14/ Теорема Гаусса для магнитных полей.

Для магнитных полей движущихся зарядов существует принцип суперпозиции полей, т.е магнитное поле созданное системой движущихся зарядов равно геометрической сумме магнитных полей создаваемых каждым движущемся зарядом в отдельности.

Поток магнитных полей .- поток геометрической суммы магнитных полей равен алгебраической сумме потоков магнитных полей. Поэтому рассмотрим поток векторасозданного движущимися зарядами.

Пусть заряд движется с постоянной скоростью доски. Магнитные силовые линии представляют собой концентрические окружности в центре которых расположены на прямой движущиеся заряды. Плоскости окружности лежат в плоскости тетради. Поверхность произвольная замкнутая. (рис. 47)

Рассмотрим концентрическую трубку составленную из магнитных силовых линии. Магнитные силовые линии не пересекаются. Определим поток через поверхностьнормаль берется внешняя. Наи- нормаль направлена вдоль радиуса окружности. Поэтому наи-поток вектора:. Потоки через поверхностиипо величине одинаковы поскольку магнитные силовые линии не пересекаются. Нормали направлены в противоположные стороны поэтому потоки черезиотличаются по знаку. Значит суммарный поток черезиравен нулю. Таким образом поток через поверхностьравен нулю.

Произвольную замкнутую поверхность можно разбить на концентрические трубы, поток через каждую равен нулю. Трубка всегда пересекает замкнутую поверхность четное число раз поэтому поток и для этого случая равен нулю.

Поток через всю произвольную замкнутую поверхность.

Сравним теоремы Гаусса ивывод: электростатическое поле создается электрическими зарядами тогда как магнитных зарядов нет.

Для дифференциальной формулировки: разделим обе части наполучим,;,а это есть.

Теорема о циркуляции для магнитного поля в вакууме.

Циркуляция по произвольному замкнутому контуру называется величина. Определим циркуляцию векторапо произвольному замкнутому контуру. Магнитное полесоздается проводником с током.

Рассмотрим произвольный замкнутый контур, плоскость контурапроводнику.- элемент контура. (рис. 48) Провели магнитную силовую линию через т. А на контуре,направлен по касательной.гдеэто проекцияна направление,. Значит.- магнитное поле линейного проводника с токомтогда,.

Если контур обхватывает несколько токов то согласно принципу суперпозиции полей тогда.

Циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов охватываемых контуром умноженным на . Знак тока определяется направлением контура по правилу буравчика. Ток учитывается столько раз сколько он проходит через контур. (рис. 49).

где - нормаль к поверхности,- любая поверхность натянутая на контур, тогда.

Дифференциальная формулировка: разделим обе части выраженияна.,тогда;По определению:и тогда.

Физически смысл: магнитные силовые линии замкнуты. Магнитное поле не является потенциальным т.к работа поля равна нулю и поле называется вихревым.

Используя теорему о циркуляции рассчитаем поле соленоида. (рис. 50)

Левая часть

, .- это бесконечный соленоид.

Поле находится только внутри соленоида. В близи оно равно нулю.

Рассмотрим прямоугольную контур: одна сторона ее лежит на магнитной силовой линии внутри соленоида. Противоположная сторона вне соленоида а стороныимагнитным силовым линиям.,- можно вынести за знак интеграла потому как в каждой точке магнитной силовой линииодинаково.

Правая часть

Здесь интересуют только токи которые охватывает контур ,, где-число охватываемых витков.;где- число витков в единицу длины..не зависит от координат т.е магнитное поле соленоида однородно.

Поле тороида.

Магнитное поле находится внутри катушки (рис. 51), В вынесли т.к в каждой точке магнитное поле одинаково. - радиус окружности.,- число витков тороида.. Магнитное поле тороида зависит отт.е оно изменяется по величине вдоль радиуса, следовательно оно неоднородно.