Пример 26. Показать, что
lim an = 0. n!
Пример 27. Показать, что
nk
lim an = 0 (a > 1).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
2.2.9. Монотонные последовательности.
Определение 41. Последовательность (xn) называется возрастающей, если
x1 < x2 < . . . < xn < . . . (обозначение (xn) );
неубывающей, если
x1 ≤ x2 ≤ . . . ≤ xn ≤ . . . (обозначение (xn) ↑);
невозрастающей, если
x1 ≥ x2 ≥ . . . ≥ xn ≥ . . . (обозначение (xn) ↓);
убывающей, если
x1 > x2 > . . . > xn > . . . (обозначение (xn) ).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 42. Последовательность (xn) называется монотонной, если она возрастающая или неубывающая или невозрастающая или убывающая.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 43. Последовательность (xn)
называется ограниченной сверху, если
M R такое, что n N : xn ≤ M.
Легко видеть, что если монотонно возрастающая последовательность ограничена сверху, то она ограничена.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 44. Последовательность (xn)
называется ограниченной снизу, если M R
такое, что n N : M ≤ xn.
Легко видеть, что если монотонно убывающая последовательность ограничена снизу, то она ограничена.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 45. Обозначим через
In = [an, bn] R.
Если
I1 I2 . . . In . . . ,
то говорят, что имеется последовательность
вложенных отрезков.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Лемма 4. (Больцано-Коши-Кантора). Для любой последовательности
I1 I2 . . . In . . .
вложенных отрезков найдётся точка c R, принадлежащая всем этим отрезкам. Если, кроме того, известно, что для любого ε > 0 в последовательности можно найти отрезок, длина которого меньше ε, то c — единственная общая точка всех отрезков.
Без доказательства.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 23. Монотонная ограниченная последовательность сходится.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. Последовательность (xn) — ограниченная , т.е. существует [a, b] такой, что
n N : xn [a, b].
Делим отрезок [a, b] пополам. В силу монотонности последовательности (xn), только один из двух полученных в результате деления отрезков содержит бесконечно много членов последовательности (xn). Обозначим этот отре-
зок через [a1, b1], [a, b] [a1, b1], и с этим отрезком поступаем теперь так же, как с исходным
отрезком [a, b], т.е. делим его пополам, и продолжаем процесс дальше.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Мы построили последовательность
[a, b] [a1, b1] . . . [ak, bk] . . .
вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю. Тогда, в силу леммы 4, существует единственная точка c [a, b], общая для всех
этих отрезков.
Покажем, по определению 26, что lim xn = c.
Фиксируем произвольное ε > 0. Так как длины вложенных отрезков стремятся к нулю, то
существует отрезок [aN , bN ] Uε(c), вне которого, по построению, находится лишь конеч-
ное число членов последовательности (xn). Из выделенного синим цветом следует, по определению 26, что lim xn = c. 
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
