2. §4. Дополнительные квантово-электродинамические явления

1. В этом параграфе мы рассмотрим ряд КЭД-явлений, не связанных друг с другом генетически, но важных для КЭД. Такими процессами являются:

–––– взаимодействие электронов с кулоновским полем;

– –––рассеяние электрона на электроне и электрона на позитроне;

– –––лэмбовский сдвиг уровней водородоподобного атома;

– –––аномальный магнитный момент;

–––––эффект Казимира.

2. В нерелятивистском случае, т.е. в случае _pm « m (), дифференциальное сечение рассеяния частицы с зарядом е не кулоновском центре дается формулой Резерфорда:

, (2.71)

где v и p - скорость и импульс рассеиваемой частицы. Эта формула оказывается справедливой и для релятивистской, но бесспиновой точечной частицы. Для релятивистской частицы со спином J=1/2 (и с зарядом е) сечение рассеяния на кулоновском центре дается формулой Мотта, отличающейся от формулы Резерфорда множителем

(1 – v²sin²/2),

имеющим спиновое происхождение:

. (2.72)

Интересно отметить, что, согласно (2.72), сечение рассеяния релятивистского электрона назад, т.е. на угол =180 обращается в нуль. Это свойство электрона обычно используется для подавления фона чисто кулоновского рассеяния и потому тривиального и неинтересного. На качественном уровне это свойство можно понять как проявление обсуждавшейся в Гл. I киральной симметрии, которая в КЭД (в общем-то не кирально-симметричной теории) наступает при импульсах p»m. При таких импульсах киральная инвариантность означает, что при столкновении спиральность электрона является сохраняющейся величиной. Поэтому электрон, рассеиваясь назад, должен изменить на противоположную ориентацию своего спина. Это, однако, невозможно при лобовом столкновении, в случае которого электрон только и может вылететь назад.

3. При движении в кулоновском поле возникает специфическое взаимодействие электрона с полем - спин-орбитальное взаимодействие

, (2.73)

где V_c(r) = –Ze²/r - кулоновский потенциал, l=[rp],  - операторы орбитального и спинового моментов (точнее,  - матрицы Паули).

На качественном уровне происхождение такого взаимодействия можно понять следующим образом. Пусть электрон движется в поле V_c со скоростью v. Тогда в его системе покоя возникает магнитное поле Н, равное

H = – [Ev], (2.74)

где

E = – (2.75)

и  - электрический потенциал.

Отсюда следует, что имеет место дополнительное взаимодействие

(2.76)

Положив =₀, где ₀ - борновский магнитон для сферически симметричного потенциала, мы получаем

, (2.77)

где V_c=–e.

Мы видим, однако, что полученная на основе здравого смысла формула (2.77) отличается от истинной (2.73) в два раза. Фактор 2 возникает за счет того, что не учтено принципиально релятивистское вращение электрона, возникающее при его движении. Его учет ("томасовское" вращение) приводит к согласию с формулой (2.73). Разумеется, релятивистски инвариантное уравнение Дирака автоматически содержит все релятивистские эффекты и приводит к правильной формуле (2.73) для спин-орбитального взаимодействия.

4. В нерелятивистском приближении рассеяние электрона на электроне сводится к рассеянию фиктивного "электрона" с массой m/2 (приведенная масса) на кулоновском центре. Поэтому кажется, что дифференциальное сечение в системе центра масс будет даваться формулой

, (2.78)

где v, p - относительные импульсы и скорость электронов.

Формула (2.78) оказывается, однако, неправильной, так как в ней не учтена тождественность электронов. Действительно, рассеяние электрона 1 на угол  (рис.2.4 ) эквивалентно его рассеянию на угол –, при котором электрон 2, принципиально неотличимый от электрона 1, рассеивается на угол –. Поэтому полная амплитуда рассеяния электрона на электроне должна равняться

F_ = F()  F(–), (2.79)

где знак  зависит от полного спина системы.

В результате дифференциальное сечение рассеяния электрона на электроне дается формулой

. (2.80)

В этой формуле второй член соответствует F(–)², третий - интерференции F() и F(–).

