ИД3 по ИС_ все вместе

11

Индивидуальное домашнее задание №2. Решение задачи линейного программирования в Excel

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Задача линейного программирования является достаточно распространенной задачей принятия оптимальных решений, особенно в экономике. Решение этой задачи рассмотрим на примере задачи распределения ресурсов.

Задача линейного программирования, которая является частным случаем задачи оптимизации, записывается следующим образом:

где F – целевая функция,

cj – прибыль, получаемая от реализации единицы продукции j - го типа aij – норма расхода i-го ресурса для выпуска единицы продукции j-го типа bi – количество располагаемого ресурса i-го типа

Задача распределения ресурсов

Частным случаем задачи линейного программирования является задача распределения ресурсов.

Если финансы, оборудование, сырье и даже людей считать ресурсами, то значительное число задач в экономике можно рассматривать как задачи распределения ресурсов. Достаточно часто математической моделью таких задач является задача линейного программирования.

Пример. Требуется определить, в каком количестве надо выпускать продукцию четырех типов Прод1, Прод2, Прод3, Прод4, для изготовления которой требуются ресурсы трех типов: трудовые, финансовые, сырьевые. Количество ресурса каждого типа, необходимое для выпуска единицы продукции, называется нормой расхода. Нормы расхода, а также прибыль, получаемая от реализации единицы каждого типа продукции, приведены в табл. ниже. Там же приведено наличие располагаемого ресурса.

Таблица.

Теперь приступим к составлению математической модели.

Как следует из Таблицы, для выпуска единицы Прод1 требуется 6 единиц сырья, значит, для выпуска всей продукции Прод1 требуется 6xi , где xi – количество выпускаемой продукции Прод1. С учетом того, что для других видов продукции зависимости аналогичны, ограничение по сырью будет иметь вид:

В этом ограничении левая часть равна величине требующегося ресурса, а правая показывает количество имеющегося ресурса.

12

Аналогично можно составить ограничения для остальных ресурсов и написать зависимость для целевой функции. Тогда математическая модель задачи будет иметь вид

Задачу, имеющую четыре переменные, представить на плоскости невозможно, поэтому познакомимся с алгоритмом решения таких задач.

Аналитическое решение задачи линейного программирования осуществляется с помощью симплекс-метода. В Excel имеется математический аппарат, реализующий основные идеи данного метода. Решение задачи с помощью Excel бкдем рассматривать на примере выше написанной системы неравенств.

ПРАКТИКУМ

Задание 1. Решить задачу распределения ресурсов, исходные данные которой приведены в табл.

Рекомендации по выполнению.

1. Введите данные в таблицу.

2.Введите зависимость для целевой функции: в ячейку F6, в ячейку F9, F10 и F11 (см. таблицу)

3.Осуществить поиск решения. Выделите ячейку F6 и выполнить команду вкладка ДАН-

НЫЕ/ группа Анализ/Поиск решения ; затем в диалоговом окне ввести: $B$3>=$B$4

$C$3>=$C$4 $D$3>=$D$4 $E$3>=$E$4 $F$10<=$Н$10 $F$11<=$Н$11 $F$12<=$Н$12

14

Итак, в оптимальном решении:

Прод1 = 10 Прод2 = 0, Прод3 =6, Прод4 = 0

При этом максимальная прибыль будет составлять 1320, а количество использованных ресурсов:

персонал = 16 сырье = 84 финансы = 100

Таково оптимальное решение рассматриваемой задачи распределения ресурсов.

Задание 2. Представить результат оптимизации в графическом виде. Постройте диаграмму Оптимальный план по строкам Ресурс и Значение.

15

16

Индивидуальное домашнее задание № 3. Корреляционнорегрессионный и статистический анализ с использованием Excel

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

В экономике часто возникает задача подбора функциональной зависимости для двух наборов данных. В Excel введен набор функций для решения такой задачи. Они основаны на методе наименьших квадратов. Но регрессионный анализ – это не только метод наименьших квадратов. Там относительно исходных данных делаются некоторые статистические предположения. В качестве результата выдаются не только коэффициенты функции, приближающие данные, но и статистические характеристики полученных результатов.

Корреляция

Метод регрессионного и корреляционного анализа широко используется для определения тесноты связи между показателями, не находящимися в функциональной зависимости. Теснота связи между изучаемыми явлениями измеряется корреляционным отношением (для криволинейной зависимости). Для прямолинейной зависимости исчисляется коэффициент корреляции.

