Lesn3_Integraly

Глава V. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 15

Глава V.

Системы дифференциальных уравнений

§1. Основные понятия

Дифференциальное уравнение высшего порядка является обобщением дифференциального уравнения первого порядка. Рассмотрим другое направление обобщения дифференциального уравнения первого порядка.

удем рассматривать относительно n функций y1,…, yn систему дифференциальных уравнений первого порядка вида

Путем введения дополнительных неизвестных функций к такому виду можно привести системы дифференциальных уравнений и более высокого порядка.

По возможности, будем разрешать уравнения системы относительно производных неизвестных функций.

Определение 1. Система дифференциальных уравнений вида

уравнений в нормальной форме.

Если в системе (1) положить n = 1, то получим одно дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное отно-

130

§1. Основные понятия

Система равенств (2) называется начальным условием Коши для системы дифференциальных уравнений (1).

Определение 4. Нахождение решения системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющего заданному начальному условию, называется задачей Коши для этой системы.

Так решается одна из основных задач для системы дифференциальных уравнений (1).

ассмотрим механическую интерпретацию системы диф-

ференциальных уравнений.

131

Глава V. Системы дифференциальных уравнений

Возьмем систему из трех уравнений. Введем обозначения:

Будем рассматривать переменную t как время, а x, y, z - как координаты материальной точки, движущейся в области D

трехмерного геометрического пространства 3. Тогда вектор v (x, y, z) будет являться вектором скорости движения части-

цы. Согласно равенствам (3) этот вектор известен. Поэтому система дифференциальных уравнений (3) задает в области D в каждый момент времени поле скоростей.

Решение { x(t), y(t), z(t) } системы (3) определяет поло-

жение частицы в любой момент времени t, то есть задает закон ее движения. Кривая, определяемая параметрически x x(t) ,

y y(t), z z(t) , является траекторией движения частицы.

Решить задачу Коши для системы (3) с начальным условием (t0 , x0 , y0 , z0 ) - значит найти закон движения той частицы, которая в начальный момент времени t0 находилась в точке пространства M0 (x0 , y0 , z0 ) .

При такой интерпретации система дифференциальных уравнений (3) называется динамической, область D - фазовым пространством, а решения системы - движениями.

Если в системе уравнений (3) функции f1, f2, f3, не зависят от времени t, то система называется стационарной, а дви-

жение частиц – установившимся.

Аналогичную интерпретацию можно дать системе дифференциальных уравнений (1) и при большем числе уравнений. Только геометрической наглядности мы уже не получим.

132

§1. Основные понятия

В дальнейшем для решений системы уравнений (1) и начальных условий будем использовать более краткую векторную или матричную запись

Тогда, например, начальное условие можно записать крат-

ко: Y (x0 ) Y0 .

ак и в случае дифференциального уравнения порядка n, существует бесконечно много решений системы уравнений (1). В совокупности они образуют n-параметрическое семейство. Для описания этого семейства используется понятие общего решения. Оно характеризуется, как и в случае одного дифференциального уравнения, двумя свойствами.

1)для любых чисел c1*,...,cn* функция Y (x, c1*,...,cn* ) является решением системы уравнений (1);

2)для всякого решения U(x) системы уравнений (1) существуют числа c1*,...,cn* , для которых на интервале (a; b) выполняется равенство U (x) Y (x, c1*,...,cn* ) .

Теперь мы можем из всех решений системы уравнений (1) выделять конкретное решение двумя способами: заданием начального условия (2) и заданием конкретных значений параметров C1, C2,…, Cn в общем решении (5). Это дает следующий

133

Глава V. Системы дифференциальных уравнений

алгоритм решения задачи Коши.

1.Находим общее решение Y (x,C1,...,Cn ) системы (1).

2.Записываем систему n уравнений

Коши.

На этом мы закончим знакомство с основными понятиями систем дифференциальных уравнений и перейдем к рассмотрению способов их решения.

§2. Связь системы дифференциальных уравнений с дифференциальным уравнением высшего порядка

В системе из n дифференциальных уравнений рассматривается n неизвестных функций. В дифференциальном уравнении (1) порядка n тоже есть n неизвестных функций, а именно, вместе с функцией y неизвестны и все ее производные до порядка n – 1. Посмотрим на них как на самостоятельные функции:

Учитывая соотношения (1) и (2), получаем систему дифференциальных уравнений в нормальной форме:

134

§2. Связь системы дифференциальных уравнений с ...