В области релятивистских энергий формулы усложняются, и мы приведем только выражения для сечения в предельном случае _p»m:

. (2.81)

Интересно отметить, что полное сечение  е-е рассеяния не обращается

в нуль при _p. Действительно, будем считать (чтобы не было расходимостей), что несомый фотоном импульс qq_min. Этому минимальному импульсу отвечает минимальный угол рассеяния. Соответственно,

. (2.82)

Поскольку

_min  q_min/p, (2.83)

то из (2.82) легко получаем, что при p

 ~ const/q_min². (2.84)

При q_min0 полное сечение обращается в бесконечность, что является особенностью кулоновского взаимодействия.

5. Рассеяние электрона на позитроне описывается двумя диаграммами Фейнмана:

(2.85)

Новым моментом здесь является аннигиляционный механизм, при котором электрон с позитроном превращаются в виртуальный фотон, который затем распадается на новую пару e⁺e^–. В области малых энергий вклад аннигиляционной диаграммы становится малым (проявление зарядовой инвариантности КЭД, см. параграф 5) и рассеяние электрона на позитроне становится чисто кулоновским. Соответственно, эффективное сечение дается формулой (2.73). В области релятивистских энергий в системе центра тяжести

. (2.86)

6. То обстоятельство, что взаимодействие электрон-электрон носит обменный характер (обмен фотоном) диктует вид их потенциала взаимодействия. Квантовая электродинамика позволяет найти этот потенциал. С точностью до порядка (v/c)² он имеет вид

V(r) =/r - (2.87)



Здесь (r) - трехмерная -функция, r=r₁–r₂, r₁, p₁, r₂, p₂ - координаты и импульсы электронов, ₁, ₂ - их спиновые операторы,

(2.88)

- оператор тензорного взаимодействия.

Мы видим, таким образом, что взаимодействие электронов является простым (=/r) только в пределе очень малых скоростей движения.

Отметим качественно новые аспекты е-е взаимодействия, содержащиеся в КЭД. Прежде всего, мы видим силы, зависящие от скорости (четвертый член) и силы, связывающие спин с орбитой (третий член); далее, появляются контактные (т.е. с (r)) центральные и спин-спиновые силы; наконец, возникает тензорное взаимодействие (S₁₂), зависящее от ориентации спинов по отношению к линии, соединяющей электроны. В данном конкретном случае е-е взаимодействия все некулоновские члены играют в нерелятивистской физике второстепенную роль. Однако в физике сильных взаимодействий такого типа члены становятся определяющими. Например, физику ядра невозможно понять без тензорного взаимодействия (аналогичного S₁₂), возникающего за счет обмена пионами.

7. До сих пор мы рассматривали явления, которые можно назвать простейшими в рамках КЭД - почти все они суть процессы второго порядка по константе взаимодействия . Разумеется, в КЭД, во-первых, имеются более сложные процессы и, во-вторых, теория позволяет считать уже известные эффекты с большей точностью. Более точные вычисления, чем в "лидирующем" приближении, т.е. в приближении, в котором и появляется эффект, получили название "радиационные поправки". Из более сложных эффектов мы рассмотрим здесь рассеяние фотона кулоновским полем и фотона на фотоне, из радиационных поправок - лэмбовский сдвиг и аномальный магнитный момент.

Разумеется, в первом приближении по е фотон не взаимодействует с кулоновским полем. Поскольку, однако, фотон и квант кулоновского поля могут превращатся в виртуальную пару электрон-позитрон, то в высших приближениях фотон может рассеиваться на кулоновском поле. Простейший механизм такого рассеяния дается диаграммой:

(2.89)

Физический смысл этой диаграммы, например, таков: начальный (левый) фотон превращается в e⁺e^– пару, электрон дважды рассеивается на внешнем поле (почему дважды - см. параграф 5) и затем аннигилирует с позитроном в конечеый фотон.

В области малых частот фотона «m его полное сечение дается формулой

. (2.90)

Интересно отметить, что несмотря на сложность явления, зависимость ⁴ можно предвидеть исходя из того, что в классической электродинамике интенсивность рассеяния пропорциональна квадрату второй производной наведенного динамического момента, т.е. ⁴.

