Дополнительные вопросы физики слабого взаимодействия

1. В слабом взаимодействии, возникающем за счет обмена W-частицами (“заряженные токи”), участвуют только “левые” фермионы и “правые” антифермионы – кварки и лептоны. Понятие “левой” частицы в общем случае связано со свойствами решений уравнений Дирака. Именно, если

(x) = (3.42)

есть решение (четырехкомпонентное) уравнения Дирака, то “левой” частицей называется частица, описываемая волновой функцией _L:

_L(x) = 1/2(1+⁵)(x), (3.43)

где четырехмерная матрица

⁵ = (3.44)

Соответственно, правой частице отвечает волновая функция _R:

_R(x) = 1/2(1⁵)(x), (3.43a)

Если, однако, частицу можно эффективно считать безмассовой или если ее импульс p>>m, то “левость” или “правость” фермиона совпадают с его спиральностью , определяемой как проекция спина на направление движения:

=(s  n), (3.45)

где s – спин, а n – единичный вектор вдоль направления движения.

Таким образом, в условиях p>>m в слабом взаимодействии с обменом W-мезоном участвуют только фермионы с отрицательной спиральностью и антифермионы – с положительной.

В слабом взаимодействии с обменом Z-мезоном (“нейтральные токи”) участвуют как правые, так и левые фермионы, правда с разными интенсивностями.

2. Тот факт, что в слабом взаимодействии участвуют левые фермионы, приводит к кинематическим запретам на протекание некоторых реакций, а также к фундаментальному свойству несохранения четности.

Простейшей иллюстрацией кинематического запрета, связанного с левостью и правостью фермионов, является реакция (, e) упругого рассеяния назад. Как видно из рис.3.1 , (, e) рассеяние назад запрещено, поскольку проекция спина на ось столкновения меняется на единицу. Напротив, рассеяние (, e) назад является возможным. Более реалистическим проявлением левости слабого взаимодействия будет невозможность распада W-мезона с проекцией спина на ось распада, равной нулю (рис.3.2).

Наконец, прекрасной иллюстрацией своеобразного характера слабого взаимодействия является соотношение каналов распада  +_, e +_e при распаде отрицательного пиона. Действительно, зная резкую зависимость вероятности распада от выделяющейся энергии, мы могли бы ожидать, что в распаде пиона будет доминировать канал (e_e), в котором выделяется на 100 Мэв больше энергии. Между тем, отрицательный пион почти полностью распадается по каналу  +_. Этот парадокс легко разрешается, если учесть обсуждаемую особенность слабого взаимодействия. Действительно, как видно из рис.3.3, при распаде пиона с нулевым спином спиральность электрона должна быть положительной, поскольку этого требует закон сохранения момента количества движения – спиральность антинейтрино положительна. Но электрон с положительной спиральностью не участвует в слабом взаимодействии и, следовательно, канал распада

^e^ +_e

должен отсутствовать. Эти соображения, однако, не применимы к каналу  +_. Дело в том, что левость и правость частицы однозначно связаны со спиральностью только в пределе эффективно безмассовых частиц. Однако, при распаде пиона (m_=140 Мэв) мюон (m_=105 Мэв) ни в коем случае нельзя считать безмассовым. Поэтому левость мюона не запрещает его правую поляризацию!

3. Разный характер слабого взаимодействия левых и правых частиц автоматически предопределяет несохранение четности в слабых процессах. Как мы уже знаем, (см.Гл.II,§4), сохранение четности означает, что амплитуда “прямого процесса “

| i > | f >

и амплитуда ”отраженного процесса”

| i_P>| f_P >

должны быть одинаковыми:

=

Здесь состояния i, f>_p получаются из исходных i, f> действием оператора инверсии Р, например,

i_P> = Pi>.

Почти очевидно, что слабое взаимодействие не обладает симметрией пространства и поэтому нарушает закон сохранения четности.

