Решение. Возьмём ε = 12. Тогда при любом n и p = n имеет место неравенство
1 |
1 |
|
1 |
|
n |
|
1 |
|xn+p − xn| = |
|
+ |
|
+ · · · + |
|
|
> |
|
= |
|
|
. |
n + 1 |
n + 2 |
2n |
2n |
2 |
В силу теоремы 25, последовательность (xn) расходится.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 32. Пользуясь теоремой 25, доказать, что последовательность (xn),
1 |
1 |
1 |
|
xn = |
|
+ |
|
+ · · · + |
|
(n = 2, 3, . . .), |
ln 2 |
ln 3 |
ln n |
расходится.
Пример 33. Пользуясь критерием Коши, доказать, что последовательность (xn),
xn = |
sin 1 |
+ |
sin 2 |
+ · · · + |
sin n |
(n = 1, 2, 3, . . .), |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
22 |
|
2n |
сходится.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 34. Пользуясь критерием Коши, доказать, что последовательность (xn),
xn = |
sin 1! |
+ |
sin 2! |
+· · ·+ |
sin n! |
(n = 1, 2, 3, . . .), |
|
|
|
|
1 · 2 |
2 · 3 |
n · (n + 1) |
сходится.
Пример 35. Пользуясь критерием Коши, доказать, что последовательность (xn),
|
1 |
|
1 |
1 |
|
xn = 1 + |
|
|
+ |
|
+ · · · + |
|
(n = 1, 2, 3, . . .), |
22 |
32 |
n2 |
сходится.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Глава 3
Предел отображения
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
3.1.Отображения (функции).
Говорят, что задано отображение из множества A во множество B, если
1)задано множество A, называемое областью определения отображения,
2)задано множество B, называемое областью значений отображения,
3)задан некоторый метод, позволяющий для
каждого a A находить единственное b B. Это значение b B, соответствующее a A, называется значением данного отображения при x = a или короче: значением данного отображения в точке a.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Отображение обычно обозначается латинскими буквами: f, g, . . .- или греческими: φ, ψ . . . .
Если отображение обозначено через f, то значение отображения в точке x = a обозначается f(a) и называется образом точки a.
Введем две переменные: x и y. Переменная x может принимать любое значение из области определения A функции f. Переменная x называется независимой переменной.
Равенство: y = f(x) сопоставляет каждому значению независимой переменной x некоторое значение переменной y. Переменная y называется зависимой переменной (y “зависит” от x.)
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Выражение:
f : A → B - означает:
“f есть отображение A в B.”
f
Так же читается выражение A → B.
Определение 47. Образом множества C A при отображении f : A → B называют множество
f(C) := {y B|x ((x C) (y = f(x)))}
тех элементов B, которые являются образами элементов множества C.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 48. Множество f(A) называется множеством значений отображения
f : A → B.
Заметим, что, в общем случае, множество значений отображения не совпадает с областью значений отображения.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
3.1.1.Способы задания функций.
1.Аналитический способ.
Пусть задана область определения функции A, область значений B и выражение зависимой переменной через независимую вида: y = f(x), где f(x) есть так называемая формула, по которой для всех x A вычисляются значения y B.
Аналитический способ удобен экономичностью записи. Однако, у него ограниченная сфера применения. Не каждая функция, с которой приходится иметь дело, может быть задана аналитически.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
