24/ Дифракция света.

Принцип Гюйгенса-Френеля.

Дифракцией называется отгибание волнами препятствий. Например, звук хорошо слышен за углом дома. Явление дифракции хорошо объясняется с помощью принципа Гюйгенса: каждая точка, до которой доходит волна, является источником вторичных волн, и огибающая этих волн является волновым фронтом в следующий момент времени. Если плоская волна падает на отверстие, то, построив в каждой точке волновую поверхность (сфера), огибающая будет выходить за края отверстия.

Но, с другой стороны, тень от непрозрачных предметов, четкая, т.е. свет распространяется прямолинейно.

Френель дополнил принцип Гюйгенса: световая волна, возбуждаемая каким - либо источником может быть представлена как результат суперпозиции когерентных вторичных волн, возбуждаемых каждой точкой волнового фронта. Принцип Гюйгенса-Френеля позволил решить задачу о прямолинейном распространении света.

Метод зон Френеля. Прямолинейное распространение света.

Пусть световая волна распространяется в однородной среде из точечного источника S. Найдем амплитуду световой волны в произвольной точке М. Начертим сферическую поверхность, являющуюся поверхностью фронта волны. Согласно принципу Гюйгенса-Френеля, каждая точка волнового фронта является источником вторичных волн. Френель разбил волновую поверхность на зоны, так что расстояния от краев зоны до точки М отличаются на /2. Такое разбиение можно сделать, проведя из точки М окружности радиусами b+ /2, b+2 /2, b+3 /2.... .

Расстояния от аналогичных точек соседних зон до точки М отличаются на /2, следовательно, колебания от соседних зон приходят в точку М в противофазе, ослабляя друг друга. Поэтому амплитуда результирующего колебания в точке М будет: А = А₁-А₂+А₃-А₄..., гдеА₁, А_2, А _3,А _4...- амплитуды колебаний, возбуждаемых 1-й, 2-й,.... зонами.

Отметим, что интенсивность, а, следовательно, и амплитуда волны зависит:

1. от площади излучаемой поверхности: чем больше площадь излучаемой поверхности, тем больше результирующая интенсивность

2. от расстояния от излучаемой поверхности до точки наблюдения: чем больше расстояние до точки наблюдения от поверхности, тем меньше интенсивность

3. от угла между нормалью к излучаемой поверхности и направлением к точке наблюдения: интенсивность в точке наблюдения тем меньше, чем больше угол между нормалью к поверхности и направлением на точку наблюдения.

Покажем, что при данном разбиении на зоны Френеля, площади всех зон равны. Пусть - радиус сферической поверхности.- расстояние от краяm – ой зоны до точки наблюдения. Площадь зоны Френеля: ,- площадь шарового сегмента.,- высота шарового сегмента.

Из рисунка видно: . Раскрываем скобки:. При малыхm: ..- не зависит отm. Т.о., при не слишком больших m, площади зон Френеля одинаковы.

Таким образом,

1. При данном разбиении на зоны Френеля, площади всех зон равны, а, следовательно, равны и интенсивности, излучаемые каждой зоной.

2. Расстояние от зоны до точки М медленно растет с номером зоны, а, следовательно, уменьшается амплитуда в точке М с увеличением номера зоны.

3. Угол между нормалью к элементам зоны и направлением на точку М увеличивается с увеличением номера зоны, следовательно, интенсивность в точке М убывает от центра к периферии.

Таким образом, амплитуда колебания, возбуждаемого m –ой зоной в точке М, монотонно убывает с ростом номера зоны m. Поэтому можно записать, что А₁>А₂ >А₃ >А₄ >.....

Общее число зон Френеля, умещающихся на полусфере, велико: при a=b=10 м и =0.5мкм . Поскольку амплитудамонотонно убывает с ростомm, то можно записать, что . Тогда амплитуду в точке М представим в виде:. Амплитуда результирующего колебания в точке М:. Где знак плюс соответствует нечетнымm, а минус - четным m. Т.о. амплитуда результирующего колебания в произвольной точке М определяется как бы действием только половины центральной зоны Френеля. Радиус первой зоны Френеля определяем из соотношения: . Тогда радиус первой зоны Френеля :, в нашем случаеr₁=0,5 мм. Следовательно, распространение света происходит так, будто световой поток распространяется внутри очень узкого канала вдоль SM, т.е. прямолинейно.

