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15.1. ®ç¥ç­ë© § àï¤ q à ᯮ«®¦¥­ ­ à ááâ®ï­¨¨ a ®â ¯®¢¥àå­®á⨠¡¥áª®­¥ç­®© ¯à®¢®¤ï饩 ¯« á⨭ë ⮫騭ë h. ᯮ«ì§ãï ¬¥â®¤ ¨§®- ¡à ¦¥­¨©, ¯®«ãç¨âì ᪠«ïà­ë© ¯®â¥­æ¨ « '. ஢¥à¨âì ¯àאַ© ¯®¤áâ - ­®¢ª®©, çâ® à¥è¥­¨¥ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢­¥­¨î ¨ ¢á¥¬ £à ­¨ç­ë¬ ãá«®- ¢¨ï¬. ëç¨á«¨âì ¯«®â­®áâì ¯®¢¥àå­®áâ­ëå § à冷¢ S, í­¥à£¨î ¨ ᨫ㠢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï § àï¤ á ¯®¢¥àå­®áâìî. ©â¨ ¯®«­ë© ¨­¤ãæ¨à®¢ ­­ë© § àï¤.

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' = q r ;

 

+ const:

r0

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r

 

 

 

 

 

 

 

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á¯à¥¤¥«¥­¨¥ § à冷¢ ­

£à ­¨ç­®© ¯®¢¥àå­®á⨠¤ ¥âáï ä®à¬ã«®©

 

 

 

 

 

 

 

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@z

 

 

 

 

 

 

 

2

r3

 

 

p

x2 + y2 + (a ; z)2

 

x2

+ y2

+ (a + z)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

®«­ë© ¨­¤ãæ¨à®¢ ­­ë© § àï¤ à ¢¥­

 

 

qa

 

1

 

 

 

 

qa

1

 

 

 

 

 

Q = ZS

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ZS

 

 

dS

= ;2 Z

 

 

d d' =

 

r3

(a2 + 2)3=2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

= ;qa

Z

d

 

 

1

 

Z

 

d( 2 + a2)

1

Z

 

dp

 

( 2 + a2)3=2 = ;2qa

 

( 2 + a2)3=2 = ;2qa

 

p3=2

= ;q:

 

0

 

 

 

 

 

 

a

2

 

 

 

 

a

2

 

 

 

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¯«®áª®á⨠§ à冷¢. ® íâ®â ¯®â¥­æ¨ « á ¬ ¯à®¯®à樮­ «¥­ q: '0 = const q. ®í⮬ã í­¥à£¨ï ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï à ¢­

q

 

Z0

 

 

 

U =

dU = constq2

=

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'0q:

 

2

 

2

 

᫨ ¡ë ¯®â¥­æ¨ « ­¥ § ¢¨á¥« ®â q (¯®â¥­æ¨ « ¢­¥è­¥£® ¯®«ï), â® í­¥à- £¨ï ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¡ë« ¡ë ¢¤¢®¥ ¡®«ìè¥.

U =

1

q0

 

q2

 

 

2q

 

=

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2a

¨« ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï (¯à¨â殮­¨ï) § àï¤

á ¯«®áª®áâìî à ¢­

F =

@U

 

q2

 

:

; @a =

;

 

4a2

15.4. ®ç¥ç­ë© § àï¤ q ­ 室¨âáï ­

à ááâ®ï­¨¨ a ®â 業âà § -

§¥¬«¥­­®£® ¯à®¢®¤ï饣® è à

à ¤¨ãá

R. ©â¨ ¯®â¥­æ¨ «, ¯«®â­®áâì

¯®¢¥àå­®áâ­ëå § à冷¢ ¨ ¯®«­ë© § àï¤, ¨­¤ãæ¨à®¢ ­­ë© ­ è à¥, í­¥à-

£¨î ¨ ᨫ㠢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï.

¥â®¤ ¨§®¡à ¦¥­¨© á®á⮨⠢ ¯®¤¡®à¥ â ª¨å ¤®¯®«­¨â¥«ì­ëå 䨪- ⨢­ëå § à冷¢, ª®â®àë¥ ¢¬¥áâ¥ á ¤ ­­ë¬¨ § àï¤ ¬¨ ᮧ¤ ¢ «¨ ¡ë ¯®«¥, ¤«ï ª®â®à®£® ¯®¢¥àå­®áâì § ¤ ­­®£® ¯à®¢®¤­¨ª ᮢ¯ ¤ « ¡ë á ®¤­®© ¨§ íª¢¨¯®â¥­æ¨ «ì­ëå ¯®¢¥àå­®á⥩ ¯®«ï.

