ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

ОТЧЕТ

ИЗУЧЕНИЕ ВРАЩАТЕЛЬНОГО И ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ НА МАШИНЕ АТВУДА

Преподаватель: Студенты группы 231-1:

Таркин Валерий

______________ Айбулатова Алена

«____»_______2011г «____»_______2011г

2011

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью настоящей работы является изучение основных законов динамики поступательного и вращательного движений твердых тел, экспериментальное определение момента инерции блока и сравнение его с расчетным значением.

2. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДИКИ ЭКСПЕРИМЕНТА

Схема экспериментальной установки на основе машины Атвуда приведена на рис. 3.1.

На вертикальной стойке 1 крепится массивный блок 2, через который перекинута нить 3 с грузами 4 одинаковой массы, равной 80 г. В верхней части стойки расположен электромагнит, который может удерживать блок, не давая ему вращаться. На среднем кронштейне 5 закреплен фотодатчик 6. Риска на корпусе среднего кронштейна совпадает с оптической осью фотодатчика. Средний кронштейн имеет возможность свободного перемещения и фиксации на вертикальной стойке. На стойке укреплена миллиметровая линейка 7, по которой определяют начальное и конечное положение грузов. За начальное, принимают положение нижнего среза груза, за конечное - риску на корпусе среднего кронштейна.

Миллисекундомер 8 представляет собой прибор с цифровой индикацией времени. Опоры 9 используют для регулировки положения установки на лабораторном столе.

Принцип работы машины Атвуда заключается в следующем. Когда на концах нити висят грузы одинаковой массы, система находится в положении безразличного равновесия. Если же на один из грузов (обычно на правый) положить перегрузок, то система выйдет из равновесия, и грузы начнут двигаться с ускорением.

Машина Атвуда

1 – стойка; 2 – блок; 3 – нить; 4 – грузы; 5 – средний кронштейн; 6 – фотодатчик; 7 – линейка; 8 – миллисекундомер; 9 – регулировочная опора.

Рис. 2.1

3. ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

Среднее значение времени < t > определяется по формуле

< t > = . (3.1)

Среднее значение квадрата времени < t² > определяется по формуле

< t² > = . (3.2)

Случайная погрешность определяется по формуле

σ_сл(t) = t δ(t), (3.3)

где t – коэффициент Стьюдента (при доверительной вероятности α =0,95 равен 2,8);

δ(t) – среднеквадратичное отклонение, определяющееся по формуле

δ(t) = , (3.4)

где <t> - средний результат измерения, с;

n – количество измерений.

Приборная погрешность σ_п =0,001 с.

Общая погрешность измерения определяется по формуле

σ(t)=σ_п(t)+σ_сл(t). (3.5)

Погрешность косвенного измерения t² определяется по формуле

σ(t²)= 2<t> σ(t). (3.6)

      Исследуемая зависимость двух величин t² и h является линейной, то есть удовлетворяет в общем виде формуле:

t ² = kh,                          (3.7)

     

      где k - константа, зависящая от параметров экспериментальной

     установки:                    

    (3.8)              

        где I − его момент инерции блока;                                      

             R – радиус блока ;

            M, m – масса груза и перегрузка;

            g – ускорение свободного падения.

.

4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ИХ АНАЛИЗ.

Измеренные значения и результаты их обработки приведены в таблице.

Таблица 4.1

Результаты измерений времени прохождения груза

Номер изм.	h1 = 20,0 см	h2 = 16,8см	h3 = 12,4см	h4 = 9,6 см	h5 = 8,0 см
1	3,693	3,248	2,815	2,629	2,413
2	3,781	3,315	2,878	2,547	2,383
3	3,630	3,194	2,774	2,633	2,291
4	3,578	3,352	2,921	2,432	2,284
5	3,820	3,189	3,012	2,547	2,246
	3,700	3,260	2,880	2,558	2,323
	13,693	10,625	8,294	6,541	5,398

Таблица 4.2

Рассчитанные погрешности

Погрешности Время σ t, c	δ(t)	σсл(t), с	σ(t), с	σ(t2), с2
3,700	0,045	0,126	0,127	0,943
3,260	0,032	0,091	0,092	0,598
2,880	0,042	0,116	0,117	0,676
2,558	0,037	0,102	0,103	0,529
2,323	0,032	0,089	0,090	0,418

Строим график зависимости квадрата времени t ² от пройденного пути h (рис.4.1).

