18/Энергия магнитного поля. Плотность энергии магнитного поля.

Проводник с током создает вокруг себя магнитное поле, если ток исчезает то и магнитное поле исчезает. Предположим что энергия магнитного поля равна работе которая затрачивается током на создание этого поля. (рис. 67)

Ключ в положении 1 – по катушке течет постоянный ток в соленоиде.

В положении 2 – по катушке течет ток поддерживаемый эдс самоиндукции. ;;;;;. В качестве катушки берем соленоид, т.к в нем поле однородно.

(рис. 68) ;,вынесли за знак интеграла потому что в каждой точке магнитной силовой линииодинаково.;;;;. Сравниваем сотсюда.

. .

Магнитное поле в соленоиде однородно поэтому . Эта формула верна и для неоднородно магнитного поля в этом случае;;.

19/Вихревое электрическое поле.

Рассмотрим возникновение индукционного тока в неподвижном контуре который помещен в изменяющееся со временем магнитное поле.

Возникновение тока всегда обусловлено действием сторонних сил на электрические заряды. Опыт показывает что в неподвижном контуре помещенном в изменяющееся со временем магнитное поле эти сторонние силы не являются ни химическими ни механическими ни силой Лоренса. Максвелл предположил что изменяющееся со временем магнитное поле создает вокруг себя изменяющееся со временем электрическое поле и это электрическое поле приводит к движению электронов в проводнике.

Э.Д.С индукции ;;значит.это значит что дифференцируем только по времени.;. Электрическое поле может так же создаваться неподвижными электрическими зарядами.. Теорема о циркуляции вектора напряженности в электростатическом поле. Электростатическое поле потенциально. Теорема о циркуляции вектора напряженности создаваемого магнитным полем..

Силовые линии замкнуты. Силовые линииразомкнуты. Поскольку результирующее полетоэто уравнение показывает что поле создается подвижными зарядами и изменяющимся со времени магнитным полем.

Дифференциальная формулировка. существование взаимосвязи между электрическим и магнитным полями служи причиной того что рассматривать отдельно их не имеет смысла.

Примеры:1. В одной системе отсчета электрические заряды покоятся и они создают электростатическое поле. В иной системе отсчета эти заряды движутся и здесь они создают электрическое и магнитное поля.

2. В одной системе отсчета в неподвижном проводнике течет ток вокруг него магнитное поле. В другой системе отсчета проводник движется тогда он создает вокруг себя изменяющееся магнитное поле которое создает электрическое поле.

Обобщенная теорема о циркуляции для вектора магнитной напряженности. Ток смещения.

В случае стационарного магнитного поля теорема о циркуляции ;..

В случае нестационарного поля это соотношение не выполняется: возьмем дивергенцию от правой и левой частей: ;;это уравнение не прерывности, т.е. Чтобы соотношение выполнялось Максвелл ввел в правую часть дополнительное слагаемое. Это слагаемое – плотность тока смещения, тогда;значит;;;.По теореме Гаусса для вектора,продифференцируем по времени.;;.

Теорема о циркуляции для .или. В интегральной форме.

Обобщенная теорема о циркуляции показывает что магнитное поле создается не только стационарными токами но и изменяющимся со временем электрическим полем.

Ток смещения – это вспомогательный ток и с реальным током он имеет только одно свойство: создает магнитное поле вокруг себя. Ток смещения существует и в проводниках с токами, но здесь он меньше чем токи проводимости.

Рассмотрим ток смещения в диэлектрике .;.;таким образомотражает реальное смещение реальных связных зарядов.- не связано со смещением никаких зарядов, оно присутствует даже в вакууме где изменяющиеся со временем электрическое поле создает вокруг себя магнитное поле.

Уравнение Максвелла.

1. . Дифференц ф-ка- физически смысл: электрическое поле создает не только не подвижными зарядами но и изменяющимся со временем магнитным полем:

2. . Дифференц ф-кафизически смысл: магнитное поле создается токами и изменяющимся со временем электрическими полем.