Дифракция Френеля на круглом отверстии.

Волна распространяется от точки S. На ее пути поставим экран с круглым отверстием. Определим интенсивность волны в точке М. Разобьем открытую часть волновой поверхности на зоны Френеля. Амплитуда результирующего колебания в точке М будет: А = А₁-А₂+А₃-А₄..., Если отверстие открывает одну зону, то в точке М А=А₁, т.е. вдвое больше (а интенсивность I=A² в четыре раза больше), чем при свободном распространении света. При удалении от центра М интенсивность монотонно убывает. При расширении отверстия, в точку М будут приходить вторичные волны второй зоны, и, интерферируя с волнами первой зоны, дадут ослабление интенсивности в точке М. Если отверстие полностью открывает две зоны, то А= 0 в точке М, т.к. А₁А₂. В точке М получится темное пятно. Если отверстие открывает четное число зон Френеля (при малом диаметре отверстия), то в точке М будет А=0, т.к. волны, приходящие из соседних зон Френеля будут гасить друг друга. Если отверстие открывает нечетное число зон Френеля, то в точке М - амплитуда больше, чем при свободном распространении света.

Относительно точки Р, смещенной относительно точки М в произвольном радиальном направлении, края круглого отверстия частично закроют вторую зону, одновременно открывая третью. В результате наложения лучей, исходящих из трех зон, интенсивность света увеличится и при некотором положении точки Р достигнет максимума. Вокруг темного пятна в точке М будет наблюдаться светлое пятно. Если сместиться из центра картины еще дальше в точку К , то края отверстия относительно точки К частично закроют первую зону, одновременно открывая часть четвертой зоны. В результате интенсивность света уменьшится, и в некоторой точке на экране будет наблюдаться минимум интенсивности.

Таким образом, дифракционная картина представляет собой чередование темных и светлых колец. В центре светлое или темное пятно зависит от числа открытых зон.

Если отверстие частично открывает первую зону, то чередования темных и светлух полос не будет, а на экране будет наблюдаться размытое светлое пятно. Если отверстие открывает большое число зон, то чередование светлых и темных полос наблюдается лишь в узкой области на границе геометрической тени, внутри этой области освещенность оказывается практически постоянной. Результирующая амплитуда в точке М , т.е. такая же, как и при полностью открытом отверстии. Дифракционной картины не наблюдается, свет распространяется прямолинейно, как в отсутствии отверстия.

Дифракция на круглом диске.

На пути сферической волны поставлен диск. Разобьем открытую волновую поверхность на зоны Френеля.

Пусть диск закрывает первые m зон Френеля. Амплитуда в точке М: . Следовательно, в точке М всегда наблюдается максимум (светлое пятно). Для точки Р, смещенной относительно точки М в любом радиальном направлении, диск будет перекрывать частьзоны Френеля, одновременно открывая частьm-ой зоны. Это вызовет уменьшение интенсивности и в некоторой точке интенсивность достигнет максимума. Центральный максимум окружен концентрическими с ним темными и светлыми кольцами.

Зонные пластинки.

Поставим на пути волны пластинку, которая закрывает только четные зоны (или только нечетные зоны). Тогда амплитуда в точке М увеличивается: А=А₁+А₃+А₅+... Такая пластинка играет роль собирающей линзы.

Дифракция Фраунгофера на одной щели.

Пусть на бесконечно длинную щель падает плоская монохроматическая волна. Поместим за щелью собирающую линзу, а в фокальной плоскости линзы – экран. Разобьем открытую часть волновой поверхности в плоскости щели на зоны Френеля, имеющие вид полос, параллельных ребрам щели.

