vm3

Министерство образования и науки Российской Федерации

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники

Л. И. Магазинников

Высшая математика III

Функции комплексного переменного. Ряды. Интегральные преобразования

Издание второе

Рекомендовано Сибирским региональным учебно-методическим

центром высшего профессионального образования

вкачестве учебного пособия для студентов

ипреподавателей вузов

Томск 2012

СОДЕРЖАНИЕ

1. Основные понятия комплексного анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1. Комплексные числа и действия над ними . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.1. Понятие комплексного числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2. Тригонометрическая форма записи комплексного

числа. Аргумент и главное значение аргумента . . . . 11 1.1.3. Извлечение корня из комплексного числа . . . . . . . . . . . 13

1.2. Последовательности комплексных чисел. Понятие бесконечности. Операции ez и ln z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3. Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.1. Функции комплексного переменного . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.2. Линейные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.3. Уравнение образа кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.4. Предел и непрерывность функции комплексного

переменного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4. Дифференцируемые функции комплексного переменного 23 1.4.1. Производная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4.2. Условия дифференцируемости функции

комплексного переменного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4.3. Эквивалентность условий Коши-Римана и

условия ∂f∂z¯ = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.5. Понятие аналитической функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.5.1.Простейшие свойства аналитических функций . . . . . 27

1.5.2.Восстановление аналитической функции по её

мнимой или действительной части . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.5.3. Геометрический смысл модуля и аргумента

производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2. Интегральное представление аналитических функций . . . . . . . . 32 2.1. Интеграл от функции комплексного переменного . . . . . . . . 32

2.2. Интеграл от аналитических функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.1. Теорема Коши для односвязной области.

Независимость интеграла от пути интегрирования 34 2.2.2. Существование первообразной для аналитической

функции. Формула Ньютона-Лейбница . . . . . . . . . . . . 35 2.2.3. Теорема Коши для многосвязной области . . . . . . . . . . 37

3

2.3. Интегральная формула Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.4. Производные высших порядков от аналитической функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3. Представление функций рядами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1. Числовые ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.1.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.1.2. Признаки сходимости ряда. Свойства

сходящихся рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.1.3. Абсолютная и условная сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.1.4. Признак сравнения абсолютной сходимости

в конечной форме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.1.5. Предельный признак сравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.1.6. Признак Даламбера в конечной форме . . . . . . . . . . . . . 54 3.1.7. Признак Даламбера в предельной форме . . . . . . . . . . . 55

3.1.8.Радикальный признак Коши в конечной форме . . . . 55

3.1.9.Радикальный признак Коши в предельной форме . . 56

3.1.10. Интегральный признак Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.1.11. Признаки Лейбница и Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.2. Функциональные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.2.1. Функциональный ряд, его сумма и область

сходимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.2.2. Равномерная и неравномерная сходимость . . . . . . . . . . 63 3.2.3. Свойства равномерно сходящихся рядов . . . . . . . . . . . . 66

3.3. Степенные ряды. Ряды Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.3.1. Строение области сходимости степенного ряда . . . . . 69 3.3.2. Ряды Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.4. Нули аналитической функции. Теорема единственности . 76 3.4.1. Порядок нуля функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.4.2. Единственность аналитической функции . . . . . . . . . . . 76

3.5. Приложение степенных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.5.1. Оценка остатка ряда Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.5.2.Приближённое вычисление значений функции . . . . . 80

3.5.3.Приближённое вычисление определённых

интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.5.4.Интегрирование дифференциальных уравнений . . . . 82

3.5.5.Применение рядов Тейлора к отысканию

пределов и производных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4

3.6. Ряды Лорана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.6.1. Строение области сходимости ряда Лорана

Теорема о представимости функции рядом Лорана 85 3.6.2. Разложение функции в ряд Лорана

в окрестности ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4. Особые точки. Вычеты и их приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.1. Изолированные особые точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.1.1. Классификация изолированных особых точек.

Устранимые особые точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.1.2. Полюсы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.1.3. Существенно особые точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.1.4. Характер точки ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.2. Вычеты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.2.1. Вычет относительно конечной точки . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.2.2. Формулы вычисления вычетов относительно

полюса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.2.3. Вычет относительно ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.2.4. Основная теорема о вычетах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.3. Приложение вычетов к вычислению интегралов . . . . . . . . 101 4.3.1. Вычисление интегралов по замкнутому контуру . . 101

−∞

5. Интегралы, зависящие от параметра. - и B- функции.