Таким образом, от дифференциального уравнения (1) порядка n мы перешли к системе (3) n дифференциальных уравнений в нормальной форме.

Предположим, что удалось найти общее решение zi (x,C1 ,...,Cn ) этой системы. Тогда, в частности, будет найдена

и функция z1(x,C1,...,Cn ) y(x,C1,...,Cn ) , являющаяся общим решением уравнения (1).

Таким образом, решение дифференциального уравнения порядка n можно свести к решению системы n дифференциальных уравнений первого порядка в нормальной форме.

днако, для нас сейчас более актуален обратный переход: от решения системы уравнений к решению одного уравнения. Основная идея такого перехода заключается в исключении из системы всех неизвестных функций, кроме одной.

◄ Рассмотрим его сначала в частном случае, для системы из двух уравнений:

Функции y1 и y2 симметричны в системе. Первую из них оставим, а вторую исключим. Проделаем следующие процедуры.

1. Продифференцируем первое уравнение по x:

2. Исключим из уравнения производную y , подставив ее

2

выражение из второго уравнения системы (4):

135

Глава V. Системы дифференциальных уравнений

4. Подставив y2 в предыдущее равенство, получим дифференциальное уравнение относительно одной функции y1:

Таким образом, мы перешли от системы (4) двух дифференциальных уравнений в нормальной форме к одному дифференциальному уравнению (6) второго порядка относительно одной функции y1.

5.Найдем общее решение y1(x,С1,С2 ) уравнения (6).

6.Вычислим производную функции y1 и подставим ее в равенство (5). Тем самым, найдем и функцию y2 (x,С1,С2 ) .

7.Запишем общее решение системы уравнений (4):

y1 y1 ( x,C1 ,C2 ),y2 y2 (x,C1 ,C2 ).

При исследовании системы из большего числа дифференциальных уравнений основная идея остается той же, но преобразования получаются технически более сложными. ►

Замечание. Переход от системы из n дифференциальных уравнений в нормальной форме к одному дифференциальному уравнению порядка n с последующим решением этого уравнения является одним из методов решения систем дифференциальных уравнений в нормальной форме. Он называется методом исключения.

Пример 1.

Решим систему уравнений

136

§2. Связь системы дифференциальных уравнений с ...

Преобразуем систему уравнений в одно дифференциальное уравнение относительно функции y1.

1. Продифференцируем первое уравнение по x:

Замечание. На практике для решения систем дифференциальных уравнений в нормальной форме иногда используется еще метод интегрируемых комбинаций.

137

Глава V. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 16

§3. Системы линейных однородных дифференциальных уравнений

определены на интервале (a; b). Система дифференциальных уравнений вида

ма называется линейной однородной, в противном случае - линейной неоднородной.

Замечание. Если функции p jk (x), q j (x) непрерывны на интер-

вале (a; b), то система (1) имеет решения, определенные на этом интервале.

Чтобы избежать громоздких записей, введем матричную запись системы уравнений (1). Будем использовать обозначения:

Рассмотрим сначала частный вид такой системы - систему линейных однородных уравнений.

138

§3. Системы линейных однородных дифференциальных уравнений.

1. Структура общего решения системы линейных однородных уравнений

Согласно равенству (2) система линейных однородных уравнений имеет матричную запись

Решениями этой системы уравнений являются векторные функции, точнее функциональные матрицы-столбцы высоты n. Рассмотрим основные свойства данных решений.

Теорема 1. Если Y1,Y2 ,...,Yn - решения системы (3), то для любых

n

чисел с1,с2 ...,сn R линейная комбинация Y c jY j

j 1

тоже является решением этой системы.

Доказательство вытекает непосредственно из свойств линейности операции дифференцирования и свойств умножения матриц.

Заметим также, что для решений системы уравнений (3), как и для векторов линейного пространства, имеет смысл гово-

рить о линейной зависимости.

Определение 2. Система решений Y1,Y2 ,...,Yk системы уравнений (3) называется фундаментальной, если она линейно независима и k n .

Фундаментальная система решений полностью определяет общее решение системы уравнений (3).

Теорема 2. (О структуре общего решения).

Если Y1,Y2 ,...,Yn - фундаментальная система решений системы уравнений (3), то ее общее решение имеет вид

j 1

Доказательство сводится к проверке свойств общего решения.

139