Ширина каждой зоны такая, что разность хода лучей, выходящих из краев этих зон равна /2. Разность хода между крайними лучами, идущими от щели в произвольном направлении  равна . На ширине щели укладываетсязон Френеля. Т.е. число зон Френеля, укладывающихся на ширине щели зависит от угла. Колебания от каждой пары соседних зон взаимно гасятся (колебания отличаются на/2). Если на ширине щели укладывается четное число зон Френеля, то в точке наблюдения на экране будет минимум интенсивности:=. Следовательно, условие дифракционного минимума:, (m=1,2,3,....)

Если на ширине щели укладывается нечетное число зон Френеля, то в точке наблюдения - дифракционный максимум. Т.о. условие дифракционного максимума: , (m=1,2,3,....). Можно показать, что интенсивность света вдоль экрана изменяется по закону: .-интенсивность, в середине дифракционной картины. В направлении = 0, свет распространяется с наибольшей интенсивностью. В точке В_о наблюдается центральный дифракционный максимум. (см рис.: интенсивность от sin ) При освещении щели белым светом, в центре наблюдается яркая белая полоса, а далее боковые максимумы радужно окрашены (т.к. условие максимума и минимума, зависит от длины волны).

Дифракция Фраунгофера на двух щелях.

Пусть ширина щели a, а ширина непрозрачной части b, d=a+b. Пусть на щели падает плоская монохроматическая волна. Разобьем открытую часть волновой поверхности в плоскости обеих щелей на зоны Френеля, имеющие вид полос, параллельных ребрам щели.

В тех направлениях, в которых ни одна их щелей не распространят свет, он не будет распространяться и при двух щелях, поэтому условие главных (прежних) минимумов остается прежним: , (m=1,2,3,...)

Лучи, идущие от разных щелей, когерентны. Из-за интерференции лучей, посылаемых двумя щелями, в некоторых направлениях лучи гасят друг друга, а в некоторых усиливают друг друга. Разность хода лучей, идущих от соседних щелей для данного направления  будет: .. Если оптическая разность хода равна целому числу длин волн, то на экране наблюдается максимум:, (m=0,1,2,...) - условие главного максимума. Если оптическая разность хода равна полуцелому числу длин волн, то на экране наблюдается минимумы: - условие дополнительных минимумов.- главные минимумы,- главные максимумы.- дополнительные минимумы,- главные минимумы,- дополнительные минимумы,- главные максимумы. Т.о. между двумя главными максимумами лежит один дополнительный минимум.

Дифракционная решетка.

Дифракционная решетка - система параллельных щелей равной ширины. D = a+b - называют постоянной решетки. Картина аналогична картине от двух щелей. Условия максимумов и минимумов почти сохраняются: , (m=1,2,3,...)- условие главного минимума остаётся прежним: в тех направлениях, в которых ни одна их щелей не распространят свет, он не будет распространяться и приN щелях. , (m=0,1,2,...) - условие главного максимума остается таким же, как и для двух щелей, поскольку каждая последующая щель дает вклад с фазовым сдвигом, кратным.

Можно показать, что интенсивность света вдоль экрана изменяется по следующему закону: .-интенсивность, создаваемая одной щелью против центра линзы. Выражение обращается в нуль, если, а. Т.е.. Следовательно, условие дополнительных минимумов, (кроме 0, N, 2N...). В случае двух щелей напряженности электрических полей волн, распространяющихся от этих щелей, в минимуме направлены в противоположные стороны. В случаеN щелей суммарная напряженность в минимуме равно нулю, при этом не обязательно, чтобы напряженности полей волн от соседних щелей были противоположно направлены. Поэтому дополнительные минимумы от N щелей лежат чаще, чем от двух.

Между двумя главными максимумами лежат (N-1) дополнительных минимумов, разделенных дополнительными максимумами.

Если на решетку падает белый свет, то все максимумы, кроме центрального, разлагаются в спектр и пространственно разделены. Поэтому дифракционную решетку используют как спектральный прибор, по которому очень точно можно установить длину волны.