®«¥, ᮧ¤ ¢ ¥¬®¥ â®ç¥ç­ë¬ § à冷¬ q, ­ 室ï騬áï ¢­¥ è à , ¡ã- ¤¥â ᮢ¯ ¤ âì á ¯®«¥¬ ᮧ¤ ¢ ¥¬ë¬ í⨬ â®ç¥ç­ë¬ § à冷¬ ¨ § à冷¬ ;q0, à ᯮ«®¦¥­­ë¬ ­ ¯àאַ©, ᮥ¤¨­ïî饩 業âà è à ¨ § àï¤ q.¡®§­ 稬 ç¥à¥§ r - à ááâ®ï­¨¥ ®â § àï¤ q ¤® ¯à®¨§¢®«ì­®© â®çª¨ ­

2

áä¥à¥,

 

ç¥à¥§ r0

- ®â § àï¤ ;q0.

®£¤

 

ãá«®¢¨¥ í¢¨¯®â¥­æ¨ «ì­®áâ¨

§ ¯¨è¥âáï ¢ ¢¨¤¥

 

 

q

 

 

 

q0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r = r0 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

® â ª ª ª r2 = R2 + a2

;

2Ra cos ; r02 =

R2 + b2

;

2Rb cos , â®

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q2(R2 + b2 ; 2Rb cos ) = q02(R2 + a2 ; 2Ra cos ):

 

ᨫ㠯ந§¢®«ì­®á⨠㣫

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q2(R2 + b2) = q02(R2 + a2);

 

 

 

 

q2b = q02a:

 

 

®£¤

 

¯®«ãç ¥¬ ª¢ ¤à â­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ b2

 

 

b

R2

 

+ a2

= 0. ¥è ¥¬:

 

;

 

 

 

a

 

+ R2

 

R2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R2

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

b1 =

a

< a, b2 = a, ¯®í⮬ã b =

 

a . ®£¤

 

q

 

= q a , â.¥. 䨪⨢­ë©

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ àï¤ à ¢¥­ ;q a

. ®â¥­æ¨ « ¯®«ï ¢­¥ è à

 

 

à ¢¥­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

q0

 

 

 

 

q

 

 

qR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

' = r ; r0 + const = r ; ar0

+ const:

 

 

à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï ¤ îâ E = 0; En = 4 , ¯®í⮬ã

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ;

 

1 @'

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

@

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

q0

 

 

q0;b=const =

= ;

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

4

@R

p

 

 

 

p

 

 

 

 

 

R2 + a2

 

2 Ra cos

R2 + b2

 

 

2Rb cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

=

1

 

 

 

 

q(R ; a cos )

 

 

 

 

 

 

 

 

q0(R ; b cos )

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 (R2 + a2 ; 2Ra cos )3=2 ; (R2 + b2 ; 2Rb cos )3=2

 

ç¨âë¢ ï, çâ® q0

= q R; b

= R2 , ¯®«ã稬

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

qa2 ; R2

= ;4 R (R2 + a2 ; 2Ra cos )3=2 :

祢¨¤­®, çâ® ¯®«­ë© § àï¤ ­ áä¥à¥ à ¢¥­ 䨪⨢­®¬ã § àï¤ã, ­® ¬®¦­® ¯®«ãç¨âì íâ®â १ã«ìâ â ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥¬

 

 

 

a2

 

R2

 

Q =

 

q

 

 

;

2 R2 sin d =

;4 R Z0

 

 

 

 

 

(R2

+ a2

; 2Ra cos )3=2

 

3

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

Z1

 

 

dx

 

R

= ;2q(a2

; R2)R

 

 

 

 

 

(R2

+ a2

;

2Rax)3=2 = ;q a :

