Lesn3_Integraly

Глава V. Элементы теории функций комплексной переменной

функции u(x, y) и v(x, y) имеют в области D непрерывные частные производные второго порядка. (Позже мы покажем, что эти функции имеют непрерывные производные любого порядка).

v непрерывны, то они равны. Сложив равенства, получим:

xy

Аналогично можно доказать равенство 2v 2v 0 .

x 2 y 2

Таким образом, функции u(x, y) и v(x, y) удовлетворяют дифференциальному уравнению Лапласа, то есть являются гар-

моническими.

Итак, если функция f(z) = u(x, y) + iv(x, y) аналитична в односвязной области, то функции u(x, y), v(x, y) являются гармоническими и сопряженными. Справедливо и обратное утверждение. Таким образом, имеет место следующая теорема.

Теорема 5. Функция f(z) = u(x, y) + iv(x, y) является аналитической в односвязной области тогда и только тогда, когда

ской функции f(z). Согласно условиям Коши-Римана имеем: dv vx dx yv dy uy dx ux dy .

Следовательно, нам известен дифференциал функции v(x, y). Тогда, как известно, эту функцию можно восстановить с

270

§6. Дифференцирование функции комплексной переменной

точностью до константы. Тем самым, с точностью до константы восстанавливается и вся аналитическая функция f(z).

Аналогичная ситуация возникает и тогда, когда известна только функция v(x, y).

Таким образом, доказано следующее свойство аналитической функции.

Аналитическая функция восстанавливается, с точностью

Отметим еще одно свойство составных частей аналитической функции.

Замечание. Функция u(x, y) может быть составной частью аналитической функции в некоторой односвязной области тогда и только тогда, когда она является гармонической в этой области.

Пример.

является гармонической. Найдем аналитическую функцию f(z), для которой функция v(x, y) будет мнимой частью. Для этого найдем функцию u(x, y), сопряженную функции v(x, y).

Запишем аналитическую функцию f(z):

f (z) u iv 12 (x2 y2 ) C 12 2xyi 12 (x iy)2 C .

Итак, f (z) 12 z2 C .

На этом мы закончим исследование вопросов дифференцируемости функций комплексной переменной и перейдем к исследованию операции интегрирования.

271

Глава V. Элементы теории функций комплексной переменной

Лекция 29

§7. Интеграл от функции комплексной переменной

1. Понятие интеграла

Понятие интеграла от функции комплексной переменной является обобщением определенного интеграла. Область определения подынтегральной функции - произвольная кривая на комплексной плоскости.

При определении используются совершенно аналогичные понятия, и мы не будем давать их строгого определения. Рассмотрим только развернутое определение самого интеграла.

усть функция f(z) определена на плоской кривой AB. Проделаем следующие операции.

на кривой AB. Сумма зависит от выбора разбиения кривой и от выбора отмеченных точек. Чтобы избавиться от этой зависимости, осуществим предельный переход в интегральной сумме.

272

§7. Интеграл от функции комплексной переменной

4. Будем осуществлять последовательно разбиения кривой AB так, чтобы диаметр d разбиения стремился к нулю. Как и при введении определенного интеграла определяется понятие предела I интегральных сумм при d 0. (Дословное повторение).

Предел интегральных сумм, если он существует, не зависит от способа разбиения кривой и от выбора отмеченных точек. Поэтому число I полностью определяется функцией f(z) и кривой AB.

Определение 1. Предел интегральных сумм функции f(z) по кривой AB , если он существует и конечен, называется

интегралом функции f(z) по кривой AB. Функция f(z)

в этом случае называется интегрируемой по кривой AB.

Обозначение: f (z)dz .

AB

Используя введенные обозначения, определение интеграла можно записать в символической форме:

ассмотрим сначала, как вычисляется интеграл. Запишем рассматриваемые комплексные числа в алгебраической форме:

Представим интегральную сумму в равенстве (1) в следующем виде:

Последнее выражение содержит интегральные суммы двух криволинейных интегралов II рода. Переходя в этих суммах к

273

Глава V. Элементы теории функций комплексной переменной

пределу при d 0, получаем равенство интегралов

Для подынтегральной функции f(z) = Rez = x имеем: u(x, y) = x, v(x, y) = 0. Поэтому согласно равенству (2) получаем

Из свойств криволинейных интегралов II рода вытекает достаточное условие интегрируемости функции комплексной переменной.