При релятивистских энергиях полное сечение дается формулой

 = (98/81)(Z)⁴r₀². (2.91)

Интересно отметить, что, хотя в целом сечение (2.91) является достаточно малым, в области малых углов дифференциальное сечение рассеяния фотона кулоновским полем достигает очень больших значений. Например, при =300 МэВ и угле =0.01 дифференциальное сечение равняется 3000 бн/стер, в то время как комптоновское сечение составляет в тех же условиях 7 бн/стер.

8. Рассеяние фотона на фотоне в низшем приближении дается диаграммой, аналогичной (2.89):

(2.92)

Полное сечение рассеяния фотона на фотоне изображено на рис.2.5. Как мы видим, в максимуме, находящемся при 1.5m, оно имеет порядок 10^–30см²=10^–3мбн. В области малых частот «m сечение дается формулой

 = 0.061²r₀²(/m)⁶. 2.93)

В области »m

=4.7⁴/². (2.94)

9. Радиационные поправки к взаимодействию электрона с кулоновским центром приводят к явлению расщепления уровней 2S_1/2–2P_1/2. водородоподобного атома. Это расщепление обычно называется Лэмбовским сдвигом. Как известно, в пренебрежении релятивистскими эффектами (в частности спин-орбитальным взаимодействием) уровни 2S и 2P являются вырожденными. Спин-орбитальное взаимодействие расщепляет уровни 2P_3/2, 2P_1/2, однако уровни 2S_1/2–2P_1/2 остаются попрежнему вырожденными. Более того, в кулоновском поле эти уровни остаются вырожденными и при точном решении релятивистского уравнения Дирака. Между тем, еще в 1945году Лэмбом было экспериментально установлено, что энергии E(2S_1/2), E(2P_1/2) уровней отличаются на величину E, равную

E= E(2S_1/2) – E(2P_1/2) = 1057.8620.080 Мгц 10^–6эВ. (2.95)

Для того, чтобы получить расщепление этих уровней, необходимо с помощью какого-либо механизма модифицировать поле точечного заряда. Один из механизмов является очевидным - это конечные размеры ядра (протона). Нетрудно, однако, оценить сдвиг уровня 2S_1/2 за счет конечности размеров ядра: он оказывается на несколько порядков меньше, чем требуется формулой (2.95). В квантовой электродинамике имеется замечательный механизм модификации кулоновского поля на значительно больших расстояниях (~1/2m  210^–11 см), чем размеры ядра (~10^–13см). Этот механизм обусловлен радиационными поправками, т.е. процессами с виртуальными электронами (позитронами) и фотонами.

Взаимодействие электрона с внешним полем ("потенциал" поля) в КЭД определяется набором диаграмм:

(2.96)

Первая слева диаграмма дает "непосредственное" взаимодействие электрона с внешним полем (т.е. в первом порядке по константе взаимодействия е). Вторая диаграмма соответствует тому, что называют радиационными поправками: в этом случае взаимодействие электрона с полем осуществляется через виртуальные электроны и фотоны. В частности, вторая диаграмма учитывает процесс, в котором электрон испускает виртуальный фотон, рассеивается далее на внешнем поле и затем, подхватив испущенный ранее фотон, превращается в конечный электрон.

Многоточием обозначены диаграммы с большим числом виртуальных частиц и элементарных актов поглощения и испускания фотонов. На качественном уровне роль радиационных поправок (2.96) сводится к отличию реального поля от поля точечного заряда на расстояниях ~1/2m=210^–11см, т.е. значительно больших, чем размер ядра.