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

ਠ㢥«¨ç¥­¨¨ § àï¤ q ­

dq í­¥à£¨ï U ¥£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï á è -

஬ ¢®§à áâ¥â ­ dU = '0dq, £¤¥ '0

- ¯®â¥­æ¨ « ¨­¤ãæ¨à®¢ ­­ëå ­ è à¥

§ à冷¢. ® íâ®â ¯®â¥­æ¨ « á ¬ ¯à®¯®à樮­ «¥­ q: '0

= const q. ®íâ®-

¬ã í­¥à£¨ï ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï à ¢­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U = 1q

;q0

=

1q2

R=a

 

 

=

1

R

 

:

 

 

 

 

;2 a2 ; R2

2 a ; b

;2 a ; R2=a

 

 

®£¤ ᨫ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï (¯à¨â殮­¨ï) § àï¤

á è ஬ à ¢­

 

 

 

@U

 

 

aR

 

 

 

 

 

 

F = ; @a = ;

 

 

 

 

:

 

 

 

 

(a2

;

 

R2)2

 

 

 

16.2. ¢­®¬¥à­® § à殮­­ ï â®­ª ï ­¨âì («¨­¥©­ ï ¯«®â­®áâì § - àï¤ ) à ᯮ«®¦¥­ ­ à ááâ®ï­¨¨ a ®â ®á¨ ¯à®¢®¤ï饣® ­¥§ à殮­­®£® 樫¨­¤à à ¤¨ãá R, a > R. ©â¨ ¯®â¥­æ¨ « १ã«ìâ¨àãî饣® í«¥ª- âà¨ç¥áª®£® ¯®«ï. ©â¨ ¯«®â­®áâì ¯®¢¥àå­®áâ­ëå § à冷¢ ­ 樫¨­¤à¥.

à ¥¢ ï § ¤ ç , á¢ï§ ­­ ï á à¥è¥­¨¥¬ ãà ¢­¥­¨ï ¯« á ¯à¨ § ¤ ­- ­ëå £à ­¨ç­ëå ãá«®¢¨ïå, ¨¬¥¥â ¥¤¨­á⢥­­®¥ à¥è¥­¨¥. ®í⮬㠥᫨ ª ª¨¬-«¨¡® ®¡à §®¬ ­ ©¤¥­® à¥è¥­¨¥ ª ª®©-­¨¡ã¤ì ¤à㣮© § ¤ ç¨ á â - ª¨¬ ¦¥ à á¯à¥¤¥«¥­¨¥¬ § à冷¢ ¨ â ª¨¬¨ ¦¥ £à ­¨ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨, â® ®­® ¡ã¤¥â 㤮¢«¥â¢®àïâì ¨ ­ 襩 § ¤ ç¥.

à殮­­ ï ­¨âì ¢ë§ë¢ ¥â ¯¥à¥à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ § à冷¢ ­ ¯à®¢®¤ï- 饬 樫¨­¤à¥. ¨«¨­¤à¨ç¥áª ï ¯®¢¥àå­®áâì ï¥âáï íª¢¨¯®â¥­æ¨ «ì- ­®©, â ª ª ª ®­ ¯à®¢®¤ïé ï. ®«¥ ¢­¥ 樫¨­¤à¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå­®áâ¨ à ¢­® ¯®«î, ᮧ¤ ­­®¬ã â®­ª¨¬¨ ­¨âﬨ á «¨­¥©­®© ¯«®â­®áâìî ¤«ï ­¨â¨, ¯à®å®¤ï饩 ¯® ®á¨ 樫¨­¤à , ¨ ; - ¤«ï ­¨â¨, ¯ à ««¥«ì­®© ¯¥à- ¢ë¬ ¤¢ã¬ ¨ «¥¦ 饩 ¢ ¯«®áª®áâ¨, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ ­¨å ­ à ááâ®ï­¨¨ b ®â ®á¨ 樫¨­¤à .