3. Дифференц ф-кафизически смысл: электростатическое поле создается электрическими неподвижными зарядами.

4. Дифференц ф-кафизически смысл: магнитных зарядов в природе нет.

Материальное уравнение – это связь основных и вспомогательных характеристик. . Св-ва уравнения Максвелла.

1) Записано для покоящихся сред.

2) Одинаково записывается во всех системах отсчета, т.е является инвариантной относительно разных систем отсчета.

3) линейны, т.е в них входит 1-я производная от электрических и магнитных полей.

4) не симметричны относительно электрических и магнитных полей. Это обусловлено тем что электрические заряды существуют а магнитные нет.

5) Из ур-нии вытекают все законы электромагнетизма.

Пример: из теоремы о циркуляции для .можно получить уравнение непрерывности отражающее закон сохранения заряда для этого стягиваем контур в точку;значит

6) Из уравнении следует существование электромагнитных волн и их своиств.

20\Свободные незатухающие колебания в колебательном контуре.

Колебательный контур - это электрическая цепь, состоящая из последовательно включенных катушки индуктивностью L, конденсатора емкостью C и резистора сопротивлением R.

Рассмотрим последовательные стадии колебательного процесса в идеальном контуре с пренебрежимо малым сопротивлением ( R=0 ).

Конденсатор предварительно заряжают, на его обкладках заряд . Тогда в начальный момент времени между обкладками возникает электрическое поле, энергия которого. Если конденсатор замкнуть на катушку индуктивности, то он начнет разряжаться, и в контуре потечет возрастающий со временем токI. Энергия электрического поля конденсатора уменьшается, а энергия магнитного поля катушки возрастает. Возрастающий со временем ток создает в катушке возрастающее магнитное поле, а, следовательно, и возрастающий магнитный поток. Значит, по закону электромагнитной индукции Фарадея, в катушке возникает индукционный ток, который направлен навстречу току разрядки конденсатора и замедляет его возрастание. ПосколькуR=0 , то по закону сохранения энергии полная энергия системы остается постоянной, т.к. на нагревание энергии не расходуется:

Когда ток катушки имеет максимальное значение, конденсатор полностью разряжен. В этот момент энергия магнитного поля максимальна, а электрического поля минимальна. Далее, достигнув максимального значения, ток в контуре начинает уменьшаться, следовательно, уменьшается магнитное поле катушки. В ней возникает индукционный ток, который течет в том же направлении, что и ток разрядки конденсатора. Конденсатор перезаряжается, заряд на обкладках достигает максимального значения, а ток в катушке равен нулю. Энергия электрического поля достигает максимума, а энергия магнитного поля минимума. Далее процессы начнут протекать в обратном направлении.

Согласно закону Ома , где- э.д.с. самоиндукции катушки,- напряжение на конденсаторе,- по определению.

,. Обозначим. Тогда. Решение этого уравнения, т.о. заряд изменяется по гармоническому закону с циклической частотойи периодом- формула Томсона.

Напряжение на конденсаторе: , где- максимальное значение напряжения на конденсаторе.

Сила тока в колебательном контуре: ,

т.е. ток изменяется по гармоническому закону и колебания тока опережают по фазе напряжение на конденсаторе на /2. Это означает, что когда ток достигает максимального значения, заряд и напряжение на конденсаторе обращается в нуль, и наоборот.

Свободные затухающие колебания в колебательном контуре.

Всякий реальный колебательный контур обладает активным сопротивлением. Энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется на нагревание, из-за чего свободные колебания и затухают.

Закон Ома для колебательного контура с сопротивлением:

, - э.д.с. самоиндукции катушки,- напряжение на конденсаторе,- по определению.,.

Обозначим . Тогда дифференциальное уравнение можно записать в виде.

При условии, что , решением этого уравнения является выражение, т.е. колебания заряда совершаются с частотой.

Напряжение на конденсаторе: .

Сила тока:

Обозначим ,..

Поскольку , то. Таким образом, при наличии в контуре активного сопротивления сила тока опережает по фазе напряжение на конденсаторе более чем на/2.