Строгие расчеты с учетом диаграмм (2.96) приводят к следующему результату для сдвига уровней 2S_1/2–2P_1/2:

E_th = 1057.8640.014 МэВ. (2.97)

10. Поучительно привести здесь упрощенную полуклассическую теорию Лэмбовского сдвига. Исходным положением этого подхода является утверждение, что Лэмбовский сдвиг возникает за счет вакуумных флуктуаций электрического поля. Разумеется, среднее значение электрического поля в вакууме равняется нулю:

<E>=0. (2.98)

Однако среднеквадратичное его значение должно быть отлично от нуля:

<E²>0. (2.99)

Действительно, квантовая теория не допускает, как правило, строго фиксированных значений физических величин (фиксированы только те, которые отвечают собственным значениям операторов). Соответственно, (2.99) означает, что в квантовом вакууме периодически возникает и исчезает электрическое поле, которое приводит к "дрожанию" электрона. Проследим теперь за эффектом дрожания электрона. Вследствие этого эффекта действующий на электрон эффективный потенциал V_eff(r) будет иметь вид:

V_eff(r)=<V(r+r)>=V(r)+< rV(r)>+¹/₂<r_i r_j_i_jV(r)>+... (2.100)

Линейные по r члены в (2.100) обращаются в нуль, а квадратичные должны обладать свойством

r_i r_j=(r_i )²_ij = ¹/₃_ij r², (2.101)

где _ij - символ Кронекера-Вейерштрасса. Поэтому

V_eff(r)=V(r)+¹/₆r² V(r), (2.102)

где .

Считая исходный потенциал V(r) кулоновским, мы найдем, что вакуумная добавка к потенциалу имеет вид

V(r)= ¹/₆r² V(r), (2.103)

где r - -функция, возникающая из уравнения Пуассона:

V = 4(r) = 4Zr. (2.115)

Соответственно, поправка E к энергии уровня будет равняться

. (2.116)

Из (2.116) видно, что для оценки E необходимо знать величину <r²>. При ее вычислении мы используем классические соображения. Именно, будем считать, что возникающее в результате квантовых флуктуаций поле Е приводит к классическому движению электрона, описываемому обычным уравнением

d²r/dt² = –e/m E. (2.117)

В Фурье-представлении это уравнение будет иметь вид

r_ = e/m E_/²,(2.118)

где Фурье-образы определены следующим образом (на примере r_):

<r_>=r_²d. (2.119)

Из (2.119) мы видим, что

<r_> = e²/m² E_²/⁴d. (2.120)

Отметим, что в предыдущих формулах подразумевается усреднение по

пространству.

Величину E_² можно оценить следующим образом. Электромагнитная энергия вакуума E₀ должна, с одной стороны, равняться

E₀ = ¹/_8<E²+H²>dr = ¹/_4<E²>dr = ¹/_4VE_²d, (2.121)

где V - "объем" вакуума.

С другой стороны, энргия вакуума есть энергия нулевых колебаний поля и дается квантово-механическим варажением

, (2.122)

где =1 - циркулярная поляризация фотонов, _k - частота (энергия)

квантов поля.

Осуществляя стандартный переход от суммирования к интегрированию

, (2.123)

находим, что

1/4 VE_²d = V/(2)³_kdk = V/(2)³ 4³d, (2.124)

т.е. что

E_²d=2/ ³d (2.125)

и

E_² =2/ ³. (2.126)

С помощью (2.120) и (2.126) находим, что

. (2.127)

Интеграл в (2.127) расходится на верхнем и нижнем пределе. В качестве нижнего предела обычно выбирается классическая частота вращения электрона в атоме _min  mZ, в качестве верхнего _max  m.

В результате получаем, что поправка E к энерии уровня nS_1/2 имеет вид:

E_n = 8/3 Z²_n(0)²ln(1/Z). (2.128)

Полагая

_n(0)² = (Zm)³/n³, (2.129)

находим окончательно

E_n = 4Z³⁵m/(3n³)ln(1/Z). (2.130)

Для атома водорода сдвиг уровня 2S_1/2 (уровень 2P_1/2 не изменяется)

получается равным

E(2S_1/2)  700 Мгц, (2.131)

что по порядку величины совпадает с Лэмбовским сдвигом.