Действительно, рассмотрим действие оператора Р на состояние p> с определенным импульсом р и спиральностью =(sn). Как мы уже знаем, при инверсии направление движения меняется на противоположное, а ориентация спинов не меняется. Поэтому

Pp> =  p>, (3.46)

где  – некоторый фазовый множитель =1, несущественный для нас. Из (3.46) видно, что при инверсии частицы меняют спиральность и, следовательно, левые частицы превращаются в правые и наоборот. Мы знаем, однако, что в слабом взаимодействии участвуют только левые частицы и правые античастицы. Поэтому слабое взаимодействие очевидным образом несимметрично относительно инверсии пространства.

5. Слабое взаимодействие нарушает не только симметрию относительно инверсии пространства, но и зарядовую симметрию (С). Это проще всего увидеть, если сравнить два процесса распада

^ +_

⁺  + _. (3.47)

Если бы зарядовая симметрия имела бы место, то два процесса распада (3.47), будучи зарядово-сопряженными друг относительно друга, должны были бы иметь одинаковые пространственные характеристики. Между тем в распаде

^ +_

мюоны вылетают со спиральностью =+1/2, а в распаде

^+ _

со спиральностью =1/2!

6. В подавляющем большинстве слабых процессов, несмотря на нарушение Р и С симметрии в отдельности сохраняется РС-симметрия, т.е. симметрия относительно действия операций пространственной инверсии и зарядового сопряжения. Это можно увидеть, например, из сравнения процессов (3.47). Действительно, при одновременном действии операторов Р и С кинематические характеристики, в частности, спиральности отрицательных и положительных мюонов оказываются одинаковыми.

Выяснилось, однако, что в распаде нейтральных каонов К⁰ и К⁰ имеет место нарушение РС-симметрии. Это явление было открыто в 1963 году Фитчем и Турлеем (нобелевская премия 197. )

Чтобы понять, как было обнаружено нарушение РС-симметрии, проанализируем с позиций квантовой теории временную эволюцию рожденного в адронном процессе нейтрального каона. Пусть нам известно, что в момент времени t=0 имеется состояние , t=0> = K⁰> = K⁰. Последующую временную эволюцию этого состояния можно определить следующим образом

(t)>=e^iHtK⁰>, (3.48)

где Н – гамильтониан.

Уточним, какие явления будут происходить при эволюции каона. Стандартная модель предсказывает, что должен существовать переход

К⁰ К⁰. (3.49)

Действительно, должен иметь место процесс:

(3.50)

в результате которого и происходит преобразование (3.49). Об этом же свидетельствует и эксперимент, поскольку известно, что и К⁰, и К⁰ распадаются по одному и тому же каналу ⁺^. В силу этого возможна цепочка преобразований:

К⁰  ⁺^ К⁰ (3.51)

Взаимодействие, вызывающее переход К⁰ К⁰ является очень слабым, но поскольку состояния К⁰ иК⁰ имеют одну и ту же массу (частицы и античастица!), его влияние на распад каона может быть очень сильным. Чтобы выявить возникающие эффекты, будем считать, что гамильтониан Н имеет вид

H = H₀ + V

где V – взаимодействие (очень слабое), обеспечивающее переход К⁰ К⁰, а Н₀ – гамильтониан свободных К⁰ и К⁰ частиц.

Собственные функции K_1,2> гамильтониана Н в этой ситуации легко находятся – задача эквивалентна решению квантовомеханического секулярного уравнения для двух вырожденных уровней, т.е. диагонализации матрицы:

(3.52)

Результат решения секулярного уравнения или диагонализации матрицы (3.52) следующий:

HK_1,2>=M_1,2K_1,2>, (3.53)

где

K₁> = 1/2(K⁰ K⁰),

K₂> = 1/2(K⁰ +K⁰). (3.54)

Зная собственные функции К_1,2, легко определить временную эволюцию состояния К⁰:

(t)> = e^iHtK⁰> = 1/2e^iHt(K₁ + K₂)

=. (3.55)

До сих пор мы не учитывали возможность распада К_1,2 состояния. Если ее учесть, то

(t)> = , (3.56)

где _1,2 – ширины (вероятности) распадов частиц К_1,2. Эти частицы, в отличие от К₀,К⁰, обладают определенной РС-четностью:

РС К₁ = +K₁,

РС К₂ = K₂. (3.57)

Проверим это для К₁-частицы:

PC K₁ = 1/2PC (K⁰ K⁰)

= 1/2 P (K⁰  K⁰)

= 1/2(K⁰ + K⁰)

= K₁. (3.58)

Предположим далее, что имеет место РС-симметрия. Тогда РС- четность должна сохраняться, и частица К₁ может распадаться только в РС-четную систему, а К₂ – в нечетную.