Функции Бесселя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.1. Свойства функций, заданных собственными интегралами, зависящими от параметра . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.1.1. Непрерывность и переход к пределу под знаком

интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.1.2. Дифференцируемость. Формула Лейбница . . . . . . . . 108

5.1.3.Интегрируемость. Замена порядка интегрирования 111

5.2.Несобственные интегралы 1-го рода, зависящие от

параметра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5

5.3. Несобственные интегралы 2-го рода, зависящие от параметра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.4. - и B- функции (эйлеровы интегралы) . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.4.1. Область определения -функции. Непрерывность

и дифференцируемость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.4.2. Первая рекуррентная формула. График -функции . . .

118

5.4.3.B-функция и её связь с -функцией. Вторая

рекуррентная формула. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.5. Функции Бесселя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.5.1. Общее решение уравнения Бесселя . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.5.2. Рекуррентные формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.5.3. Функции Бесселя с полуцелым индексом . . . . . . . . . . 124 5.5.4. Асимптотический порядок цилиндрических

функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.5.5. Некоторые интегральные формулы . . . . . . . . . . . . . . . . 126

6.1. Ортогональные системы функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 6.1.1. Понятие базиса для множества функций . . . . . . . . . . 128 6.1.2. Скалярное произведение функций. Норма

функций. Ортогональность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6.1.3.Основная тригонометрическая система функций . . 130

6.2.Ряды Фурье по произвольной системе ортогональных

функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.2.1. Понятие ряда Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 6.2.2. Понятие сходимости в среднем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.2.3. Экстремальное свойство многочленов Фурье . . . . . . 134 6.2.4. Замкнутость и полнота ортогональной системы . . . 135

6.3. Тригонометрический ряд Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 6.3.1. Коэффициенты тригонометрического ряда Фурье.

Достаточные признаки представимости функции тригонометрическим рядом. Понятие о периодическом продолжении функции . . . . . . . . . . . . 137

6.3.2.Ряд Фурье для чётных и нечётных функций. Разложение в ряд Фурье функций, заданных на

(0, l), [a, a + 2l] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6.3.3. Другая форма записи тригонометрического ряда Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

6.3.4. Интегрирование и дифференцирование тригонометрических рядов Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

6

6.3.5. О равномерной сходимости тригонометрических рядов Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

6.3.6. Скорость сходимости тригонометрического ряда Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

6.3.7. Комплексная форма ряда Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

7. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

7.1. Понятие интеграла Фурье. Комплексная форма записи интеграла Фурье. Достаточные условия представимости функции интегралом Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

7.2. Действительные формы записи интеграла Фурье.

Интеграл Фурье для чётных и нечётных функций . . . . . . 154 7.3. Преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 7.4. Косинус-преобразование и синус-преобразование Фурье 159

8. Преобразование Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

8.1. Понятие оригинала и его изображения.

Теоремы обращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

8.2. Свойства преобразования Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 8.2.1. Свойство линейности, теорема подобия . . . . . . . . . . . . 165 8.2.2. Теоремы запаздывания и смещения . . . . . . . . . . . . . . . . 166 8.2.3. Дифференцирование оригинала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 8.2.4. Дифференцирование изображения . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 8.2.5. Интегрирование оригинала и изображения . . . . . . . . 169 8.2.6. Умножение изображений. Интеграл Дюамеля . . . . . 171

8.3. Теоремы разложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

8.4. Некоторые приложения операционного исчисления . . . . . 175 8.4.1. Интегрирование линейных дифференциальных

уравнений с постоянными коэффициентами . . . . . . 175 8.4.2. Решение интегральных уравнений типа свёртки . . . 178

9. Контрольные работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

Контрольная работа № 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

ЛИТЕРАТУРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

7

ВВЕДЕНИЕ

Втретью часть пособия по курсу высшей математики включён следующий материал.

Впервом и втором разделах приводятся основные понятия комплексного анализа: комплексные числа и действия над ними, функции комплексного переменного, предел, непрерывность, дифференцирование и интегрирование, здесь же изучаются простейшие свойства аналитических функций.