11. Уравнение Дирака было результатом попыток непротиворечиво объединить принцыпы квантовой механики и теории относительности. Как выяснилось, это уравнение описывает релятивистское движение частицы со спином J=1/2. Введение в это уравнение электрического и магнитного полей привело к двум замечательным результатам, доказывающим, что уравнение Дирака нельзя просто отбросить, хотя оно и не решало всех проблем объединения квантовой теории и теории относительности. Первым из этих результатов является уже упомянутое нами спин-орбитальное взаимодействие, правильную величину которого предсказало именно уравнение Дирака. Вторым достижением было предсказание магнитного момента электрона, который получался равным

 =  ₀, (2.132)

где  - спиновые матрицы Паули, ₀ =e/2m=e/2mc- масштаб магнитного момента, обычно называемый борновским магнитоном,  - величина, которая и

называется магнитным моментом электрона.

В период освоения физики уравнения Дирака (конец 20-х - начало 30-х годов) магнитный момент электрона в точности равнялся единице (т.е. борновскому магнитону). Однако впоследствии выяснилось, что  отличается от единицы. Разность

 (2.133)

по традиции называется аномальным магнитным моментом. Современное экспериментальное значение  равняется

_e = 115965219310^–12 (2.134)

для электрона и

_= 1165911010^–10 (2.134а)

для мюона. Магнитные моменты электрона и мюона являются одними из наиболее точно измеренных величин в физике. Так же, как и Лэмбовский сдвиг, квантовая электродинамика интерпретирует аномальный магнитный момент с помощью радиационных поправок к взаимодействию электрона и мюона с магнитным полем. Внизшем приближении этим поправкам отвечает вторая диаграмма (2.108). Ее точный учет дает для аномального магнитного момента электрона и мюона значение

 = /2. (2.135)

В настоящее время аномальные магнитные моменты электрона и мюона рассчитаны с точностью до ⁴:

_e=/2–0.328478965(/)²+1.1765(/)³–0.8(/)⁴=115965245510^–12, (2.136)

_=/2+0.765885810(/)²+24.073(/)³+140(/)⁴=1165918410^–10. (2.137)

Сравнение теоретических  из (2.136-137) с измеренными (2.134-134а) показывает, что имеет место блестящее согласие теории и эксперимента. Некоторое расхождение обусловлено неточностями расчета и "вмешательством" сильного взаимодействия, эффекты которого считаться точно не могут.

12. В заключение этого параграфа коротко рассмотрим еще одно неожиданное явление - эффект Казимира. Этот эффект состоит в следующем. Пусть в электромагнитном вакууме на расстоянии d друг от друга находятся две параллельные нейтральные металлические плоскости. Тогда оказывается, что эти плоскости "просто так" должны притягиваться друг к другу с силой F на единицу площади, даваемой формулой

F = ²c/(240 d⁴) = –0.013/d² дин/см²,(2.138)

Например, при d=0,5 м

F=0.02 ???/м². (2.138а)

Несмотря на малую величину силы F это явление было экспериментально подтверждено в 1958 году.

Происхождение притягивающего взаимодействия пластинок качественно несложно понять. Действительно, как мы уже указывали раньше, вакуум заполнен виртуальными фотонами или виртуальными полями. Существование проводящих плоскостей накладывает на вакуумные поля накладывает на вакуумные поля определенные граничные условия, которые модифицируют энергию вакуума в объеме между пластинами. Действительно, тангенциальные к плоскости составляющие электрических полей должны на плоскостях обращаться в нуль. Это значит, во-первых, что в перпендикулярном к плоскости направлении волны с длиной >2d распространяться не могут (на плоскостях должны быть узлы) и, во-вторых, что вдоль плоскостей вместо двух волн при каждой частоте, соответствующих двум поляризациям, может распространяться только одна с поляризацией электрического поля, перпендикулярной плоскостям. Эффективно это означает, что в объеме между плоскостями плотность фотонов будет меньше, чем вне плоскостей, и, следовательно, давление фотонов должно привести к притяжению плоскостей. Из соображений размерности можно установить, что сила притяжения пластин F, приходящаяся на единицу площади, должна быть пропорциональна 1/d⁴

F ~ 1/d⁴. (2.139)

Действительно, в нашей системе единиц F имеет размерность см⁴. В нашем распоряжении есть только одна размерная величина - расстояние d между пластинами. Отсюда и следует зависимость (2.139).