Логарифмический декремент затухания: .

Вынужденные колебания.

Чтобы в реальной колебательной системе компенсировать потери энергии и получить незатухающие колебания нужно воздействовать на систему внешней вынуждающей силой, изменяющейся со временем по гармоническому закону.

В случае колебательного контура роль вынуждающей силы играет источник тока с э.д.с. . Согласно закона Ома:

Решением неоднородного дифференциального уравнения является:

1. Общее решение однородного дифференциального уравнения:

. Через достаточно большое время множитель становится малым и им можно пренебречь. Это решение играет роль только при установлении колебаний.

2. Частное решение неоднородного дифференциального уравнения:

Установившиеся вынужденные колебания определяются выражением .

Сила тока в контуре: . Запишем это выражение в виде:, где- сдвиг фаз между током и приложенным напряжением. Тогда

.

Следовательно, ток отстает по фазе от приложенного напряжениятогда, когда, и опережает напряжениекогда.

Напряжение на активном сопротивлении: .

Напряжение на конденсаторе: , где

.

Напряжение на катушке:

, где .

Таким образом, напряжение на емкости отстает по фазе от силы тока на /2. Напряжение на катушке опережает ток на /2. Напряжение на сопротивлении совпадает по фазе с током.

Гармонические колебания можно задать с помощью вектора. Возьмем в качестве прямой, от которой отсчитывается начальная фаза, ось токов. Тогда напряжения на сопротивлении, конденсаторе и катушке можно представить на диаграмме. Суммарное напряжение должно быть равно приложенному напряжению, т.к. согласно закону Ома. Поэтому на диаграмме напряжениеU изображается, равным сумме векторов .

Из формулы следует, что амплитуда заряда и напряжения на конденсаторе имеет максимум при частотеw_рез. Чтобы найти частоту максимума надо выражение для амплитуды продифференцировать по частоте, тогда получим . Прирезонансные кривые сходятся в одной точке с.

Амплитуда силы тока имеет резонансное значение при . Поэтому резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой контура. Резонансные кривые для токаI начинаются из нуля, т.к. при постоянном напряжении установившийся ток в цепи с конденсатором течь не может.

21\Электромагнитные волны.

Из уравнений Максвелла следует, что переменное магнитное поле порождает переменное электрическое поле, а переменное электрическое поле порождает переменное магнитное поле. Т.е. электрическое и магнитное поле неразрывно связаны друг с другом. Они образуют единое электромагнитное поле. Если возбудить с помощью колеблющихся зарядов переменное электромагнитное поле, то в окружающем пространстве возникнет последовательность взаимных превращений электрического и магнитного полей, распространяющихся в пространстве от точки к точке. Этот процесс будет периодическим во времени и в пространстве, и представляет собой электромагнитную волну.

Покажем, что существование электромагнитных волн вытекает из уравнений Максвелла:

, ,,,,,

В случае однородной нейтральной (  = 0 ), непроводящей ( j = 0 ) среды с постоянными  и  уравнения Максвелла можно переписать:

(1), (2),(3),(4)

Возьмем ротор от обеих частей уравнения (1): ..(5)

Здесь использовано соотношение и учтено, что. Согласно (3) первое слагаемое выражения (5) равно нулю. Поэтому. Изменение порядка дифференцирования по координате и времени приводит к равенству:. Таким образом,. Используя соотношение (2), получим, или,(6), где

Аналогично можно получить уравнение для вектора Н, взяв ротор от уравнения (2):

. (7)

Уравнения (6) и (7) неразрывно связаны друг с другом, т.к. они получены из уравнений Максвелла, которые содержат и Е, и Н. Уравнения ,- представляют собой волновые уравнения для векторов Е и Н, соответственно, причем фазовая скорость волны. В вакууме. В среде. Т.е. с – скорость распространения электромагнитных волн в вакууме – есть предельная скорость распространения электромагнитных волн.

Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, распространяющуюся в однородной нейтральной (  = 0) , непроводящей ( j = 0 ) среде с постоянными  и . Направим ось x перпендикулярно волновым поверхностям, т.е. вектора Е и Н и их компоненты по координатным осям не будут зависеть от координат y и z.

Тогда уравнения Максвелла ,можно записать в виде:т.к..т.к.. Таким образом,ине зависят отx. Запишем x-ую составляющую роторов Е и Н: ,- не зависит отt. ,- не зависит отt. Таким образом, ине зависят отx и от t, т.е. поле волны не имеет составляющих вдоль оси x, а, следовательно, векторы Е и Н перпендикулярны к направлению распространения волны. Это означает, что электромагнитные волны поперечны.

Допустим, что первоначально было создано поле , направленное вдоль осиy. Согласно уравнению Максвелла это поле создает переменное магнитное поле, направленное вдоль осиz. Согласно другому уравнению Максвелла это поле создает электрическое поле. Таким образом, вектора Е и Н взаимно перпендикулярны

Продифференцировав первое уравнение по x, и подставив во второе уравнение, получим: и.

Решением этих уравнений являются функции:

, где k - волновое число, ₁ и ₂ – начальные фазы.

Подставим эти выражения в уравнения и. Получим:,

Для того чтобы уравнения удовлетворялись необходимо, чтобы начальные фазы были равны: ₁ = ₂. Перемножим эти два выражения, получим . Таким образом, колебания векторов Е и Н происходят синфазно и амплитуды векторов в каждый момент времени связаны соотношением:.

Свойства электромагнитных волн:

1. Из уравнений Максвелла следует, что векторы напряженности E и H электромагнитного поля удовлетворяют волновому уравнению:

, где  - оператор Лапласа, v - фазовая скорость.

2. Фазовая скорость определяется выражением: , где_о и _о - электрическая и магнитная постоянные,  и  - электрическая и магнитная проницаемости среды. В вакууме , и скорость распространения электромагнитных волн совпадает со скоростьюс. Т.к. , то скорость распространения электромагнитных волн в веществе всегда меньше скорости распространения электромагнитных волн в вакууме.

3.Электромагнитные волны поперечны, т.е. векторы напряженностей электрических и магнитных полей Е и Н в волне взаимно перпендикулярны, и лежат в плоскости, перпендикулярной вектору v скорости распространения волны.

4. Векторы Е и Н всегда колеблются в одинаковых фазах, мгновенные значения Е и Н в любой точке связаны соотношением

5. Волновым уравнениям удовлетворяют плоские монохроматические волны ( волны строго определенной частоты):

, где k - волновое число.

Энергия электромагнитных волн. Вектор Умова-Пойнтинга. Импульс электромагнитного поля.

Объемная плотность энергии электромагнитной волны складывается из объемных плотностей w_эл и w_м электрического и магнитного полей:

Плотность энергии электрического и магнитного полей в каждый момент времени одинаковы.

Если умножить плотность энергии на скорость распространения волн в среде, то получим модуль плотности потока энергии S = w v = EH. Т.к. векторы E и H перпендикулярны, то направление вектора совпадает с направлением переноса энергии. Вектор плотности потока электромагнитной энергии называется вектором Умова-Пойнтинга: Он направлен в сторону распространения электромагнитной волны.

Поглощаясь в каком-либо теле, электромагнитная волна сообщает этому телу некоторый импульс, т.е. оказывает на него давление. Опыты Лебедева в 1908 году доказывают, что свет действительно оказывает на тело давление.

Пусть плоская электромагнитная волна падает на плоскую поверхность слабо проводящего тела. Электрическое поле электромагнитной волны возбудит в теле ток плотности . Магнитное поле волны действует на ток с силой Ампера, которая в расчете на единицу объема тела, равна:. Следовательно, поверхностному слою площадью единица и толщинойdl, сообщается импульс: . В этом же слое в единицу времени поглощается энергия . Разделим друг на друга эти выражения: . ()

Следовательно, импульс единицы объема электромагнитного поля: . Вектор Умова-Пойнтинга. Направления векторовp и S совпадают.

