mathanaliz
.pdf
Доказательство.
Фиксируем произвольное ε > 0. Тогда
îïð.23
((xn) − ограниченная)
( M R такое, что n N : |xn| ≤ M)
и
(αn → 0) |
îïð.28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|||||
|
|
|
|
N т.ч. |
|
|
| |
| |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
||||||||||||
|
N = N(ε) |
|
|
n > N : |
|
αn |
< |
|
|
ε |
|
= |
||||||||
|
|
| |
|
· |
| |
|
| |
|
| · | |
| |
|
|
|
· |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
||||||||||
|
n > N : xn |
|
αn |
= |
xn |
|
αn |
< M |
|
|
|
|
|
= ε . |
||||||
Из выделенного синим цветом следует, по определению 28, что (xn · αn) бесконечно малая последовательность. 
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Следствие 11.1. Произведение сходящейся и бесконечно малой последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
В силу теоремы 4 каждая сходящаяся последовательность ограничена.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Следствие 11.2. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Бесконечно малая последовательность – сходящаяся последовательность.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Следствие 11.3. Произведение любого фиксированного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Доказать самостоятельно методом математической индукции.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
2.2.6. Теоремы о пределах.
Теорема 12. Сумма двух сходящихся последовательностей есть сходящиеся последовательность, её предел равен сумме пределов слагаемых.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство.
Пусть xn → a R и yn → b R. Покажем, что lim(xn + yn) = a + b.
(xn |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a) = (xn = a + αn, αn 0) |
|
|
|
|
||||
|
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
(yn |
|
7 |
|
0) |
|
|
|
||
|
b) = (yn = b + βn, βn |
|
|
|
|||||
|
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(xn + yn = (a + b) + (αn + βn), αn → 0, |
|
9 |
|||||||
|
|
|
|
|
βn → |
0) = |
|||
(xn + yn = (a + b) + γn, γn = αn + βn → |
0) |
7 |
|||||||
= |
|||||||||
(lim (xn + yn) = a + b) .
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Замечание. Верно ли утверждение:
Если последовательность (xn + yn) сходится, то сходится последовательность (xn) и (или) сходится последовательность (yn)?
Нет, не верное. Пример:
Последовательности xn = (−1)n + n1 и
yn = (−1)n+1 расходятся, а последовательность xn + yn = n1 → 0.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 13. Произведение двух сходящихся последовательностей есть сходящиеся последовательность, её предел равен произведению пределов сомножителей.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство.
Пусть xn → a R и yn → b R. Покажем, что lim(xn · yn) = a · b.
|
→ |
7 |
|
→ |
|
|
|
|
(xn |
|
|
0) |
|
|
|||
|
a) = (xn = a + αn, αn |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
= |
|
→ |
→ |
|
|
|
|
||
(yn |
|
0) |
|
|||||
|
b) = (yn = b + βn, βn |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn · yn = (a · b) + (b · αn + a · βn + αn · βn),
11è9
αn → 0, βn → 0 =
xn · yn = (a · b) + γn,
|
· |
|
· |
|
|
|
· |
|
→ |
|
7 |
|
γn = b |
αn + a |
βn + αn |
βn |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
0 |
= |
||||||
|
|
|
|
|
· |
yn) = a |
· |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
lim (xn |
|
|
b . |
|
||||||
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back |
•Full Screen •Close •Quit |
|||||||||
Следствие 13.1. lim (C · xn) = C · lim xn.
Замечание. Верно ли утверждение:
Если последовательность (xn ·yn) сходится, то сходится последовательность (xn) и (или) схо-
дится последовательность (yn)? |
|
|
|
Нет, не верное. |
|
|
|
Пример: |
|
(−1)n |
|
Последовательности xn |
= |
и |
|
yn = (−1)n расходятся, а последовательность xn · yn = 1 → 1.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit