Lesn3_Integraly

Глава V. Элементы теории функций комплексной переменной

Замечание. Предел функции при z0 = записывается аналогич-

Из теоремы 3 следует, что основные свойства пределов вещественных функций переносятся на случай функций комплексной переменной. В частности, можно говорить о бесконечно малых функциях комплексной переменной и выполнять сравнение этих бесконечно малых функций. Предлагается выполнить эти исследования самостоятельно.

260

§5. Непрерывность функции комплексной переменной

§5. Непрерывность функции комплексной переменной

Пусть функция f(z) определена в некоторой окрестности точки z0.

Определение 1. Функция f(z) называется непрерывной в точке z0, если выполняется равенство

w0 = f(z0), u0 = u(x0, y0), v0 = v(x0, y0).

Из теоремы 1 следует, что основные теоремы о непрерывных функциях вещественной переменной имеют место и для функций комплексной переменной. В частности, справедливы следующие утверждения.

Теорема 2 Функция f(z) непрерывна в точке z0 тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргументаz соответствует бесконечно малое приращение функции

f(z0).

Перейдем к исследованию операции дифференцирования функций комплексной переменной.

261

Глава V. Элементы теории функций комплексной переменной

Лекция 28

§6. Дифференцирование функций комплексной переменной

1. Основные понятия

Рассматриваем функцию f(z), определенную в некоторой окрестности точки z0.

Перейдем из точки z0 в точку z. Тем самым, придадим аргументу z приращение z = z z0. Тогда функция f(z) получит в точке z0 приращение f(z0) = f(z) f(z0) = f(z0 + z) f(z0).

Определение 1. Предел отношения приращения функции в точке к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю называется производной функции в данной точке.

Обозначения:

Понятие производной функции тесно связано с понятием дифференцируемости функции.

Определение 2. Функция f(z) называется дифференцируемой в точке z0, если ее приращение в этой точке можно представить в виде

где A - константа и ( z) - некоторая бесконечно малая функция при z 0.

Из равенства (2) следует, что при бесконечно малом при-

262

§6. Дифференцирование функции комплексной переменной

ращении аргумента z приращение функции f(z0) является бесконечно малым. Первое слагаемое приращения функции является главной частью этого приращения.

Определение 3. Главная часть приращения дифференцируемой функции f(z) в точке z0, линейная относительно z, называется дифференциалом функции в данной точке.

Обозначение: df(z0).

Как и в вещественном случае, z = dz. Тогда из равенства

(2) следует, что df(z0) = Adz .

Замечание. Если функция дифференцируема в точке, то она и непрерывна в этой точке.

Таким образом, непрерывность функции является необходимым условием ее дифференцируемости.

Рассмотрим другие условия дифференцируемости функ-

ции.

2. Условия дифференцируемости функции

ассмотрим два критерия дифференцируемости функции.

Теорема 1. Функция f(z) дифференцируема в точке z тогда и только тогда, когда существует конечная производная f (z) . При этом выполняется равенство

Доказательство.

Рассмотрим импликацию . Пусть существует конечная

Тогда, как и для вещественной функции, имеет место равенство

f ( z) f (z) ( z) .z

Перепишем его так: f (z) f (z) z ( z) z . Отсюда и

263

Глава V. Элементы теории функций комплексной переменной

вытекает равенство (3).

Импликацию доказать самостоятельно.

Теорема 2. Функция f(z) = u(x, y) + iv(x, y) дифференцируема в точке z = x + iy тогда и только тогда, когда функции u(x, y), v(x, y) дифференцируемы в точке (x, y) и их частные производные удовлетворяют в этой точке условиям

Условия (4) называются условиями Коши-Римана.

Функции u(x, y) и v(x, y), удовлетворяющие этим условиям, называются сопряженными.

Доказательство. Рассмотрим импликацию .

Пусть функция f(z) дифференцируема в точке z. Тогда существует конечная производная f (z) , т. е. конечный предел

(x, y) примем без доказательства. Докажем только равенства (4).

264

§6. Дифференцирование функции комплексной переменной

то имеем равенство

В равенствах (5) и (6) левые части равны, значит, равны и правые части. Приравнивая вещественные и мнимые части ком-

Замечание. Равенства (5) и (6) дают вычислительные формулы для нахождения производной функции комплексной переменной.