4

 

 

 

 

 

 

 

;HH

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

HH

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

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r2

 

 

 

HHHH

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

HH

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

HH

 

 

 

 

b

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

।

 

 

 

 

 

 

 

~

~

 

 

 

 

 

 

 

 

- ¢ ªãã¬, ¯®í⮬ã D =

E. à ¢­¥­¨¥ ªá¢¥«« ¢ ¨­â¥£à «ì-

 

 

~

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

­®© ä®à¬¥ IS D dS = 4 Q. áᬮâਬ 樫¨­¤à ¢ëá®â®© h ¨ à ¤¨ã-

ᮬ r, ®áìî ª®â®à®£® ï¥âáï à ¢­®¬¥à­® § à殮­­ ï ­¨âì á «¨­¥©-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

2

­®© ¯«®â­®áâìî . ᨫã ᨬ¬¥âਨ ¯®«ï 2 rhE = 4 h ¨ E =

r2 ~r,

 

 

 

 

 

 

 

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'(r) = ;2 ln(r) = 2 ln

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

á«®¢¨¥ íª¢¨¯®â¥­æ¨ «ì­®á⨠樫¨­¤à¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå­®á⨠¤ ¥â £à -

­¨ç­®¥ ãá«®¢¨¥:

'

S =

;

2 ln(r1) + 2 ln(r2)

;

2 ln(R) = const, ¯®íâ®-

2

 

2

j

 

 

 

 

2

2

+ b

2

 

 

2Rb cos ,

2

‹ r2 =

Cr1.

® ⥮६¥ ª®á¨­ãᮢ r2 =

R

 

 

;

r1 =

R2 + a2

;

2Ra cos .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R2 + b2 ; 2Rb cos = C(R2 + a2) ; 2CRa cos =) b = Ca b2 ; ab (R2 + a2) + R2 = 0:

 

 

 

 

 

R2

¥è¥­¨ï ¤ ­­®£® ª¢ ¤à â­®£® ãà ¢­¥­¨ï: b1 = a ¨ b2 =

a < R. ®íâ®-

‹ b =

R2

< R. ®â¥­æ¨ « ¢­¥ 樫¨­¤à¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå­®á⨠§ ¯¨è¥âáï

a

¢ ¢¨¤¥

' = 2 ln

 

+ const :

 

 

 

r2

 

 

 

rr1

 

5

­ãâਠ¦¥ 樫¨­¤à ¨ ­ ¥£® ¯®¢¥àå­®áâ¨

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

' = ln

 

 

+ const = ;2 ln a + const :

 

 

 

 

R2a

 

 

®¢¥àå­®áâ­ ï ¯«®â­®áâì § à冷¢ à ¢­

 

 

 

 

 

=

 

1 @'

 

=

 

 

 

 

@

ln

 

r2 + b2 ; 2rb cos

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

; 4 @n

 

 

 

 

 

 

 

 

r=R

 

 

; 4 @r

r2(r2 + a2 ; 2ra cos ) r=R

=

 

 

 

 

r ; b cos

 

 

r ; a cos

1

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;2 r2 + b2

;

2rb cos ; r2 + a2

;

2ra cos ; r

r=R

 

 

 

 

 

 

 

a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2

 

 

 

 

 

 

 

R ; a cos ; R + a cos ; R

; R + 2a cos

 

;2Ra cos ) =

R ; a cos

=R2 + a2 ; 2Ra cos :

17.2.஢®¤ï騩 è à à ¤¨ãá R à §à¥§ ­ ­ ¤¢ ¯®«ãè à¨ï, ᮥ¤¨- ­¥­­ë¥ ¬¥¦¤ã ᮡ®©, ¨ ¯®¬¥é¥­ ¢® ¢­¥è­¥¥ ®¤­®à®¤­®¥ ¯®«¥ E0, ­ ¯а - ¢«¥­­®¥ ¯¥а¯¥­¤¨ªг«па­® ¯«®бª®бв¨ а §а¥§ . ©в¨ б¨«г, ¤¥©бв¢гойго

­ª ¦¤®¥ ¨§ ¯®«ãè ਩.

¯à¥¤¥«¨¬ ¯®«¥ ¢®ªà㣠¯à®¢®¤ï饣® è à , ¯®¬¥é¥­­®£® ¢® ¢­¥è­¥¥

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®¤­®à®¤­®¥ ¯®«¥ E0 (E0jjz).~ ¥§ã«ìâ¨àãî騩 ¯®â¥­æ¨ « ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¢ ¢¨¤¥ = '0 + ', £¤¥ ' = ;E0~r - ¯®â¥­æ¨ « ¢­¥è­¥£® ¯®«ï. ®â¥­æ¨ « ' ¨é¥¬ ¢ ¢¨¤¥ à §«®¦¥­¨ï ¯® è à®¢ë¬ äã­ªæ¨ï¬