Коэффициент корреляции используется для определения наличия взаимосвязи и ее количественной оценки двух наборов данных. Например, можно установить зависимость между величиной складского товарооборота и размером складской площади. Коэффициент корреляции выборки представляет собой ковариацию двух наборов данных, деленную на произведение их стандартных отклонений. Уравнение для коэффициента корреляции имеет вид:

где x и y – значения изучаемых признаков; n – количество значений x и y в выборке;

Для характеристики изменчивости признаков используют следующие показатели: вариационный размах, среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Вариационный размах (амплитуда колебаний) – разница между максимальным и минимальным значениями изучаемого признака. Размах дает представление о крайних пределах вариации признаков, но не показывает степени изменчивости.

Среднеквадратическое отклонение σ характеризует степень изменчивости признака в абсолютных величинах. В нормальных или близких к ним вариационных рядах отклонение вправо и влево от средней x относятся на три сигмы. По этому показателю средней изменчивости можно ориентировочно определить минимальное и максимальное значения x.

Коэффициент вариации характеризует изменчивость признака в изучаемой совокупности в относительных величинах. Его исчисляют как процентное отношение среднеквадратичного отклонения изучаемой совокупности к средней арифметической. Изменчивость признака считается незначительной, когда коэффициент вариации не более 10%, средней – от 11 до 30%, высокой – свыше 30%.

Корреляционный анализ дает возможность установить, ассоциированы ли наборы данных по величине, т.е. большие значения из одного набора данных связаны с большими значениями другого набора (положительная корреляция) или, наоборот, малые значения одного набора связаны с большими значениями другого набора (отрицательная корреляция), или данные для двух диапазонов никак не связаны (корреляция близка к нулю). Для вычисления коэффициента корреляции между двумя наборами данных используется статистическая

17

функция КОРРЕЛ (находится в категории Статистические). Функция КОРРЕЛ рассчитывает коэффициент корреляции между диапазонами или массивами ячеек.

Синтаксис функции выглядит так: КОРРЕЛ(массив1; массив2), где массив1(fx) – это первый интервал ячеек со значениями;

массив2(fx) – это второй интервал ячеек со значениями.

Если массив1 и массив2 имеют различное количество точек данных, то функция КОРРЕЛ объявляет значение ошибки #Н/Д.

Если массив1 и массив2 пусты или стандартное отклонение (s) их значений равно нулю, то функция КОРРЕЛ указывает значение ошибки #ДЕЛ/0!

Корреляционные связи различают:

-по количеству признаков связи: однофакторные и многофакторные,

-по направленности: положительные и отрицательные,

-по аналитическому выражению: прямолинейные и криволинейные.

Тесноту корреляционной связи определяют с помощью корреляционной решетки, построенной в прямоугольных осях координат.

Если частоты распределяются ближе к диагонали, то между признаками обнаружена высокая связь. Размещение частот близко к диагонали, пересекающей решетку с левого нижнего в правый верхний угол , свидетельствует о положительной направленности, а с верхнего левого в правый нижний угол – об отрицательной направленности.

Дугообразное размещение частот в решетке характеризует криволинейную связь и беспорядочное отсутствие связи. В процессе выбора модели уравнения учитывают также характер динамического ряда. Уравнение прямой используется, когда на протяжении изучаемого периода сохраняется более или менее стабильный абсолютный прирост явления.

При зигзагообразном возрастающем изменении динамического ряда без стабильного его роста и снижении применяют уравнение параболы. При отрицательной направленности и изменении динамических рядов по зигзагообразной снижающей, а затем повышающей кривой без стабильного их снижения и роста используют уравнение гиперболы или кривой показательной функции.

Для измерения тесноты связи между результатом и признаками используют коэффициенты линейной и множественной корреляции, а также коэффициент регрессии. Коэффициент линейной регрессии – показатель, отображающий направление и тесноту связи между признаками при прямолинейных (или близких к ним) взаимозависимостях. Он колеблется в пределах от 0 до +/–1. Знак "+" означает прямую, а знак "–" – обратную связь. Значения коэффициента линейной корреляции и теснота связи между признаками указаны в табл.

Теснота связи двух или более признаков выражается коэффициентом множественной корреляции (совокупной). В случае линейной зависимости (y) от двух признаков (x и z) коэффициент корреляции вычисляется по формуле:

Коэффициент множественной корреляции – число всегда положительное и изменяется от 0 до 1. Для его исчисления предварительно вычисляют частные коэффициенты корреляции.

