k_r_№2

Методические указания по выполнению контрольной работы № 2 Электрическая цепь синусоидального тока

Синусоидальный ток описывается выражением i = Imsin(ϖt + ϕi ) ,

где i - мгновенное значение тока, Im - амплитудное значение тока,

ϖ- угловая частота,

ϕi - начальная фаза тока,

(ϖt + ϕi )- фаза синусоидального колебания.

Кроме этого, синусоидальный ток характеризуется еще следующими значениями:

Действующим

T

I = T1 ò0 i2dt = Im2 = 0,707 × Im ,

средним

T

Iср = T1 ò0 idt = 0

средним за полпериода или средним выпрямленным значением

T/2

Iср.вып. = T2 ò0 idt = 2Iπm » 0,64Im .

Такими же значениями характеризуются синусоидальные напряжения.

Для расчета целей синусоидального тока пользуются методом комплексных амплитуд (символическим методом). При этом оперируют не с реальными гармоническими токами и напряжениями, а с их комплексными амплитудами

&Im = Imejϕi , U& m = Umejϕu ,

или с комплексами действующих значений

&I = Im2 e jϕi = Iejϕi , U& = U2m e jϕu = Uejϕu ,

где Im , Um - амплитуды тока и напряжения;

I, U - действующие значения тока и напряжения; ϕi ,ϕu - начальные фазы тока и напряжения.

Рассмотрим взаимосвязь между синусоидальными токами и напряжениями на основных элементах электрической цепи.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Синусоидальный ток в активном сопротивлении.

Мгновенные значения напряжения и тока на активном сопротивлении связаны выражением u = r × i . Если i = Imsin(ϖt + ϕi ) , то

u = rImsin(ϖt + ϕi ) = Umsin(ϖt + ϕu ) где Um = rIm , ϕu = ϕi . Таким образом, на активном сопротивлении напряжение и ток совпадают по фазе.

Для комплексных амплитуд запишем

&Im = Imejϕi , U& m = r&Im .

Для комплексов действующих значений

&I = Ir jϕi , U& = r&I.

Синусоидальный ток в индуктивности.

Мгновенные значения напряжения и тока в индуктивности связаны выражением

u = L dtdi .

Если i = Imsin(ϖt + ϕi ) , то u =ϖLImsin(ϖt + ϕi + π2) = Umsin(ϖt + ϕu ) ,

где Um =ϖLIm , ϕu = ϕi + π2 . Отсюда следует, что напряжение на

индуктивности опережает ток на 90 градусов. Индуктивность в цепи синусоидального тока обладает реактивным сопротивлением XL , величина

которого пропорциональна частоте XL =ϖL.

Комплексные амплитуды тока и напряжения на индуктивности запишутся следующим образом:

π

&Im = Imejϕi , U& m =ϖLej 2 &Im .

Для комплексов действующих значений

π

&I = Iejϕi , U& =ϖLej 2 &I .

Комплексное сопротивление индуктивности определяется выражением

j π

ZL =ϖLe 2 = jϖL = jXL

Синусоидальный ток в емкости.

Мгновенные значения напряжения и тока в емкости связаны выражением i = C dudt .

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Если u = Umsin(ϖt + ϕu ) , то i =ϖCUmsin(ϖt + ϕu + π2) = Imsin(ϖt + ϕi ) где

Im =ϖCUm , ϕi = ϕu + π2 . Отсюда следует, что ток в емкости опережает

напряжение на 90 градусов. Емкость в цепи синусоидального тока обладает реактивным сопротивлением XC величина которого обратно пропорциональна

частоте

XC = ϖ1C

Комплексные амплитуды тока и напряжения на емкости запишутся следующим образом:

π

U& m = Umejϕu , &Im =ϖCe j 2 U& m .

Для комплексов действующих значений

π

U& = Uejϕu , &I =ϖCe j 2 U&

Комплексное сопротивление емкости определяется выражением

Комплексное сопротивление Z линейного пассивного двухполюсника, состоящего из последовательно соединенных активного сопротивления, индуктивности и емкости, равно

Z = r + jXL − jXC = r + jX = ze jϕ ,

где X = XL − XC - полное реактивное сопротивление,

z= r2 + (XL − XC )2 - модуль полного сопротивления,

ϕ= arctg xr - угол сдвига фаз между напряжением и током двухполюсника.

Комплексная проводимость линейного пассивного двухполюсника, состоящего из параллельного соединения активного сопротивления, индуктивности и емкости, равна

Y = g + jbC = jbL = g + jb = yeiϕ ,

где g = 1r - активная проводимость,

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

b = bC − bL полная реактивная проводимость,

y = g2 + (bC - bL )2 -модуль полной проводимости,

ϕ = arctg gb - угол сдвига фаз между током и напряжением двухполюсника.

