- •Глава I. Общие вопросы физики стандартной модели. 2.11.03
- •1.Фундаментальные степени свободы
- •Тогда, подставляя (1.6) в (1.5), находим, что
- •§3. Симметрии см.
- •§ 5. Адроны.
- •Приложение к главе I Система единиц
- •Эффективные сечения
- •Соответственно для нескольких частиц
- •Соответственно (II.13) должно быть записано
- •2.Укажите способы получения нейтринных пучков.
- •Гл.II. Квантовая электродинамика (кэд)10.10.02
- •§1. Амплитудное описание процессов.
- •§2. Квантово-электродинамические процессы: эффект Комптона и явление аннигиляции.
- •§3. Квантово-электродинамические явления во внешнем поле.
- •§4. Дополнительные квантово-электродинамические явления
- •§5. Дискретные симметрии квантовой электродинамики
- •Глава III. Физика слабого взаимодействия 7.11.2003 Распадные свойства фундаментальных частиц
- •Эффективные сечения слабых процессов
- •Дополнительные вопросы физики слабого взаимодействия
- •Генезис квантовой электродинамики и теории слабых взаимодействий
- •Гл.III. Электромагнитные и слабые взаимодействия адронов
- •Электромагнитные формфакторы адронов
- •Глубоко-неупругое рассеяние лептонов на адронах
§5. Дискретные симметрии квантовой электродинамики
1. При построении стандартной модели важную роль сыграло исследование дискретных симметрий в субъядерном мире. Под дискретными симметриями обычно понимают симметрию относительно инверсии пространства , относительно зарядового сопряжения(т.е. превращения частиц в античастицы) и относительно обращения движения ("времени"). Рассмотрим сначала Р-симметрию ("сохранение четности"). Прежде всего, определим Р-операцию, которая меняет векторы состояния при инверсии пространства
x x = –x. (2.135)
Под действием оператора любое одночастичное состояние типаpm>, где p - импульс, m - проекция спина на ось квантования, должно превращаться в некоторое другое состояние pm>:
pm>=pm>. (2.135)
Закон преобразования (2.135) можно уточнить, рассмотрев его для волновых функций в координатном представлении. В этом случае при инверсии поле (r) преобразуется следующим образом:
(r) = (r) = (r). (2.136)
Это преобразование соответствует перенесению "содержимого" точки r в точку r=–r. Выбрав в качестве (r) плоскую волну, найдем, что
ei pr=e–i pr.
Таким образом, в (2.135) справа должно получиться состояние с противоположным импульсом. На этом, однако, конкретизация преобразованного вектора состояния pm> из (2.135) не заканчивается. Следующим объектом преобразования является спин. Что с ним происходит при инверсии? Естественно считать, что закон преобразования спина при инверсии совпадает с законом преобразования момента количества движения, в частности, орбитального момента. Но орбитальный момент L=[rp] не меняется при инверсии:
L=[rp] [(–r)(–p)] = [rp] = L.(2.137)
Поэтому должно быть
pm>=–pm>. (2.135а)
Наконец, последним вопросом, конкретизирующим (2.135), является вопрос о том, что происходит с "внутренним устройством " частицы при инверсии. Если рассматриваемая частица является составной и ее конституенты не изменяют своей природы при инверсии, то в (2.135а) возникает дополнительный множитель, называемый обычно четностью или внутренней четностью p, которая равняется
p = (–)l1+l2+..., (2.138)
где l1, l2, ... - орбитальные моменты конституентов.
Таким образом, в этом случае
pm> = p –pm>.(2.139)
Формула (2.139) остается справедливой и в том случае, когда частица
является точечным бесструктурным объектом.