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' = XX Anmrn + Brnnm+1 Yn(m)( ; ):

n=0 m

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+1

' = X Anrn + Bn Pn(cos ):

rn+1

n=0

«¨ï­¨¥ ­ «¨ç¨ï è à ­ ¯®«¥ ¤®«¦­® ¡ëâì ¯à¥­¥¡à¥¦¨¬® ¬ «ë¬ ­ ¡¥áª®­¥ç­®áâ¨, ¯®í⮬ã á â®ç­®áâìî ¤® ¤¤¨â¨¢­®© ª®­áâ ­âë

+1

' = X Bn Pn(cos ):

n=0 rn+1

6

®¢¥àå­®áâì è à ï¥âáï íª¢¨¯®â¥­æ¨ «ì­®© ¯®¢¥àå­®áâìî, £à ­¨ç- ­®¥ ãá«®¢¨¥

+1

;E0R cos + X Bn Pn(cos ) = const :

Rn+1

n=0

§ í⮣® á«¥¤ã¥â, ç⮠१ã«ìâ¨àãî騩 ¯®â¥­æ¨ « ¨¬¥¥â ¢¨¤

= ;E0r cos + E0R3 cos + const : r2

¯à殮­­®áâì í«¥ªâà¨ç¥áª®£® ¯®«ï ¨¬¥¥â ¢¨¤

~

cos +

2R3

R3

; 0 :

E = ;grad = E0

r3

cos ; ;sin r ; r2

¯®¢¥àå­®á⨠è à r = R

~

E = 3E0 cos f1; 0; 0g:

á­®, çâ® ¯®«¥ ¬¥¦¤ã ¯®«ãè à¨ï¬¨ à ¢­® ­ã«î, â ª ª ª ¯®«ãè à¨ï ¨¬¥îâ ®¤¨­ ª®¢ë© ¯®â¥­æ¨ «. ®¢¥àå­®áâ­ ï ¯«®â­®áâì ᨫ, ¤¥©áâ¢ã- îé¨å ­ è à, à ¢­

 

 

 

 

 

~

E2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

= ~n 8 :

 

 

 

 

 

®í⮬㠯®«ãè à¨ï ®ââ «ª¨¢ îâáï ¤à㣠®â ¤à㣠. ¨«

®ââ «ª¨¢ ­¨ï

¢ ᨫã ᨬ¬¥âਨ ­ ¯à ¢«¥­ ¢¤®«ì ¢¥ªâ®à

~

 

 

 

 

E0 ¨ ¯® ¬®¤ã«î à ¢­

 

 

=2

 

 

 

 

 

 

9E02R2

1

 

 

 

1

2

 

2

 

2

 

 

3

 

F = Fz =

 

(9E0

cos

 

) cos 2 R

sin d =

 

x

 

dx =

 

8 Z0

 

 

 

 

 

 

4

Z0

 

 

 

 

 

 

 

 

9E2R2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

0

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

18.3. àï¤ q à ᯮ«®¦¥­ ­

à ááâ®ï­¨¨ a ®â ¯«®áª®© £à ­¨æë à §-

¤¥« ¤¢ãå ¯®«ã¯à®áâà ­áâ¢ á ¤¨í«¥ªâà¨ç¥áª¨¬¨ ¯à®­¨æ ¥¬®áâﬨ "1 ¨ "2. ©в¨ ¯®в¥­ж¨ « ¨ б¨«г, ¤¥©бв¢гойго ­ § ап¤.

ãáâì z = 0 - £à ­¨æ à §¤¥« ¤¢ãå ¤¨í«¥ªâਪ®¢, z > 0 - ¯®«ã¯à®- áâà ­á⢮ á "1, z < 0 - á "2. 㤥¬ ¨áª âì à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ ¬¥â®¤®¬ §¥àª «ì­ëå ¨§®¡à ¦¥­¨©. ãáâì O - â®çª , ¢ ª®â®à®© ­ 室¨âáï § àï¤,

7

O0 - ᨬ¬¥âà¨ç­ ï ¥© â®çª ®â­®á¨â¥«ì­® ¯«®áª®áâ¨ à §¤¥« ¤¨í«¥ªâà¨- ª®¢. ¡®§­ 稬 § r1 à ááâ®ï­¨¥ ®â «î¡®© â®çª¨ ¯à®áâà ­á⢠¤® â®çª¨ O, § r2 - ¤® â®çª¨ O0.