Для расчета цепей синусоидального тока можно пользоваться любыми методами расчета цепей, рассмотренными в методических указаниях к выполнению контрольной работы № 1. Однако при этом обязательно используется символический метод.

В процессе расчета необходимо уметь переходить от алгебраической формы записи комплексного числа к показательной и обратно.

A = a + jb = Aejϕ , a = Acosϕ , b = Asinϕ ,

A = a2 + b2 , ϕ = arctg ba .

Следует заметить, что при переходе от алгебраической формы записи

комплексного числа к показательной возможно неправильное определение фазы ϕ . Это возможно в тех случаях, когда действительная часть комплексного числа отрицательна. Избежать ошибки поможет изображение комплексного числа в алгебраической форме на плоскости.

Примеры расчета электрических цепей синусоидального тока.

ПРИМЕР 1. Рассчитать комплексные входные сопротивление и проводимость цепи, определить их характер, изобразить последовательную и параллельную схемы замещения цепи. Ток и напряжение на входе цепи:

i = 7,07 ×10−3 × sin(103 t + 60o ) , A u =14,14 × sin(103 t + 90o ) , B

РЕШЕНИЕ. Для определения комплексного входного сопротивления Z = ze jϕ необходимо вычислить его модуль Z и сдвиг фаз ϕ

ϕ = ψu - ψi = 90o - 60o = 30o Z = zejϕ = 2 ×103 × ej30o Ом.

Проводимость – величина обратная сопротивлению:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Y = Z1 = 0,5 ×10−3 × e− j30o .

Определяя алгебраическую форму записи z и Y , находим активные и реактивные сопротивления и проводимости.

Z = 2 ×103 × ej30o =1,73×103 + j1×103 ,Ом

Y = 0,5 ×10−3 × e− j30o = 0,43×10−3 - j0,25 ×10−3 , Cм

Следовательно:

R =1,73×103 Ом, X =1×103 Ом, g = 0,43 ×10−3 Cм, b = 0,25 ×10−3 Cм.

Знак “+” перед мнимой частью Z говорит об активно-индуктивном характере

нагрузки Последовательная и параллельная схемы замещения представлены

соответственно на рис.2.1 a) и б).

ПРИМЕР 2. Определить токи в схеме (рис.2.2-а), при:

U = 25 B, R = 5 Ом, XC = 5 Ом, XL = 2,5 Ом.

Составить баланс мощностей, построить топографическую диаграмму напряжений.

РЕШЕНИЕ. Используем метод эквивалентных преобразований. Заменяем параллельные ветви одной эквивалентной ветвью с сопротивлением ZAB

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

ZAB = R(− jXC ) = 5(−5j) = 3,536e− j45o = 2,5 - 2,5jОм R - jXC 5 - 5j

Участки ca и cb соединены последовательно, поэтому входное полученное сопротивление цепи равно:

ZВХ = ZCA + ZAB = 2,5j + 2,5 − 2,5j = 2,5 Ом;

Поскольку входное сопротивление является активным, в цепи установился резонанс напряжений.

Находим токи:

U& ab = U& - U& ca = 25 - 25j = 35,36e− j45o B; &I3 = U& /Zbx = 25/2,5 =10 A;

U& ca = jXL&I3 = 25j = 25ej90o B; &I1 = U& ab/R = 5 - 5j = 7,071e− j45o A;

&I2 = U& ab/(-jXC ) = 5 + 5j = 7,071ej45o A.

Составим баланс мощностей. Активная мощность источника

PИСТ = U × I3 × cos(UI3 ) = 250 Вт.

Реактивная мощность источника

QИСТ = U × I3 × sin (UI3 ) = 25 × 7,071× sin0o = 0.

Активная мощность приёмников

PПР = I12 × R = 250 Вт.

Реактивная мощность приёмников

QПР = -I22 × XC + I32XL = 0

Баланс мощностей выполняется PИСТ = РПР , QИСТ = QПР, значит токи найдены правильно. Векторная диаграмма токов и топографическая диаграмма напряжений приведены на рис.2.2-б. Масштабы: MI = 3,5A/Cм, MU = 7 B/Cм .

ПРИМЕР 3. Для схемы (рис.2.3) определить комплексы действующих значений токов в ветвях и напряжений на ее элементах. Составить баланс мощностей.

Построить векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму напряжений.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Параметры элементов цепи: E& = 2B, J& = 4мА,

R1 =1кОм,

R2 = 3кОм,

L = 2 мГн,

C= 3 нФ,

ϖ=106 c−1

РЕШЕНИЕ.

Определим сопротивления индуктивности и емкости:

XL = ωL =106 × 2 ×10−3 = 2 кОм,

XC =1/ω/ =1/(106 ×3×10−9 ) = 0,33кОм.

Для нахождения токов и напряжений выберем метод контурных токов.

&I11(R1 + R2 + jXL - jXC ) + &I22 (R2 - jXC ) = E& ;

где

&I22 = J& = 4ej0o = 4мА.

Вычислим контурный ток &I11

&I11(1+ 3 + j2 - j0,33)) + 4 × (3 - j0,33) = 2.

Откуда

&I11 = 2,28ej150,4o мА.

Токи ветвей:

&I1 = &I11 = 2,28ej150,4o мА,

&I2 = -&I11 - &I22 = 2,3ej209,2o мА.

Напряжения на элементах цепи:

U& L = &I1jXL = 2,28ej150,4o × 2ej90o = 4,56ej240,4o B; U& R1 = &I1R1 = 2,28ej150,4o B;

U& R2 = &I2R2 = 6,9ej209,4o B;

U& C = &I2 (-jXC ) = 2,3ej209,2o ×0,33e- j90o 0,76ej119,2o B;

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

U& J = -&I2 (R 2 - jXL ) = 6,94e j23,63o B.

Баланс мощностей

Баланс мощностей выполняется.

Векторная диаграмма токов и топографическая диаграмма напряжений представлена на рис.2.4. Масштабы по току и напряжению:

MI =1мА/См, MU =1,5B/Cм .

ПРИМЕР 4. На рис.2.5 приведена схема электрической цепи с 2-мя источниками синусоидально изменяющихся ЭДС e1 = e2 =141sin(ω × t) В

Действующие значения:

X1 = 5 Ом, X2 = 20 Ом, R = 3 Ом.

Определить действующие значения токов в ветвей методом узловых напряжений. Записать уравнения мгновенных значений токов ветвей.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Применяя закон Ома, находим комплексы действующих значений токов ветвей:

Действующие значения токов ветвей

I = 20 A, I1 =16 A, I2 = 4 A.

Уравнения мгновенных значений токов ветвей i = 202sin(ω × t - 53,13o ) A;

i1 =162sin(ω × t - 53,13o ) A; i2 = 42sin(ω × t - 53,13o ) A.

ПРИМЕР 5. Параметры цепи (рис.2.6):

C =159 мкФ, L = 31,8мГн, R1 =10 Ом,

×

R2 =10Ом, EM =100В, f = 50Гц.

Графо-аналитическим методом рассчитаем токи и напряжения на участках цепи. Графо-аналитический метод –

совокупность графического метода и метода пропорционального пересчета. Метод основан на том, что в линейной

цепи токи пропорциональны напряжениям. Векторная диаграмма напряжений и токов, рассчитанная и построенная для одного значения питающего цепь напряжения, сохранит свой вид при изменении величины этого напряжения, на диаграмме при этом изменятся лишь масштабы напряжений и токов. РЕШЕНИЕ. Построение начинаем с наиболее удаленной точки цепи, соответствующей отрицательной полярности источника ЭДС.

XL = 2π × f × L = 6,28 × 50 × 31,8 ×10-3 =10 Ом.

Принимаем масштабы:

MI = 0,2A/Cм , MU = 5 B/Cм

Задаемся действующим значением тока I'2 =1A (рис.2.7). вектор I'2 откладывается в заданном масштабе в горизонтальном направлении.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

U'cd = I′2R 2 =10 B

Вектор напряжения U& ′cd на участке с активным сопротивлением R2 , совпадает

.

по фазе с вектором тока I′2 . Действующие значение тока I3' находим по закону Ома:

I3' = Ucd = 10 =1[A]

XL 10

Ток на индуктивности отстает от напряжения на угол 900. Вектор тока I3'

.

строим из конца вектора I′2 .

По первому закону Кирхгофа в комплексной форме определяем &I1′ = &I1′ + &I1′ , что соответствует сложению векторов на комплексной плоскости.

Ток I1' =1,4 A (определен в масштабе диаграмме). Определяем и строим на диаграмме напряжения на участках б-с, а-б.

U'bс = I1′; XC = 28 B;

Вектор напряжения U& ′bc отстает от тока &I1′ на 900, строим этот вектор из точки c под углом 900 к току &I1′ в сторону отставания.

U'aб = I1' R1 =14B;

Напряжение U& ′ab совпадает по фазе с током &I1′ , вектор U& ′ab строим из точки b параллельно вектору тока &I1′ .

Теперь соединим начало координат (точку d) с точкой а, получим вектор приложенной к цепи ЭДС, равный 30В (в масштабе диаграммы): E'm = 302B;

Истинные значения токов и напряжений на участках цепи, обусловленных действием указанной в условии задачи ЭДС = 100В, определим умножением величин на коэффициент пересчета:

Входная ЭДС имеет начальную фазу 00. С учетом этого построим систему координат, вещественная ось которой должна совпадать с вектором da. Относительно этой оси определим начальные фазы всех токов и напряжений. Комплексы действующих значений искомых токов и напряжений следующие:

&I2 = &I′2K = 2,35ej90o А, &I′3 = &I′3K = 2,35 А, &I1 = &I1′K = 3,29ej45o А,

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com