Шкала электромагнитных волн.

Электромагнитные волны охватывают широкий диапазон частот. Но они отличаются друг от друга способом генерации и способом регистрации, а также их свойствами. Поэтому электромагнитные волны делятся на несколько видов: радиоволны, световые волны, рентгеновское и  - излучение. ( см таблицу 5 на стр 298 Трофимова Т.И. Кус физики).

22\ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ЗАКОНЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ.

Свет представляет собой электромагнитную волну. В электромагнитной волне колеблются векторы Е и Н. Как показывает опыт, различное действие света на вещество оказывается именно колебаниями электрического вектора. Поэтому вектор напряженности электрического поля электромагнитной волны называют световым вектором. Модуль амплитуды светового вектора обозначают А.

Абсолютным показателем преломления среды называется величина, равная отношению скорости электромагнитных волн в вакууме к их фазовой скорости в среде: . Линии, вдоль которых распространяется световая энергия, называются лучами. Модуль среднего по времени значения плотности потока энергии, переносимой световой волной называется интенсивностью светаI в данной точке пространства. Следовательно, .. Следовательно,. Можно написать, что.

Точечный источник света - источник, размерами которого можно пренебречь по сравнению с освещаемым им предметом или расстоянием до него.

Закон прямолинейного распространения света: свет в оптически однородной среде (среде с постоянным показателем преломления) распространяется прямолинейно. Доказательством этого закона служит наличие тени с четкой границей при освещении непрозрачного предмета. Закон нарушается при прохождении света сквозь малые отверстия.

Закон независимости световых пучков: эффект, производимый отдельным пучком, не зависит от того действуют ли одновременно остальные пучки или их нет.

Если свет падает на границу раздела двух сред, то падающий луч распадается на два - отраженный и преломленный.

Закон отражения: падающий луч, луч отраженный и перпендикуляр, восстановленный к границе раздела двух сред в точке падения лежат в одной плоскости, и угол падения равен углу отражения.

Закон преломления: луч падающий, луч преломленный и перпендикуляр, восстановленный к границе раздела двух сред в точке падения, лежат в одной плоскости. Синус угла падения относится к синусу угла преломления как показатель преломления второй среды к показателю преломления первой среды: .

Если свет падает из оптически менее плотной среды в оптически более плотную, т.е. n₁ < n₂, то > ₂. Если свет падает из оптически более плотной среды в оптически менее плотную, т.е. n₁ > n₂, то < ₂.

При увеличении угла падения увеличивается и угол преломления. При некотором угле падения _о , угол преломления ₂ = 90^О. При дальнейшем увеличении угла падения, преломленного луча уже нет, а свет полностью отражается от поверхности раздела двух сред. По мере приближения угла падения к предельному интенсивность преломленного луча уменьшается, а отраженного растет. При i = i_пред интенсивность преломленного луча равна нулю, а отраженного - равна интенсивности падающего. Это явление называется явлением полного отражения.

Явление полного отражения используется в призмах полного отражения. Показатель преломления стекла n = 1.5, поэтому i_пред = 42⁰ (arcsin 1/1.5). Когда свет падает на границу стекло – воздух при i > i_пред , то будет полное отражение. Луч можно повернуть на 90⁰, лучи можно обернуть, повернуть изображение.

Явление полного отражения используется в световодах, который представляет собой световодную жилу из стекла, окруженную оболочкой из другого стекла с меньшим показателем преломления. Свет, падающий на торец под углами, большими предельного, на границе раздела сердцевины и оболочки претерпевает полное отражение и распространяется только в светящейся жиле.

Корпускулярная и волновая теории света.

Основные законы геометрической оптики были известны со времен древних греков. Представления о природе света трансформировалось с 17 до 19 века. К концу 17 века возникло две теории света: корпускулярная (Ньютон) и волновая (Гук и Гюйгенс). Корпускулярная теория хорошо описывала вопросы взаимодействия света с веществом (рассеивание, поглощение), а волновая теория хорошо описывала законы распространения света (дифракция, интерференция). Одна теория полностью описать все законы излучения, распространения и поглощения света не может. В природе света проявляется корпускулярно-волновой дуализм.