Рис.4.1

Из формулы (3.7) находим константу k (параметры t² и h берем из графика на рис.4.1 –координаты точки А):

k = = =66,795 с²/м.

Искомая зависимость имеет вид:   t²= 66,795* h, с².         (4.1) 

     Вычислим значения ординат прямой линии для двух контрольных точек при произвольных значениях h по выражению 4.1:

     h₁ = 0,10 м,   t²₁= 66,795*0,10 = 6,68 c²   →  точка A₁

     h₂ = 0,15 м,   t²₂= 66,795*0,15 = 10,019 c²   → точка A₂ 

Используя формулу (3.8) для k и учитывая, что M = 100*10^-3 кг, m = 2*10^-3 кг, R = 75*10^-3 м, g = 9,807 м/с² вычислим момент инерции I блока.

Экспериментальное значение момента инерции блока: 

I_ex= = = =2,548*10^-3 кг*м².

Используя геометрические параметры блока, с  учетом плотности металла, из которого изготовлен блок (латунь,  = 8400 кг/м³),  рассчитать его момент инерции (толщина блока d = 6*10^-3 м).

Объём блока:

   V_б = π*d*R² = 3,14*6*10^-3*(75*10^-3)² = 1,06*10^-4 м³.

Масса блока:

            m_б =* V_б = 8400*1,06*10^-4 = 0,89 кг.                            

  Момент инерции блока:

        I_аn = * m_б*R² = *0,89*(75*10^-3)² = 2,503*10^-3 кг*м².

Полученные  экспериментальным  и  аналитическим  способами моменты  инерции  можно  сравнить, получив  отличие  между  ними в процентах, при помощи ниже следующего соотношения:

1,798%.

5. ВЫВОДЫ

Используя экспериментальные  данные, был построен график линеаризованной зависимости и рассчитаны коэффициенты соответствующего уравнения  t² = f(h)= 66,795*h, с². Все точки в этой зависимости укладываются на прямую в пределах их погрешностей. Это свидетельствует, что экспериментальная зависимость t² = f(h) соответствует теоретической, т.е. экспериментально доказана справедливость основного уравнения динамики вращательного движения:       

Значение  собственного момента инерции, полученное в ходе эксперимента равно:

I_ex = 2,548*10^-3 кг*м².

Используя геометрические параметры блока, с  учетом плотности металла, из которого изготовлен блок, рассчитан его момент инерции: 

I_аn = 2,503*10^-3 кг*м².

Значение  собственного момента инерции, полученное в ходе эксперимента, больше расчетного на 1,798%. Несовпадение  экспериментального результата с расчетным  можно объяснить тем, что не учитывался момент сил трения. Это и привело к завышенному значению собственного момента инерции блока в эксперименте.   

.

6. ОТВЕТЫ НА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

  1. Что такое момент сил и момент инерции?

  Моментом  силы относительно оси называется физическая величина, численно равная произведению величины составляющей  силы, действующей в плоскости, перпендикулярной оси вращения, на плечо этой составляющей, т.е. на кратчайшее расстояние r от оси вращения до линии действия. Момент  силы относительно оси есть вектор, направленный вдоль этой оси и связан с направлением вращения правилом правого винта.

Момент инерции – это скалярная величина, служащая мерой инертности тел при вращательном движении. Обладает свойством аддитивности: момент инерции тела, может быть найден как сумма моментов инерции всех частей тела. Величина момента инерции зависит не только от массы и формы тела, но и от взаимного расположения тела и оси вращения. Ад­ди­тив­ность момента инерции позволяет легко вычислять его значение для тел, обладающих симметрией.

    Для элемента тела массой dm момент инерции dI выражается соотношением: 

  dI = r²dm,                          

    где r – расстояние от элемента dm до оси вращения.

    Момент инерции  всего тела запишется в виде интеграла:

    где интегрирование осуществляется по всему  телу.