Теорема 1. (Достаточное условие интегрируемости).

Если функция f(z) непрерывна на ограниченной кусочногладкой кривой AB, то она интегрируема по этой кривой.

Обратимся теперь к исследованию свойств интеграла.

2.Свойства интеграла

1.При смене направления обхода кривой AB интеграл меняет значение на противоположное:

f (z)dz = f (z)dz .

274

§7. Интеграл от функции комплексной переменной

Имеют место свойства линейности:

2.[ f (z) g(z)]dz f (z)dz g(z)dz .

AB AB AB

4. Аддитивность интеграла. Для любой точки C кривой

AB выполняется равенство

ассмотрим интеграл в частном случае, когда кривая AB является отрезком [a, b] вещественной оси. Тогда она определяется уравнением y = 0. Поэтому равенство (2) принимает вид

В этом случае интеграл записывается так:

ля вычисления интеграла от функции комплексной переменной, как и для определенного интеграла, используется метод замены переменной.

Пусть дифференцируемая функция z = z(t) взаимнооднозначно отображает кривую CD на кривую AB. Тогда имеет место равенство

Замена переменных (4) часто используется в случае, когда

275

Глава V. Элементы теории функций комплексной переменной

кривая CD является отрезком [ , ] вещественной оси.

В этом случае получаем параметрическое задание кривой

§8. Интегрирование аналитических функций

нтеграл от аналитической функции обладает особыми

Вспомним, в односвязной области D криволинейный ин-

276

§8. Интегрирование аналитических функций

теграл II рода P(x, y)dx Q(x, y)dy не зависит от формы пути

AB

интегрирования, если в этой области выполняется равенство

Они означают, как легко видеть, что криволинейные интегралы

сят от формы пути интегрирования. Тогда в силу равенства (*)

В дальнейшем для интеграла от аналитической функции f(z) будем использовать обозначения:

не зависит от выбора пути, связывающего точку z0 с точкой z, то есть зависит только от выбора точки z. Следовательно, интеграл является некоторой функцией F(z) верхнего предела:

Данная функция обладает следующим свойством.

Теорема 2. Для функции f(z), аналитической в односвязной области D, функция F(z) является первообразной, то есть

Доказательство опустим.

277

Глава V. Элементы теории функций комплексной переменной

Очевидно, для функции f(z) первообразных существует бесконечно много.

Теорема 3. Любые две первообразные аналитической функции различаются не более, чем на постоянное слагаемое.

Доказательство. Пусть F(z) и F1(z) - первообразные для функции f(z). Рассмотрим функцию Ф(z) = F1(z) F(z). Она ана-

u(x, y) = c1, v(x, y) = c2. Таким образом, Ф(z) = c1 + i c2. Отсюда следует утверждение теоремы. ►

ля описания всего множества первообразных вводится понятие неопределенного интеграла.

Определение 1. Совокупность всех первообразных функции f(z), аналитической в области D, называется неопределенным интегралом этой функции в данной области.

Как уже было отмечено, дифференцирование аналитических функций комплексной переменной выполняется по тем же формулам и правилам, что и дифференцирование элементарных функций действительной переменной.

При выполнении обратной процедуры - при вычислении неопределенного интеграла от аналитических функций комплексной переменной можно использовать таблицу неопределенных интегралов и методы вычисления неопределенных интегралов, которые применялись в вещественном анализе.

Пример 1.

sin zdz cos z C .

278

§8. Интегрирование аналитических функций

еопределенный интеграл от аналитической функции тесно связан с введенным ранее интегралом.

Теорема 4. Пусть функция f(z) аналитична в односвязной области D и z1, z2 D. Тогда для любой первообразной F(z) функции f(z) выполняется равенство

F1(z) f (t)dt тоже является первообразной для функции f(z).

z1

По теореме 3 для некоторой константы C имеем

Равенство (5) называется формулой Ньютона-Лейбница.

Из равенств (4) и (5) следует, что

279