Lesn3_Integraly1
.pdfЛекции
по высшей математике
А.И. ТЕРРЕ
Интегральное исчисление
2011
0
А.И. Терре
ЛЕКЦИИ
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
Интегральное исчисление
Томск - 2011
УДК
Терре А. И.
Лекции по высшей математике. Интегральное исчисление. Весь курс “Интегральное исчисление” разбит на 6 глав. Первая из них посвящена неопределенному интегра-
лу. …
ISBN
Оглавление |
|
Предисловие................................................................................. |
5 |
Глава I. Неопределенный интеграл |
|
§1. Понятие неопределенного интеграла.................. |
7 |
§2. Таблица основных интегралов............................. |
10 |
§3. Основные свойства интеграла............................. |
11 |
§4. Основные методы интегрирования функций..... |
13 |
§5. Интегрирование рациональных функций........... |
16 |
§6. Интегрирование тригонометрических функций 24 |
|
§7. Интегрирование иррациональных функций...... |
27 |
§8. Интегралы, не выражающиеся в элементарных |
|
функциях............................................................... |
32 |
Глава II. Определенный интеграл |
|
§1. Понятие определенного интеграла...................... |
33 |
§2. Свойства определенного интеграла..................... |
38 |
§3. Интеграл с переменным верхним пределом...... |
42 |
§4. Методы вычисления определенного интеграла. |
45 |
§5. Методы приближенного вычисления интеграла 48 |
|
§6. Несобственные интегралы................................... |
51 |
§7. Геометрические приложения определенного инте- |
|
грала....................................................................... |
61 |
Глава III. Дифференциальные уравнения первого порядка |
|
§1. Основные понятия................................................ |
71 |
§2. Дифференциальные уравнения, интегрируемые в |
|
квадратурах............................................................ |
79 |
§3. Численное решение дифференциальных уравне- |
|
ний первого порядка............................................. |
95 |
3
Глава IV. Дифференциальные уравнения высших поряд- |
|
ков |
|
§1. Основные понятия................................................ |
98 |
§2. Дифференциальные уравнения, допускающие по- |
|
нижение порядка................................................... |
102 |
§3. Линейные однородные уравнения...................... |
106 |
§4. Линейные неоднородные уравнения.................. |
120 |
Глава V. Системы дифференциальных уравнений |
|
§1. Основные понятия................................................ |
130 |
§2. Связь системы дифференциальных уравнений с |
|
дифференциальным уравнением высшего поряд- |
|
ка............................................................................. |
134 |
§3. Системы линейных однородных дифференциаль- |
|
ных уравнений....................................................... |
138 |
§4. Системы линейных неоднородных дифференци- |
|
альных уравнений................................................. |
145 |
Глава VI. Интегрирование функций нескольких перемен- |
|
ных |
|
§1. Понятие двойного интеграла............................... |
148 |
§2. Свойства двойного интеграла............................. |
153 |
§3. Вычисление двойного интеграла........................ |
156 |
§4. Замена переменных в двойном интеграле......... |
161 |
§5. Тройной интеграл................................................. |
166 |
§6. Замена переменных в тройном интеграле.......... |
172 |
§7. Криволинейный интеграл I рода................................. |
177 |
§8. Поверхностный интеграл I рода.................................. |
183 |
§9. Криволинейный интеграл II рода................................ |
189 |
§10. Вычисление криволинейного интеграла II рода...... |
194 |
§11. Поверхностный интеграл II рода............................... |
203 |
Глава VII. Скалярные и векторные поля |
|
§1. Скалярное поле.............................................................. |
216 |
§2. Понятие векторного поля............................................. |
220 |
4
§3. Поток и дивергенция векторного поля....................... |
223 |
§4. Циркуляция и ротор векторного поля........................ |
228 |
§5. Специальные виды векторных полей......................... |
232 |
Глава VIII. Основы теории функций комплексной переменной
§1. Множество комплексных чисел.................................. |
238 |
§2. Функции комплексной переменной............................ |
250 |
§3. Элементарные функции комплексной переменной... |
251 |
§4. Предел функции комплексной переменной............... |
257 |
§5. Непрерывность функции комплексной переменной..261 |
|
§6. Дифференцирование функции комплексной перемен- |
|
ной.................................................................................. |
262 |
§7. Интеграл функции комплексной переменной............ |
272 |
§8. Интеграл аналитической функции.............................. |
276 |
§9. Интеграл по контуру..................................................... |
281 |
5
Предисловие
Курс лекций предназначен для студентов первого курса высших технических учебных заведений.