Внутренняя четность в рамках стандартной модели определяется законом преобразования при инверсии соответствующего ей поля. Например, все носители взаимодействия являются квантами векторных полей и обладают отрицательной внутренней четностью. Кваркам и лептонам обычно приписывают положительную четность, но в этом случае антикварки должны обладать отрицательной четностью. Подчеркнем, однако, что закон преобразования спинорных полей таков, что только произведение внутренних четностей частицы и античастицы имеет определенное значение (-1). Например для кварков
p(q) p(q) = –1. (2.140)
2. Теперь мы можем сформулировать закон сохранения четности. Пусть происходит преоброзование состояния i> в конечное f>. В квантовой теории это преобразование характеризуется амплитудой вероятности перехода:
. (2.141)
"Сохранение четности" означает, что наряду с (2.141) имеет место преобразование
(2.142)
с амплитудой перехода
Mfpip = Mfi.(2.143)
На операторном уровне это означает, что
–1=, (2.143а)
где - оператор амплитуды.
Здесь ip> и fp> получаются из i>, f> действием оператора (2.139).
В терминах гамильтониана сохранение четности означает:
=
–1=. (2.144)
Поучительно выяснить, что подразумевает закон сохранения четности в случае, когда начальное состояние является собственной функцией :
i> = p(i)i>. (2.145)
В этой ситуации из (2.135а) следует, что конечное состояние f> также должно быть собственной функцией с тем же собственным значениемp(i):
f> = p(i)f>. (2.145а)
3. Квантовая электродинамика организована таким образом, что она оказывается симметричной относительно преобразования инверсии. На уровне "здравого смысла" это можно увидеть, например, из структуры взаимодействия КЭД. Действительно, взаимодействие зарядов и электромагнитного поля Hint записывается в квассической и квантовой электродинамике следующим образом:
Hint = j(t,x)A(t,x)d3x. (2.146)
При инверсии Hint преобразуется в Hint:
Hint = j(t,x)A(t,x)d3x.(2.147)
где j и A получаются из j и A обычным законом преобразования векторов:
A = (A0(x), A(x)) = (A0(–x),–A(–x)),
j = (j0(x), j(x)) = (j0(–x),–j(–x)). (2.148)
Из закона преобразования (2.148) видно, что
j(t,x)A(t,x)d3x=j(t,–x)A(t,–x)d3x =j(t,x)A(t,x)d3x. (2.149)
или что
Hint = Hint. (2.149а)
Отсюда можно сделать вывод о том, что при инверсии гамильтониан не изменяется. Сохранение четности в КЭД подтверждается всем опытом атомной и ядерной физики: то, что уровням атома или ядра приписывается определенная четность и есть проявление закона сохранения четности. В более широком аспекте сохранение четности будет рассмотрено в следующей главе.
4. Операция зарядового сопряжения в терминах одночастичных состояний определяется следующим образом:
pm> = pm>c, (2.150)
где c означает, что речь идет об античастице. Отметим, что зарядовое сопряжение не меняет кинематических характеристик частиц. Инвариантность теории относительно зарядового сопряжения означает,
аналогично (2.143) что
Mfcic = Mfi. (2.151)
Это, как и в случае четности, значит, что если есть процесс
(2.152а)
с амплитудой Mfi, то существует зарядовосопряженный процесс
(2.152б)
амплитуда которого Mfcic равняется амплитуде Mfi. Состояния ic>, fc> получаются из ic>, fc> действием оператора из (2.150), т.е. преобразованием частиц в античастицы без изменения их кинематических характеристик.
Квантовая электродинамика устроена зарядово-симметричным образом. Не вдаваясь в детали попробуем увидеть это на примере преобразования взаимодействия в КЭД.
При зарядовом сопряжении почти очевидно, что ток j меняет знак:
j j = –j. (2.153)
Действительно, поскольку операция состоит в изменении знака заряда без изменения кинематики, то ток должен обладать свойством (2.153). С другой стороны, электромагнитный потенциал при зарядовом сопряжении тоже должен изменить знак:
A A = –A.(2.154)
Это можно предвидеть, опираясь на то, что при изменении знака зарядов электромагнитное поле должно изменять знак. В результате получим, что при зарядовом сопряжении
Hint = jAd3x Hint = jAd3x = jAd3x = Hint, (2.155)
т.е. что взаимодействие остается инвариантным.
