Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

mathanaliz

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

9.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 15127 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

Пример 28. Последовательность (xn) определяется следующим образом:

x1 =	1	, xn =	1	+	xn2 −1	(n = 2, 3, . . .).

	2		2
				2

Доказать существование предела последовательности (xn) и найти его.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Решение. Покажем, что n N : 0 < xn < 1. Доказывать это утверждение будем методом математической индукции.

I. При n = 1 неравенство 0 < x1 = 12 < 1 верно. II. Пусть имеет место неравенство

0< xn−1 < 1.

III.Тогда, очевидно, что

0 < xn =	1	+	xn2 −1	<	1	+	1	= 1.
	2				2		2
		2

Итак, последовательность (xn) ограниченная.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Покажем, далее, что последовательность (xn) возрастающая. Действительно

−

n−1

xn2 −1

−

n−1

(1 − xn−1)2

> 0

для всех n = 1, 2, 3, . . . . Следовательно, в силу теоремы 23, последовательность (xn) сходится. Обозначим lim xn = a.

Тогда, переходя к пределу в равенстве

1 x2 − xn = 2 + n2 1,

получим a = 12 + a22. Последнее уравнение имеет два решения: a1,2 = 1. Ответ: lim xn = 1.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример		29. Доказать, что последователь-
ность
x1 =	x0		, x2 =	x1	, . . . , xn =	xn−1	, . . . ,

	2 + x0			2 + x1		2 + xn−1

где x0 > 0 – произвольное число, сходится и найти предел этой последовательности.

Пример 30. Дана последовательность

√

s √

u s

√

= 2, x

= 2 + 2, x

= u2 +

2 +

, . . . ,

√

. . . , xn = u2 +

2 + . . . + 2

, . . . .

}

n радикалов{z

Доказать, что эта последовательность имеет предел, и найти его.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

2.2.10. Число e.

Рассмотрим последовательность с общим чле-

		1 n
ном xn = 1 + n				:
(1	1		1 2		1 3		1 n	, . . . .
(1	+ 1) , 1 +			, 1 +		, . . . , 1 +		, . . . .

		2			3		n

и покажем, что она имеет конечный предел. В силу теоремы 23, для доказательства суще-

ствования конечного предела этой последовательности достаточно показать что:

1.последовательность (xn) возрастающая;

2.последовательность (xn) ограничена сверху.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пользуясь формулой бинома Ньютона, запишем:

xn =

1 +

n(n − 1)

n(n − 1)(n − 2)

= 1 + n

· n2

· · ·

1 · 2

1 · 2 · 3

n(n − 1)(n − 2) · · · [n − (k − 1)]

· · ·

1 · 2 · 3 · · · k

n(n − 1)(n − 2) · · · [n − (n − 1)]

· · ·


= 1 + 1 +		1	1			1		+			1	1				1			1				2			+	· · ·		+
= 1 + 1 +			1					+				1							1							+			+
	2!				− n					3!				− n							− n
		+		1	1				1	1					2			1				−			k − 1				+		· · ·	+
		+			1					1								1							k − 1				+			+
				k!			− n						− n · · ·													n
														+			1			1		1		1				2		1			−	n − 1	.
														+						1				1						1				n − 1	.
																	n!				− n						− n · · ·							n

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пользуясь формулой бинома Ньютона, запишем:

xn =

1 +

n(n − 1)

n(n − 1)(n − 2)

= 1 + n

· · ·

1 · 2

1 · 2 · 3

n(n − 1)(n − 2) · · · [n − (k − 1)]

· nk

· · ·

1 · 2 · 3 · · · k

n(n − 1)(n − 2) · · · [n − (n − 1)]

· nn

· · ·

= 1 + 1 +

· · ·

− n

−

k − 1

· · ·

− n

− n · · ·

−

n − 1

− n

− n · · ·

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

1. Покажем, что последовательность (xn) -

возрастающая. Для этого запишем выражение для xn+1 и сравним его с xn :

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

xn =	1 +	1	n		=
xn =	1 +		n		=
		n					1	1				1							1		1			1		1				2
	= 1 + 1 +						1					1			+				1					1						2		+	· · ·		+
	= 1 + 1 +														+																	+			+
							2!				− n							3!				− n					− n
		+			1	1			1	1						2		1					−			k − 1		+				· · ·		+
		+				1				1								1								k − 1		+						+
				k!			− n						− n · · ·													n
														+			1			1			1		1				2		1				−	n − 1	.
														+						1					1						1					n − 1	.
																	n!					− n					− n · · ·									n

xn+1	=	1 +			1				n+1			=
xn+1	=	1 +							n+1			=
				n + 1
= 1 + 1 +						1		1				1				+			1		1		1			1			2				+		· · ·	+
= 1 + 1 +								1								+					1					1							+			+
					2!					− n + 1								3!				− n + 1						− n + 1
		+	1	1						1			1					2				1					k − 1			+	· · ·			+
		+		1									1									1					k − 1			+				+
			k! − n + 1													− n + 1 · · ·										− n + 1
			+		1		1					1		1				2						1				n − 1				+
			+				1							1										1				n − 1				+
					n!					− n + 1								− n + 1 · · ·									− n + 1
					+						1				1					1			1				2		1						n		.
					+						(n + 1)!				1		− n + 1						1		− n + 1				1								.
											(n + 1)!						− n + 1								− n + 1				· · ·				− n + 1

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

xn =	1 +			1	n					=
xn =	1 +				n					=
				n													1	1						1										1		1						1		1						2
		= 1 + 1 +															1							1				+						1								1								2				+	· · ·			+
		= 1 + 1 +																										+																										+				+
																2!						− n											3!					− n									− n
			+							1			1						1		1								2			1									−				k − 1			+						· · ·		+
			+										1								1											1													k − 1			+								+
									k!								− n								− n · · ·																					n
																										+					1				1						1		1						2		1							−				n − 1			.
																										+									1								1								1											n − 1			.
																															n!							− n									− n · · ·																n
xn+1	=	1 +								1				n+1						=
xn+1	=	1 +												n+1						=
						n + 1
= 1 + 1 +								1				1								1					+					1			1								1					1								2					+		· · ·			+
= 1 + 1 +												1													+								1													1													+					+
							2!								− n + 1														3!								− n + 1												− n + 1
		+		1		1										1					1							2									1										k − 1						+				· · ·			+
		+				1															1																1										k − 1						+							+
			k!									− n + 1													− n + 1 · · ·																					− n + 1
				+			1				1									1			1					2												1									n − 1						+
				+							1												1																	1									n − 1						+
							n!								− n + 1														− n + 1 · · ·																		− n + 1
										+										1				1									1						1								2					1											n			.
										+														1			− n + 1												1						− n + 1							1														.
																(n + 1)!											− n + 1																		− n + 1							· · ·							− n + 1

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 15127 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.05.20154.48 Mб7Lesn3_Integraly1.pdf
#
11.05.20152.33 Mб11Lesn4_Rjady.pdf
#
11.05.20151 Mб5Lesn4_Rjady_I.pdf
#
11.05.20151.31 Mб4Letn_prakt.pdf
#
11.05.2015531.97 Кб8Liber_Khorne_final.doc
#
11.05.20159.53 Mб9mathanaliz.pdf
#
16.03.20161.3 Mб13Mat_analiz_ekzamen.pdf
#
11.09.20191.28 Mб0Mazur.doc
#
11.05.2015410.77 Кб17Metodicheskoe_posobie_po_lab_rabotam_TsUiMP.pdf
#
10.05.2015861.7 Кб73metodichka.doc
#
15.09.2019226.3 Кб7metodichka_po_venerologii.doc