Выясним, какие правила отбора возникают при этом для пионных распадов К_1,2. Система из двух пионов ⁺^ всегда обладает положительной РС-четностью:

PC⁺^> = P ()^l⁺^> = ()^2l⁺^> = ⁺^>. (3.59)

Поэтому при РС-симметрии на два пиона может распадаться только К₁ частица!

Напротив, трехпионное состояние, в зависимости от относительных орбитальных моментов, может иметь как положительную, так и отрицательную РС-четность. Следовательно, при РС-симметрии схемы пионных распадов должны быть следующими:

К₁  2, 3, ...

К₂  3, ... (3.60)

С другой стороны, мы знаем, что вероятность слабых процессов очень сильно (⁵) зависит от выделяющейся при распаде энергии . Отсюда следует, что вероятность ₁ распада К₁-частицы должна быть намного больше вероятности ₂ распада К₂-частицы. Реально времена жизни _1,2 частиц К_1,2 оказываются равными:

₁ = 0.8910^10c,

₂ = 5.1710^8c. (3.61)

Таким образом, последовательность событий при распаде пучка нейтральных каонов К⁰ в случае РС-симметрии должна быть следующей (рис3.4): сначала интенсивно распадаются К₁-частицы и будут видны в основном двухпионные распады; спустя время t>>₁, когда К₁-компонента пучка нейтральных каонов вымрет, будут наблюдаться только трехпионные распады К₂-частицы.

В эксперименте Фитча и Турлея было доказано, что спустя t=19₁ в пучке нейтральных каонов с относительной вероятностью

_(3.62)

происходят двухпионные распады. Это однозначно свидетельствовало о том, что в распадах нейтральных каонов нарушается РС-симметрия.

Впоследствии эти результаты были уточнены, а нарушение РС-симметрии было обнаружено в каналах распада

К₂  ^ + е⁺ + ,

К₂  ⁺+е^+. (3.63)

Именно, отношение

(3.64)

оказалось равным 2.510^3. При сохранении РС-симметрии это отношение должно обращаться в нуль.

7.Формирование состояний К_1,2 связано с интересным физическим явлением – “биениями” в вероятности найтиК⁰ в пучке распространяющихся каонов. Чтобы увидеть это, выразим состояние (3.56) через состояния К⁰,К⁰. Используя (3.54), легко получаем, что

K⁰(t)> = 1/2{( e^{i(M1i1/2)t} + e^{i(M2i2/2)t}) K⁰ ( e^{i(M1i1/2)t} + e^{i(M2i2/2)t})K⁰}. (3.65)

Отсюда следует, что вероятность W_K найти в пучке нейтральных каонов антикаон К⁰

(3.66)

где

 = (₁+₂)/2, М_1,2 –массы К_1,2.

Оказывается, что эту вероятность можно измерить на опыте. В результате можно измерить m=m₁m₂, которое оказалось равным

m = (3.490.009)10^6эв. (3.67)

Разность масс каона и антикаона не может превышать эту величину. Следовательно, равенство масс частицы и античастицы подтверждается на опыте с точностью 10^6/510⁸=0.210^15! Это – одна из наиболее точно измеренных величин в физике.