Втретьем разделе рассмотрены вопросы представления функций рядами. Ряды изучаются сразу для вещественных (действительных)

икомплексных переменных. Довольно подробно рассмотрены ряды Тейлора и Лорана и их приложения, даны оценки остатка ряда Тейлора, исходя из интегральной формы.

Вчетвёртом разделе дана классификация изолированных особых точек аналитических функций, приведены теоремы о поведении ряда Лорана в окрестности особых точек, а также изложена теория вычетов и их приложений к вычислению некоторых интегралов.

Как обобщение функциональных рядов в пятом разделе изучаются собственные и несобственные интегралы, зависящие от параметра. В качестве примера приложения степенных рядов к изучению решений дифференциальных уравнений приведены некоторые сведения из теории функций Бесселя.

Шестой и седьмой разделы посвящены рядам и интегралу Фурье и интегральному преобразованию Фурье. В последнем разделе приводятся некоторые сведения из теории интегрального преобразования Лапласа и примеры приложения этого преобразования к решению дифференциальных уравнений.

Вся учебная информация разбита на небольшие методические блоки, темы которых отражены в очень подробном оглавлении. Рассмотрены многочисленные примеры, иллюстрирующие основные теоретические положения.

Впособие включены три контрольных работы в десяти вариантах каждая, которые можно использовать либо в качестве индивидуальных заданий, либо как контрольные работы для студентов заочной или дистанционной форм обучения. Большинство задач можно выполнять в режиме автоматизированного самоконтроля при наличии устройства СИМВОЛ или его компьютерного аналога.

Автор с благодарностью примет все критические замечания и учтёт их в последующей работе.

8

1. Основные понятия комплексного анализа

1.1. Комплексные числа и действия над ними

Проблемы, связанные с решением алгебраических уравнений второй и более высоких степеней, привели к расширению понятия числа, к введению новых, так называемых комплексных чисел, частным случаем которых являются вещественные (действительные) числа. Впоследствии комплексные числа нашли применение во многих областях математики и её приложениях. Изучению множеств комплексных чисел и их отображений посвящён этот раздел.

1.1.1. Понятие комплексного числа

Комплексным числом называется выражение вида

z = a + bi ≡ a + ib,

где a и b действительные числа, а i специальный символ, если для любых комплексных чисел z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2 введены

операции по следующим правилам:

1) равенство комплексных чисел: z1 = z2 тогда и только тогда, когда a1 = a2, b1 = b2, при этом полагают, что

a + 0 · i = a, 0 + bi = bi, 1 · i = i, (−1) · i = −i;

2) сложение и вычитание комплексных чисел: z1 ± z2 = (a1 ± a2) + (b1 ± b2) i;

3) умножение комплексных чисел:

z1 · z2 = (a1a2 − b1b2) + (a2b1 + a1b2) i.

Из правил 1) и 3) следует, что

(0 + 1 · i)(0 + 1 · i) = i · i = i2 = (0 − 1) + (0 + 0) i = −1.

Введённые операции сложения и умножения обладают свойствами, аналогичными операциям над вещественными числами:

z1 + z2 = z2 + z1, z1 · z2 = z2 · z1,

(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3),

(z1 · z2) · z3 = z1 · (z2 · z3),

(z1 + z2) · z3 = z1 · z3 + z2 · z3.

Отмеченные свойства предлагается доказать самостоятельно в качестве упражнения.

Из равенства a+0·i = a следует, что множество всех действитель-

ных чисел является подмножеством множества комплексных чисел.

9

бражать точками M (x, y) плоскости или векторами OM = {x, y}. Действительные числа x + 0i = x при этом изображаются точками оси OX, поэтому ось OX называют действительной, числа yi называют мнимыми, они изображаются точками оси OY . Эту ось называют мнимой. Число x называют вещественной (действительной) частью комплексного числа z = x + yi, а число y мнимой его частью. Пишут Rez = x, Imz = y.

Число z¯ = x − iy называется сопряжённым комплексному числу z = x+yi. Сопряжённые числа z и z¯ изображаются точками, симмет-

ричными относительно вещественной оси. Из определения умножения комплексных чисел следует, что z · z¯ = x2 + y2. Действительное

Легко показать, что

10