Lesn3_Integraly

Глава V. Элементы теории функций комплексной переменной

интегралы от аналитических функций вычисляются теми же методами, что и определенные интегралы в вещественном анализе.

Так как sin z - аналитическая функция на всем множестве C, то i

sinzdz = sin zdz cos z 1i = cosi cos1 cos1 ch1.

AB

1

Перейдем к рассмотрению интеграла другого частного ви-

да.

280

§9. Интеграл по контуру

Лекция 30

§9. Интеграл по контуру

Рассмотрим интеграл по контуру C. Для него, как и для интеграла по контуру от вещественной функции, используются обозначения:

Исследуем сначала свойства интеграла по контуру, которые описываются теоремами Коши.

1. Теоремы Коши

Теорема 1 (Теорема Коши для односвязной области).

f (z)dz не зависит от формы пути интегрирования. Следова-

AB

281

Глава V. Элементы теории функций комплексной переменной

Рассмотрим более сложную область.

Теорема 2 (Теорема Коши для многосвязной области).

Пусть C, C1 ,…, Cn - кусочно-гладкие контуры. Контуры C1 ,…, Cn лежат внутри контура C и вне друг друга. Об-

Сk 1 Сk

Доказательство рассмотрим для случая двух внутренних контуров. Пусть область D имеет вид. Проведем разрезы AB и EF области D. Область становится теперь односвязной. По предыдущей теореме получаем ра-

Перенеся последние два интеграла в правую часть равенства (*),

Что дает теорема? Сужение области, охватываемой контурfvb интегрирования.

282

Все условия теоремы 3 выполнены. Поэтому имеют место равенства:

Идея стягивания контура к особой точке. Интеграл зависит от поведения функции только в малой окрестности особой точки.

2. Интегральное представление аналитических функций (Интегралы Коши)

родолжим исследование интегралов по контуру.

Теорема 3. Пусть односвязная область D ограничена кусочногладким контуром C. Пусть функция f(z) аналитична в области D и на контуре C. Тогда для всякой точки z D выполняется равенство

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

283

Глава V. Элементы теории функций комплексной переменной

Пусть C1 - окружность с центром в точке z радиуса r, целиком лежащая внутри контура C. Тогда функция g(t) аналитична на контурах C, C1 и в области, заключенной между ними.

По теореме Коши получаем равенство g(t)dt g(t)dt .

за исключением точки z. В этой точке она даже не определена.

С

284

Равенство (3) называется интегральной формулой Коши,

а интеграл в правой части этого равенства - интегралом Коши.

Замечание 1. Из равенства (1) следует, что

значения аналитичекой функции в области полностью определяются ее значениями на границе этой области.

Перепишем равенство (3) в таком виде:

где функция f(z) аналитична в области DC, z0 DC.

Замечание 2. Интегральная формула Коши в виде (4) используется для вычисления интегралов по контуру.

Пример 2.

|z 5| 2

ассмотрим теперь более общую ситуацию. Пусть функция f(z) определена и непрерывна на кусочно-гладкой кривой L. По аналогии с интегралом Коши рассмотрим интеграл

1 f (t )dt . Он задает функцию

2 i L t z

определенную для любой точки z L.

285

Глава V. Элементы теории функций комплексной переменной

Интеграл (5) называется интегралом типа Коши.

Теорема 4. Функция g(z), определяемая интегралом типа Коши,

Следствие. Функция f(z), аналитическая в односвязной области D и на ее границе C, имеет в данной области производные любого порядка n, определяемые равенством

Доказательство. Равенство (7) вытекает непосредственно из равенства (6). Действительно, если кривая L является контуром C, то по теореме 3 выполняется равенство g(z) = f(z).

Перепишем равенство (7) в таком виде:

где функция f(z) аналитична в области DC, z0 DC.

Замечание. Формула (8) используется для вычисления интегралов по контуру.

286

§9. Интеграл по контуру

Пример 3.

sin z

Вычислить интеграл 2 2 dz .

| z| 3 (z 2)

На этом мы закончим краткое знакомство с функциями комплексной переменной.

287