8. До сих пор нарушение РС-симметрии наблюдалось только в распаде нейтральных каонов. В рамках стандартной модели нарушение РС-симметрии вводится “руками” через матрицы смешивания СКМ: несохранение РС-четности вызывается тем, что некоторые элементы этой матрицы являются комплексными. Подчеркнем, что при двух поколениях кварков матрицы СКМ должна быть действительна и нарушения РС-симметрии быть не может. И только для трех поколений имеется возможность (только возможность!) того, что некоторые элементы этой матрицы (например, V_ub и V_td) будут комплексными. Поэтому поиски других случаев нарушение РС-симметрии являются очень актуальными – новые результаты должны показать, правильно ли мы понимаем механизм возникновения нарушения РС-симметрии в стандартной модели.

Стандартная модель предсказывает, в каких случаях эффекты РС-симметрии будут максимальными. Оказывается, что наиболее перспективным в этом отношении являются распады нейтральных В-мезонов, и в настоящее время В-мезонная физика развивается в целое направление в физике частиц.

Простейшим сигналом несохранения РС-симметрии в распадах В-мезонов может служить различие в вероятностях распада частицы и античастицы, например,

В⁺  K⁺⁺^

В^  К^^⁺. (3.68)

9. Явление “биений”, т.е. переходов частицы в античастицу, аналогичных переходам К⁰ К⁰ экспериментально обнаружено и для нейтральных В⁰,В⁰-частиц. Квантово-механический аппарат трактовки связанных с этим биений, почти тождественен каонному. Поэтому мы приведем только значение разности масс В⁰_1,2-мезонов – частоты биений:

m(B)_1,2 = (0.4740.031)1012(hc)^1= (3.69)

10. Мы видели, что в слабом взаимодействии с заряженными бозонами участвуют не кварки d, s, b, а их линейные комбинации d, s, b:

w w w

u  d, c  s, t  b.

Возникает естественный вопрос, является ли это особенностью кварков, или это свойство присуще также и другим частицам, входящим вместе с кварками в одно поколение, т.е. лептонам _e, _, _? Рассмотрим следствия гипотезы о том, что во взаимодействии с W-бозоном в действительности участвуют не “настоящие” нейтрино, т.е. собственные состояния ₁, ₂, ₃ гамильтониана Н с массами m₁, m₂, m₃, а “фиктивные “ нетрино, т.е. суперпозиции _e, _, _, которые мы и называем нейтрино. Для простоты ограничимся случаем двух нейтрино _e, _ и положим

_e = cos ₁ + sin ₂

_=sin₁ + cos ₂, (3.70)

где  обычно называется углом смешивания нейтрино. Наиболее важным следствием (3.70) являются осцилляции нейтрино. Формальный аппарат анализа этих осцилляций тождественен аппарату, используемому в физике нейтральных каонов. Если в момент времени t=0 возникает состояние _e>_e, то в момент t оно должно иметь вид:

_e(t)>  _e(t) = e^iHt_e, (3.71)

где Н – гамильтониан, собственными состояниями которого являются состояния _1,2>:

H_1,2> = _1,2_1,2>. (3.73)

Подставив в (3.71) соотношение (3.70), найдем, что

_e(t) = (3.74)

Выразив далее _1,2 через _e,_:

₁ = cos _e  sin _

₂ = sin _e + cos _ (3.75)

и подставив (3.75) в (3.74), найдем, что

_e(t) = { cos² + sin²}_e

+ { cossin + cossin}_. (3.76)

Из (3.76) следует, что вероятность в момент t найти_ в пучке, который при t=0 целиком состоял из _е, равняется

(t) = sin²2  sin²((/2)t). (3.77)

Поскольку

 = ₁₂ = m₁²+p² m₂²+p²  (m₁²-m₂²)/2p= m² /2p, (p>>m_1,2), (3.78)

то (3.78) переписывается в виде:

(t) = sin²2  sin²(m²t/2p). (3.79)

11. Эксперементальные попытки обнаружить осцилляции нейтрино в экспериментах на реакторах и ускорителях закончились неопределенными результатами. Отсюда следует, что если и имеет место смешивание нейтрино, то оно должно быть очень небольшим.