®â¥­æ¨ « ¢ ¯¥à¢®© ®¡« á⨠(z > 0) ¨é¥¬ ¢ ¢¨¤¥

'1 =

q

+

A

;

 

 

"1r1

"1r2

¢® ¢â®à®© ®¡« áâ¨

C

 

D

 

'2 =

+

:

 

 

"2r1

"2r2

®â¥­æ¨ «ë '1 ¨ '2 ¤®«¦­ë 㤮¢«¥â¢®àïâì ãà ¢­¥­¨î ¯« á ¢ á®®â- ¢¥âá¢ãîé¨å ®¡« áâïå, ¯®í⮬ã â ª ª ª ¢® ¢â®à®© ®¡« á⨠­¥â ॠ«ì­®£® § àï¤ , â® D = 0. ª¦¥ ¯®â¥­æ¨ «ë ¤®«¦­ë 㤮¢«¥â¢®àïâì ãá«®¢¨î á訢 ­¨ï ­ £à ­¨æ¥ à §¤¥« ¤¢ãå á।

 

 

 

(

'1jz=0 =

'2jz=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'1

 

 

 

 

 

'2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"1 @n ;

"2 @n

z=0

= 0:

 

 

 

 

 

 

 

®¤áâ ¢¨¬ ¯®â¥­æ¨ «ë ¢ íâ® ãà ¢­¥­¨¥, ¯®«ã稬 á¨á⥬ã

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

q

 

A

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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"2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< q

; A

; C = 0:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¥è ¥¬ á¨á⥬㠨 ­ 室¨¬, çâ®

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = q

"1 ;

"2 ;

 

 

 

 

C = q

2"2

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"1 + "2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"1 +

 

"2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

®â¥­æ¨ « ¢ ¯¥à¢®© ®¡« á⨠¨¬¥¥â ¢¨¤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'1

=

 

q

+

 

 

q("1 ;

"2)

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"1r1

 

"1("1 + "2)r1

 

 

 

 

 

 

¢® ¢â®à®©

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'2 =

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

("1 + "2)r1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

®«¥ áâ®à®­­¨å § à冷¢ ¤¥©áâ¢ã¥â ­

 

§ àï¤ á ᨫ®©

 

 

 

 

~ ~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

q2("1

 

 

"2)

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

F = qE

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'1

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

grad

 

 

 

=

 

;

 

 

 

 

; "1r1

 

8

 

; "1("1

+ "2)

r2

r2

=2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= q2("1 ; "2) ~ez:

4a2"1("1 + "2)

18.4. ¨í«¥ªâà¨ç¥áª¨© è à à ¤¨ãá a á ¤¨í«¥ªâà¨ç¥áª®© ¯à®­¨æ ¥- ¬®áâìî " ¯®¬¥é¥­ ¢ ®¤­®à®¤­®¥ ¢­¥è­¥¥ í«¥ªâà¨ç¥áª®¥ ¯®«¥ E0. ©â¨ ¯®â¥­æ¨ «.

ãáâì ¯®â¥­æ¨ « ¢ è à¥ à ¢¥­ '1, ¢­¥ è à - '2. ⨠¯®â¥­æ¨ «ë ¤®«¦­ë 㤮¢«¥â¢®àïâì ãà ¢­¥­¨î ¯« á ¢ ᢮¨å ®¡« áâïå, ¯®í⮬㠨饬 ¨å ¢ ¢¨¤¥ àï¤ ¯® è à®¢ë¬ äã­ªæ¨ï¬.

 

 

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'1 =

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n

 

 

 

 

 

n=0 m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'

 

=

XX

C rn +

 

Dnm

Y

(m)( ; ):

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nm

 

 

 

rn+1

 

 

 

n

 

 

 

 

 

n=0 m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

«ï 㤮¡á⢠à¥è¥­¨ï áç¨â ¥¬, çâ® ¢­¥è­¥¥ ¯®«¥ E0 ­ ¯à ¢«¥­® ¯® ®á¨

z. ®£¤

¯®â¥­æ¨ «ë '1 ¨ '2

­¥ § ¢¨áïâ ®â 㣫 ¢ ᨫã ᨬ¬¥âਨ.