23\Принцип Гюйгенса. Интерференция света.

Принцип: каждая точка волнового фронта является источником вторичных волн, а огибающая этих вторичных волн есть волновой фронт в следующий момент времени. (рис.)

Когерентность – согласованное протекание по времени 2-х или нескольких волновых процессов.

Волны когерентны если разность фаз не зависит от времени.

Монохроматические волны – это волны распространяющиеся с одной частотой. Являются таковыми если они имеют одинаковые частоты и частота одна.

Две монохроматические волны когерентны так как разность фаз не зависит от времени.

Два произвольных источника света не могут быть когерентными. Для получения когерентной волны нужно свет от одного источника разбить на два.

Опыт Юнга: берем точечный источник света и ставим на пути экран. (рис.) Свет получившийся от 2-х точечных источников когерентен.

Интерференция – это суперпозиция 2-х или нескольких когерентных волн, в результате которой происходит перераспределение интенсивности в пространстве, т.е в одной части пр-ва максимум интенсивности в другой минимум.

(рис.) Пусть в т. О свет разбивается на 2 когерентных луча. Один луч прошел расстояние в среде с показателем преломления.Другой луч прошел расстояниев среде с показателем преломления. В точкеэти два луча сталкиваются. Лучи когерентны поэтому в т.возникает интерференция.

В т. складываются колебания одного направления.;;. Разность фаз. Разность фаз не зависит от времени.;;;

(длина волны в вакууме.)

; (оптическая длина пути);- оптическая разность хода.- связь между оптической разностью хода и оптической разностью фаз. В т.происходит сложение колебании. Каждое колебание можно представить в виде вектора вращающегося вектора. (граф.)- амплитуда результирующего колебания. По теореме косинусов :;;;;- это интенсивность результирующего колебания.когда;;

;;;;когда;; Еслито;;;;

Условие интерференциального минимума:

Условие интерференциального максимума: .

Расчет интерференциальной картины от 2-х точечных источников.

(рис.)

;;;;или;;;.

Максимум ;; Минимум;.

На экране наблюдается интерференционная картина в виде чередования темных и светлых полос. В центре интерференционной картины наблюдается максимум, в верх и в низ наблюдаются максимумы и минимумы 1-го 2-го и т.д. порядков. Если источники излучают белый свет, т.е набор с различными длинами волн то при наблюдается максимум для всех и в центре белая полоса, а в верх и в низ от белой полосы наблюдаются радужно окрашенные полосы 1,2 и т.д. порядков.

если то, т.кто интенсивность изменяется по закону. Шириной интерференционной полосы есть максимум или минимум между 2-мя соседними линиями.;.

Ширина интерференционной полосы не зависит от ее номера, т.е он одинаковы.

Интерференция в тонких пленках.

Рассмотрим пленку толщиной в виде плоскопараллельной пластины с показателем преломления. На пленку под угломпадает луч света.

В точке (затеми)луч частично отражается и частично преломляется.

Лучи 1 и2 когерентны и параллельны при выходе из пластины.

; ;;;;;. При определении оптической разности хода надо учесть что при отражении от оптически более плотной среды фаза волны изменяется на противоположную что приводит к добавлению в оптическую разности хода. При отражении от менее плотной среды фаза волны не меняется. Тогда; Максимум;Минимум;

Полосы равного наклона.

Осветим пластинку протяженным источником света, т.е свет падает под разными углами. Интерференцию света рассматривают через линзу на экране. (рис.)

Полосы равного наклона это полосы образующиеся в результате интерференции лучей падающих под одним и тем же углом на плоскопараллельную пленку. Полосы локализованы на бесконечности, т.е они параллельны друг другу.

Максимум ; Минимум; При данныхмаксимум и минимум определяют положение интерференционной полосы, т.ев зависимости от угла падения, т.е лучи падающие под разными углами но удовлетворяющие условиям максимума и минимума падают на экран под разными точками.