Между тем, попрежнему “висела” проблема солнечных нейтрино – Солнце несомненно светит за счет ядерных реакций и, следовательно, должно испускать мощный поток антинейтрино. Однако неоднократные попытки измерения потока солнечных нейтрино приводило к их определенному, примерно двух-трехкратному дефициту - вместо ожидаемого потока = 510⁶ /см²сек “борных” нейтрино c энергией ( “стандартная модель Солнца“) на опыте поток получался равным = 2 10⁶ /см²сек . В настоящее время стало абсолютно ясным, что это расхождение между предсказаниями Стандартной ( т.е. общепринятой сейчас) модели Солнца и наблюдениями является следствием того, что на пути из центра Солнца до Земли с нейтрино “что-то происходит”, скорее всего превращение электроннного нейтрино в мюонное и таонное. Действительно, измерения потока нейтрино по вызываемым им реакциям – упругому рассеянию- вследствие обмена Z—частицей ( нейтральные токи) приводит к правильному, т.е. согласующемуся со стандартной моделью Солнца, потоку нейтрино – примерно = 510⁶ /см²сек ( данные коллобарации Sudbury). Напротив, измерения потока нейтрино по реакциям (,e) с обменом W—носителем взаимодействия приводит к заниженному значению нейтринного потока --  210⁶ /см²сек. Скорее всего это расхождения обусловлено тем, что на пути от Солнца до Земли значительная часть электронных нейтрино ( а только они и появляются непосредственно в термоядерных реакциях) превращается в мюонное и таонное нейтрино, которые не могут уже вызывать реакции с возникновением мюона и таона ( в силу закона сохрания энергии). Остается , однако, противоречие между данными с реакторными пучками нейтрино о незначительности смешивания нейтрино и вполне заметным эффектом для солнечных нейтрино. Возможное (и изящное) решение проблемы было найдено Смирновым А.В. и Михеевым в 1985 году. Оказывается, что толща Солнца может действовать как чрезвычайно эффективный усилитель нейтринных осцилляций, приводя к почти полному превращению электронных нейтрино в мюонные. Рассмотрим основные моменты концепции Смирнова и Михеева.

Как известно, любая частица, попадая в среду, с которой она взаимодействует, теряет свою вакуумную идентичность и превращается в некоторую эффективную степень свободы -- квазичастицу, представляющую собой, вообще говоря, сложную квантовомеханическую суперпозицию вакуумной частицы и эффектов поляризации среды. Например, фотоны в среде двигаются уже не со скоростью света; электроны в металле приобретают массу, отличную от вакуумной; нуклоны в ядрах также становятся квазичастицами. Разумеется, точно также и нейтрино, попадая в среду становится эффективной степенью свободы -- квазичастицой, масса, которой, вообще говоря, отлична от ее вакуумного значения. Напомним, что мы уже обсуждали происхождение ( изменение) массы частицы за счет отталкивания от хиггсовского и кирального конденсатов. В концептуальном плане среда не отличается от вакуума: отталкивание или притяжение точно так же должно привести к увеличению, либо к уменьшению массы нейтрино, как и взаимодействие с конденсатом. Попробуем понять это утверждение с позиций здравого смысла. Проходящая через среду волна (любая волна!) взаимодействует со множеством рассеивателей. Ее распространение в среде можно разделить на когерентную и некогерентную части. Когерентная составляющая и есть распространяющаяся в среде волна; негогерентная часть – соответствует рассеянию на хаотических структурах, аналогичному, например, тому, которое приводит к голубому цвету неба. Распространение когерентной волны должно описываться волновым уравнением с усредненными характеристиками среды – в данном случае с усредненным взаимодействием. Проследим, как все это реализуется на примере распространения в среде частицы, подчиняющейся уравнению Дирака (т.е нейтрино). Пусть V – скалярное (лоренц-скалярное) взаимодействие нейтрино с электронами среды. Тогда уравнение Дирака должно записываться в виде:

(-m –V) =0. (3.80)

Взаимодействие (“потенциал”) V содержит взаимодействие со всеми электронами среды и, следовательно, очень сильно флуктуирует от электрона к электрону. Выделем когерентную часть нейтринной волны. Для этого усредним уравнение Дирака по макроскопически малому объему, содержащему, однако, большое число электронов. Тогда, как и при переходе к макроскопическим уравнениям в электродинамике, получаем уравнение

( m –V)=0, (3.81)

где

= V₀ n, V₀ =, (3.82)

n – плотность электронов в среде.

