при противоположных направлениях на зажимах источника тока и тока источника (рис.1.32).
PJ = U21J04 = I4 × R 4 × J04 |
PJ = -U21J04 = -I4 × R4 × J04 |
PJ , - мощность источника тока. |
|
Мощность, выделяемая в активных сопротивлениях всегда положительна и равна I2R = P.
Баланс мощности записывается в виде Pист = Pпр
m |
n |
f |
åEiIi + åJk Uk = åRlIl2 , |
||
i=1 |
k =1 |
l=1 |
где m - число источников ЭДС в схеме; n - число источников тока в схеме;
f - число активных сопротивлений в схеме. Составим баланс мощностей для схемы рис.1.26:
|
E2I2 |
+ E8I8 + J04U62 + J02U54 = Pист ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
I2R |
1 |
+ I2R |
2 |
+ I2R |
3 |
+ I2R |
4 |
+ I2 |
(R |
1 |
+ R |
6 |
) + I2R |
7 |
+ I2R |
8 |
= P , |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
7 |
8 |
пр |
||||||||
где |
U62 = -I4R4 , U54 = E2 - I2R 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Pист = −37 − 277 + 3758 + |
1632 = 5076 Вт; |
|
|
|
|
||||||||||||
Pпр = 379.9 + 3.4 +1276.9 +1634.9 + 589.5 +199.6 + 997.5 = 5081Вт.
3. Определение тока в ветви с сопротивлением методом
эквивалентного генератора напряжения
Пусть требуется определить ток I4 методом эквивалентного генератора
напряжения.
а) Определим напряжение эквивалентного генератора напряжения, для чего
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
исключим сопротивление R4 из исходной схемы (рис.1.33).
Методом |
контурных токов |
|
|
|
|
определим токи в ветвях схемы. |
|
|
|
||
Уравнения имеют вид |
|
|
|
||
ìJ1(R8 + R5 + R6 + R1) + |
|
|
|
||
ï |
+ J04 (R5 + R6 ) = E8 |
|
|
|
|
ïJ2R1 |
|
|
|
||
í |
+ J2 (R2 + R7 + R1) - |
|
|
|
|
ïJ1R1 |
|
|
|
||
ï |
|
- J02R2 = E2 |
|
|
|
î- J04R7 |
|
|
|
||
В этих уравнениях контурные |
|
|
|
||
токи J04 и J02 равны токам источников тока. После подстановки численных |
|||||
значений получается система уравнений: |
|
|
|||
|
|
ìJ1 ×145 + J2 ×16 = -288, |
|||
|
|
í |
+ J1 |
×16 |
= 416 |
|
|
îJ2 ×123 |
|||
отсюда
J1 = -2.4А. J2 = 3.69А.
Токи в ветвях схемы (рис.1.33)
I5 = J04 + J1 =1.6A, I3 = J04 = 4A,
I7 = -J04 + J2 = -0.31A.
Значение этих трех токов дает возможность определить напряжение U26xx ;
U26xx = -R3I3 + R7I7 - (R5 + R6 )I5 = -4.250 - 0.31× 450 -1.6 × 770 = -237 В.
Далее, закоротив источники ЭДС и разомкнув ветви с источниками тока, находим эквивалентное сопротивление схемы относительно зажимов 2 - 6(RГ )
(рис.1.34).
Эквивалентное сопротивление генератора RГ можно определить, преобразовав
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com