Пример 1.

Исследуем на дифференцируемость показательную функцию ez ex (cos y i sin y) .

Функция определена на всей комплексной плоскости C и

Очевидно, все частные производные непрерывны на всей плоскости. Поэтому функции u(x, y) и v(x, y) дифференцируемы на ней.

z = 0. Согласно равенству (5) получаем f (0) 0 i 0 0 .

265

Глава V. Элементы теории функций комплексной переменной

роверка условий Коши-Римана проводится громоздко. Поэтому при дифференцировании элементарных функций будем учитывать следующие свойства этих функций.

~

Поэтому f 0 только для единственной точки z = 0. Исследование z

функции f(z) на дифференцируемость сводится к ее исследованию только в точке z = 0. Как было показано в примере 2, функция f(z)

дифференцируема в этой точке и f (0) 0 .

то касается элементарных функций, то для них имеют место следующие утверждения.

Все однозначные основные элементарные функции дифференцируемы в своей области определения. Для многозначных

266

§6. Дифференцирование функции комплексной переменной

функций в окрестности каждой точки можно выделить однозначную ветвь, которая дифференцируема в данной точке.

Таблица производных функций вещественной переменной имеет место и для функций комплексной переменной.

Правила дифференцирования функций действительной пе-

ременной имеют место и для функций комплексной переменной.

Пример 4.

Рассмотрим функцию f(z) = z3 + sin z, определенную на комплексной плоскости C. Эта функция является элементарной. Поэтому, дифференцируя ее аналогично вещественной функции, получим f (z) 3z 2 cos z .

3. Геометрический смысл производной

Приращению аргумента z = z z0 соответствует прира-

щение функции f(z0) = f(z) f(z0). Функция f(z) дифференцируема в точке z0, поэтому с точностью до бесконечно малых

высшего порядка относительно z получаемf (z0 ) f (z0 ) z . Имеют место равенства:

267

Из равенств (8) вытекает

геометрический смысл модуля и аргумента производной:

Отображение f(z) малой окрестности точки z0 сводится к последовательному выполнению трех преобразований:

1) поворот окрестности на угол = arg(

точки z0;

2) растяжение окрестности с коэффициентом k = | f (z0 ) |

ицентром в точке z0;

3)параллельный перенос полученной окрестности на век-

тор f(z0) z0.

ассмотрим произвольные гладкие кривые l1 и l2, пересе-

При отображении f(z) они перейдут в кривые L1 и L2, пересекающиеся в точке w0 также под углом . Это свойство отображения f(z) называется свойством сохранения углов.

Все дуги кривых, проходящих через точку z0, имеют один и тот же коэффициент растяжения k = | f (z0 ) |. Это свойство

отображения f(z) называется свойством сохранения коэффициента растяжения.

268

§6. Дифференцирование функции комплексной переменной

Определение 4. Отображение, обладающее свойством сохранения углов и коэффициента растяжения, называется кон-

формным.

Таким образом, доказана часть следующего утверждения.

Теорема 4. Отображение f(z) конформно в области D тогда и только тогда, когда функция f(z) дифференцируема в области D и f (z) 0 в каждой точке z D.

4. Аналитические функции

апомним сначала, что плоской областью называется любое ограниченное открытое подмножество плоскости.

Введем новое понятие.

Определение 5. Функция f(z) называется аналитической в точке z0, если она дифференцируема в некоторой окрестности этой точки.

Функция называется аналитической в области D C,

если она аналитична во всех точках этой области.

Замечание 1. Для области аналитичность функции эквивалентна дифференцируемости. Для точки эти понятия различны.

Например, функция f (z) z z дифференцируема в точке z0 = 0, но не аналитична в ней.

Замечание 2. Для функций, аналитичных в области, имеют место аналоги основных теорем о дифференцируемых функциях. В частности, имеют место теоремы об аналитичности суммы, разности, произведения и частного аналитических функций;

теоремы об аналитичности сложной и обратной функций.

◄ ассмотрим теперь функцию f(z), аналитическую в некоторой односвязной области D. Представим функцию в "алгебраической" форме f(z) = u(x, y) + iv(x, y). Предположим, что

269