6
§1. Понятие неопределенного интеграла
Лекция 1
Глава I.
Неопределенный интеграл
§1. Понятие неопределенного интеграла
предыдущих главах мы занимались задачей дифференцирования функции, другими словами, по данной функции f(x) находили ее производную f (x) . Теперь будем решать обратную
задачу по известной производной f (x) восстанавливать саму функцию f(x). Соответственно, изменится и терминология.
Определение 1. Функция F(x), производная которой на интервале (a; b) равна данной функции f(x), называется первообразной функции f(x) на этом интервале.
F (x) = f(x) на (a; b) |
(1) |
||
Пример 1. |
|
|
|
Найдем первообразную функции |
f (x) 3x2 2x . |
||
Функция определена на |
множестве действительных чисел R. |
||
Очевидно, функция F(x) x3 x2 |
является первообразной для f(x) на R. |
||
Заметим, что функция F(x) x3 |
x2 7 |
тоже является первооб- |
|
разной для f (x) 3x2 2x на R. |
|
|
|
Поставленная выше задача теперь формулируется так:
по данной функции f(x) найти ее первообразную F(x). Эта зада-
ча, как следует из примера, решается неоднозначно.
Теорема 1. Любые две первообразные данной функции на интервале (a; b) могут отличаться друг от друга на этом интервале только на постоянное слагаемое.
Доказательство. Пусть F(x) и F1(x) |
две первообразные для |
функции f(x). Рассмотрим функцию |
u(x) = F1(x) F(x). Вы- |
7
Глава I. Неопределенный интеграл
числим ее производную на рассматриваемом интервале: u (x) F1(x) F (x) f (x) f (x) 0. Согласно критерию посто-
янства функции это означает, что u(x) = C. |
Отсюда следует, что |
F1(x) F(x) = C, то есть F1(x) = F(x) + C. |
► |
усть F(x) одна из первообразных функции f(x) на интервале (a; b). Тогда множество всех первообразных функции f(x) на этом интервале совпадает со множеством всех функций вида F(x) + С, где С некоторая константа. Каждая первообразная полностью определяется функцией F(x) и числом С (значением параметра С), поэтому можно говорить об однопараметрическом семействе {F(x) + С} первообразных функции f(x).
Определение 2. |
Множество всех первообразных функции f(x) |
|
|
на интервале (a; b) называется неопределенным инте- |
|
|
||
|
гралом этой функции на данном интервале. |
|
Обозначение: |
f (x)dx ; |
x переменная интегрирования; f(x) подынтегральная функция;
f(x)dx подынтегральное выражение. Прочтение: интеграл от f(x) по dx.
В дальнейшем дифференциал независимой переменной в подынтегральном выражении будем считать множителем.
Итак, если F(x) любая первообразная функции f(x), то
f (x)dx = F(x) + С. |
(2) |
Пример 2.
(3x2 2x)dx x3 x2 C .
Если первообразная функции, то есть ее неопределенный интеграл, на данном интервале существует, то функция называется интегрируемой на этом интервале. Процесс вычисления неопределенного интеграла функции называется интегрированием этой функции.
8
§1. Понятие неопределенного интеграла
Замечание. Из определения интеграла вытекает эквивалентность равенств (1) и (2). Это означает, что проверку равенства
(2) можно свести к проверке равенства (1), то есть к про-
верке того, что при дифференцировании функции из правой части равенства получается подынтегральная функция интеграла из левой части равенства.
ервый вопрос, который возникает при исследовании неопределенных интегралов, это вопрос о классе интегрируемых функций. Ограничимся рассмотрением одного из достаточных условий интегрируемости функции.
Теорема 2. Если функция непрерывна на интервале или имеет на нем конечное число точек разрыва I рода, то она интегрируема на этом интервале.
Доказательство первой части утверждения будет получено позже при исследовании свойств определенного интеграла.
Обратимся к вопросу об интегрировании элементарных функций. Рассмотрим сначала интегрирование основных эле-
ментарных функций.
9