ª ª ª ¯®â¥­æ¨ « ¢­ãâਠè à

 

ï¥âáï ®£à ­¨ç¥­­®© ä㭪樥©,

¢­¥ è à

­ ¡¥áª®­¥ç­®áâ¨ à ¢¥­

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;E0~r (¢«¨ï­¨¥ ­ «¨ç¨ï è à ­ ¡¥á-

ª®­¥ç­®á⨠¤®«¦­® ¡ëâì ¯à¥­¥¡à¥¦¨¬® ¬ «®), â®

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'1 =

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AnrnPn(cos );

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'2 = ;E0r cos

+

 

rn+1 Pn(cos ):

 

 

 

 

n=0

 

à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï (ãá«®¢¨ï á訢 ­¨ï ¯®â¥­æ¨ «®¢):

 

 

 

 

 

8

'1jS = '2jS

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

" @'1

 

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@'2

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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@n

 

 

 

@n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

S

 

 

 

 

®¤áâ ¢«ï¥¬ ¢ á¨á⥬㠯®â:¥­æ¨ «ë '1 ¨ '2.

 

 

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

Dn

 

 

X

AnanPn(cos ) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

;E0a cos +

 

an+1 Pn(cos );

 

n=0

n=0

 

9

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

 

Dn

 

 

X

 

n;1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

"

nAna

 

 

Pn(cos ) = ;E0 cos ;

(n + 1)an+2 Pn(cos ):

n=0

 

 

n=0

ãáâì A1 = 0 ¨ D1

 

= 0,

Ai; Di

= 0; i = 0;

2; 3; : : :. ®£¤

 

 

6

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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<

A1a = a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

=

 

2D1

 

E0:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

> "A1

; a ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¥è ¥¬ á¨á⥬ã, ­ 室¨¬,:çâ®

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A1 =

 

 

3E0

;

 

 

 

D1 =

 

" ;

1a3E0:

 

 

 

 

 

 

;2 + "

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 +

"

 

 

®â¥­æ¨ « ¨¬¥¥â ¢¨¤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3E0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'1 = ;

 

r cos

 

¢ è à¥;

 

 

 

 

 

 

 

 

2 + "

 

 

 

 

 

'2

=

 

" ; 1

a3 E0 cos

 

 

E0r cos

¢­¥ è à :

 

 

 

 

2 + " r2

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

18.5. ©â¨ ᨫ㠨 ¯®â¥­æ¨ «ì­ãî í­¥à£¨î ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï § àï¤

e ¨ 㤠«¥­­®£® ­

à ááâ®ï­¨¥ r ­¥§ à殮­­®£® ¤¨í«¥ªâà¨ç¥áª®£® è à

à ¤¨ãá

R, (r

R).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ãáâì 1 - ¯«®â­®áâì § à冷¢ ¢ è à¥,

 

'2 - ¯®â¥­æ¨ «, ᮧ¤ ¢ ¥¬ë©

â®ç¥ç­ë¬ § à冷¬ ¢ è à¥. 祢¨¤­®, çâ®: 1 = A(~r)q ¨ '2 = B(~r)q, £¤¥ A(~r) ¨ B(~r) - ª®­áâ ­âë, ­¥ § ¢¨áï騥 ®â q, ­® § ¢¨áï騥 ®â â®çª¨ ¯à®-

áâà ­á⢠. ਠ㢥«¨ç¥­¨¨ § àï¤

 

q ­ dq í­¥à£¨ï ¥£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï

á è ஬ ¢®§à áâ¥â ­

 

 

 

 

 

 

 

dU =

A dq B q dV1

= 0

AB dV1:1q dq:

 

 

VZ1

 

 

@VZ1

 

A

 

­¥à£¨ï ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï § àï¤

 

¨ ­¥§ à殮­­®£® ¤¨í«¥ªâà¨ç¥áª®£®

è à à ¢­

 

 

 

 

 

 

 

1

1

@VZ1

A

 

VZ1

VZ1

Z0

Z0

 

 

 

 

 

1

 

1

 

U = dU = q dq 0 AB dV1:1 = 2q2

AB dV1 = 2

1'2 dV1:

10

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