Сравнивая это уравнение со свободным волновым уравнением –уравнением Дирака, мы видим, что поправка m к массе равняется:

m = (3.83)

Обычно величину выражают через амплитуду рассеянияf на нулевой угол ( амплитуду рассеяния вперед, см. Гл II §):

f=  (3.84)

и поправка m к массе приобретает вид:

m = . (3.85)

При положительной амплитуде масса увеличивается , при отрицательной – уменьшается. Формула (3.85) носит универсальный характер и справедлива при распространениеи в среде любых волн.

Амплитуды рассеяния электронного и мюоного нейтрино должны отличаться. Действительно,амлитуда рассеяния _e дается двумя диаграммами:

a амплитуда рассеяния _ одной ( поскольку нет канала _,):

Соответственно, амплитуда рассеяния электронного нейтрино должна быть больше амплитуды мюонного. Поэтому приращение массы у электронного нейтрино будет больше, чем у мюонного.

Теперь мы можем пояснить концепцию Смирнова – Михеева. Пусть в вакууме . Это представляется вполне естественным, так как массы частиц увеличиваются при переходе от одного поколения частиц к более высокому. Пусть, далее, эффективная масса  в центре Солнца. При распространении нейтрино от центра к периферии плотность электронов уменьшается и массы электронного и мюонного нейтрино будут сближаться. О том, что будет происходить в области пересечения кривых изменения масс, можно понять из двухуровнего секулярного уравнения теории возмущении в квантовой механике, которое должно описывать эволюцию нейтрино, обусловленную их взаимными переходами. Действительно, перейдем в систему покоя нейтрино, распространяющегося в Солнце. В отсутствие взаимодействия w, вызывающего переходы, эффективные массы электоронного и мюонного нейтрино обозначим для простоты через m₁ = и m₂ =. При распространении нейтрино их эффективные массы m₁ и m₂ будут меняться. Чтобы упростить анализ, мы вместо реальной задачи распространения нейтрино с переходами исследуем физически эквивалентную ей задачу о том, как будут проявляться эффекты переходов при изменении соотношения эффективных масс нейтрино. В этом случае задача сводится к упомянутому двухуровнему секулярному уравнению теории возмущений. Это уравнение имеет вид:

H =M , (3.86)

или

c₁( М m₁ ) wc₂ =0

 c₁ w₊ c₂( М m₂ ) =0, (3.86а)

где с_1,2– коэффициенты разложения точной волновой функции  по базисным нейтринным функциям ₁ и ₂

=c₁₁ + c₂ ₂ (3.87)

и М– точное значение массы нейтрино с учетом взаимопревращений. Таким образом, c₁ определяет примесь в нейтринном пучке электронного нейтрино, c₂ –мюонного.

Решение этого уравнения приводится в любом учебнике по квантовой механике. Поэтому здесь мы обсудим только конечный результат для зависимости от разности m точной массы М₁ “верхнего”, т.е. вначале электронного нейтрино и амплитуды с₁:

M₁ =1/2(m₁ +m₂) +(w² +m₁ –m₂ )^1/2 (3.88а)

c₁ = (3.88б)

Формулы (3.88) дают зависимость М и с от разности масс m, величина и знак которой может меняться. При большой разности m по сравнению с w, М₁ равняется либо m₁, либо m₂ , как и должно быть. Однако “содержание“ верхнего по массе нейтрино драматически меняется. На Рис. приведена зависимость с₁ от разности m. При m0и больших с₁ =1, т.е. верхнеее нейтрино является электронным. При разности m0 и большой, с₁ обращается в нуль, и нейтрино становится мюонным. Таким образом,

при распространении из центра Солнца к Земле с электронным нейтрино происходят драматические изменения: в области m₁= m₂ электронное нейтрино быстро превращается в мюонное. При чем это преобразование не зависит от величины смешивания—важно только чтобы оно не обращалось в нуль.