5. Специального обсуждения требует случай нейтральных систем, например фундаментального фотона или электронно-позитронной пары. В этом случае зарядовое сопряжение переводит систему саму в себя и возникает понятие зарядовой четности. Пусть состояние системы задается вектором состояния >. Тогда в квантовой теории переход системы "самой в себя" означает:
> = c>, (2.156)
где c - неопределенный фазовый множитель.
Двукратное применение операции возвращает систему в исходное состояние. Отсюда следует, что
c2 = 1, c = 1. (2.156)
Поскольку векторный потенциал A, входящий в квантовую теорию "от имени фотона", меняет знак при зарядовом сопряжении, то легко принять, что зарядовая четность фотона является отрицательной:
c() = –1. (2.157)
Система электрон-позитрон в состояниях с определенными орбитальным моментом l и спином S (т.е. позитронии Ps) обладает зарядовой четностью
c(Ps) = (–)l+S. (2.158)
Чтобы убедиться в этом, введем дополнительно к пространственной r и спиновой переменным зарядовые переменные с, в терминах которых определяется, является ли частица электроном или позитроном. Тогда волновая функция (r;1,2;c1,c2) будет зависить от большего числа переменных, а обобщенный принцип Паули будет иметь вид:
(r;1,2;c1,c2) = –(–r;2,1;c2,c1). (2.159)
Операция зарядового сопряжения на эту функцию будет действовать следующим образом:
(r;1,2;c1,c2) = (r;1,2;c2,c1). (1.160)
Далее, если система находится в состоянии с определенными l и S, то перестановка пространственных и спиновых координат электрона и позитрона должна приводить к следующему соотношению:
(r;1,2;c1,c2) = (–)l+S+1(–r;2,1;c1,c2). (2.161)
Использую (2.159-161) легко получаем, что
(r;1,2;c1,c2) = (–)l+S(r;1,2;c1,c2), (2.162)
т.е. что c(Ps) дается формулой (2.158).
Теперь мы можем пояснить два важных утверждения, сделанных в параграфах 3 и 4. Первым из них было то, что парапозитроний распадается на два фотона, а орто- - на три. Зарядовая четность парапозитрония в соответствии с (2.158) является положительной, а ортопозитрония - отрицательной. Зарядовая четность фотона равняется -1, а n фотонов
c(n)=(–)n. (2.163)
Зарядовая симметрия КЭД означает, что зарядовые четности начальной и конечной систем должны совпадать. Отсюда и следует утверждение о двухфотонном и трехфотонном распадах пара- и ортопозитрония.
Второе утверждение относится к запрету в КЭД диаграмм типа
(2.164)
т.е. диаграмм рассеяния фотонов на внешнем поле в первом приближении по внешнему полю.
???
6. Операция обращения движения подразумевает два действия. Во-первых, преобразование состоянияpm> в обращенное по движению состояние =(–)S–m–p–m>:
pm> = (–)S–m–p–m>. (2.165)
Во-вторых, Т-операция предполагает замену начального состояния конечным и конечного начальным. В терминах рассматриваемых ранее переходов i>f> обратимость движения означает следующее: если есть переход , то имеется переход
(2.166)
и . Состоянияполучаются изi,f> преобразованием (2.165).
Симметрия относительно обращения движения связывает между собой прямые и обратные процессы. Квантовая электродинамика обладает свойством обратимости движения.
7. В общем случае теория не обязана быть симметричной относительно отдельных операций С, Р и Т. Как мы увидим в следующей главе, слабое взаимодействие нарушает С и Р симметрии. Однако относительно произведения всех трех операций, т.е. относительно СРТ операции, любая разумная полевая теория должна быть инвариантной. Это утверждение в литературе носит название СРТ-теоремы.
СРТ симметрия связывает между собой ряд характеристик частицы и античастицы. Именно, должно быть:
- масса частицы равняется массе античастицы:
ma = m;(2.167а)
- магнитный момент частицы равняется магнитному моменту античастицы с противоположным знаком:
a = –;(2.167б)
- время жизни частицы равняется времени жизни античастицы:
a = . (2.167в)