Регрессия

Линейный регрессионный анализ заключается в подборе графика для набора наблюдений с помощью метода наименьших квадратов. Регрессия используется для анализа воздействия значений одной или более зависимых переменных на отдельную зависимую переменную. Например, на объем оптово-складского товарооборота влияют складская площадь, величина товарных запасов и другие факторы. Регрессия пропорционально распределяет меру качества по этим факторам.

Линейное уравнение регрессии имеет следующий вид:

Y = a + bx

где a – независимая переменная;

b – значение коэффициента при переменной; x – значение переменной.

Коэффициент регрессии (R) – величина, которая характеризует, насколько изменяется изучаемый признак исследуемого явления (совокупности) при изменении корреляционного признака на определенную величину. Коэффициент регрессии исчисляется по формулам:

Коэффициент регрессии имеет два значения и включает коэффициент корреляции (r) и среднеквадратическое отклонение по обоим признакам . Он может быть положительным и отрицательным в зависимости от значения коэффициента корреляции.

Статистический анализ

В Excel имеется набор инструментов для анализа данных, называемый "пакет анализа", который может быть использован для реализации сложных статистических задач. Для использования одного из этих инструментов необходимо указать входные данные и выбрать параметры, анализ которых будет проведен с помощью статистической макрофункции, и результаты будут представлены в выходном диапазоне. Некоторые инструменты позволяют представить результаты в графическом виде.

После выполнения команды вкладка ДАННЫЕ/группа Анализ/Анализ данных по-

является окно диалога, в котором перечислены инструменты статистического анализа. Инструмент Генерация случайных чисел позволяет строить последовательности слу-

чайных чисел, распределенных в соответствии с нормальным распределением, распределением Бернулли, Пуассона, равномерным, биноминальным и другими видами распределений.

Инструмент Описательная статистика предлагает таблицу основных статистических характеристик для заданного множества исходных данных: среднее, стандартная ошибка, медиана, мода, стандартное отклонение, дисперсия и т.д. Для вывода таблицы должен быть включен флажок Итоговая статистика, можно также проверить распределение на "нормальность".

Инструмент Гистограмма строит диаграмму, в которой для исходного множества значений определяется количество значений (частот), попадающих в интервалы разбиения – карманы. При построении гистограмм следует ввести: место расположения исходных данных, границы интервалов разбиения и верхнюю левую ячейку выходного диапазона. Если интервал карманов пуст, создаются равные интервалы разбиения в количестве, равном квадратному корню из числа входных значений. Для получения графика необходимо установить флажок Вывод графика, иначе будет выведена только таблица с указанием карманов и частот для каждого из них. Флажок Парето используется для сортировки выходных значений в порядке убывания частот, флажок Интегральный процент – для включения в таблицу накопленных частот в процентах для интервала гистограммы.

19

Инструмент Выборка извлекает из множества значений заданное их подмножество либо случайным образом, либо выбирая каждое n-е значение.

Инструмент Скользящее среднее позволяет выполнить анализ тенденции путем сглаживания колебаний измерений за некоторый период времени.

ПРАКТИКУМ

Задание 1. Рассчитать коэффициент корреляции, характеризующий тесноту связи между величиной оптово-складского товарооборота и размером складской площади фирмы. Значения элементов X (складская площадь) и Y (оптово-складской товарооборот) указаны в таблице ниже:

Рекомендации по выполнению.

1. Создайте таблицу с исходными данными.

2. Рассчитайте коэффициент корреляции по следующей формуле:

= КОРРЕЛ(B2:B5; C2:C5). Функция КОРРЕЛ может быть вызвана с помощью Мастера функций из категории Статистические.

3.В диалоговом окне функции указываются массивы Складской площади и Оптово-

складского товарооборота.

4.В итоге должен быть получен результат КОРРЕЛ= 0,353990796 (т.е. умеренная связь)

Задание 2. На основе данных предыдущего задания выполнить регрессионный анализ.

Рекомендации по выполнению.

Прежде чем выполнять это задание, убедитесь, что подключен "Пакет анализа" (вкладка ДАННЫЕ/группа Анализ должна содержать Анализ данных), ибо регрессия включается в пакет анализа. «Пакет анализа» — это программа-надстройка Excel.