vm3

Решение. После замены xm = y, x = y1/m, dx = m y(1−m)/mdy

-функцию можно определить на всей комплексной плоскости с

∞

помощью равенства (z) = R xz−1e−xdx. Определённая таким обра-

0

зом функция (z) аналитична на всей комплексной плоскости, кроме точек 0, −1, −2, . . . , −n, . . ., где она имеет простые полюсы.

5.5. Функции Бесселя

В подразделе 5.4 мы познакомились с - и B-функциями, являю-

щимися неэлементарными, определяемыми интегралами, зависящими от параметра. Многие важные для приложений классы неэлементарных (специальных) функций описываются дифференциальными уравнениями и выражаются в виде суммы степенного ряда. С одним из таких классов, классом цилиндрических функций, мы познакомимся в этом разделе, который можно рассматривать как приложение степенных рядов к решению дифференциальных уравнений (см. п. 3.5.4).

5.5.1. Общее решение уравнения Бесселя

Уравнение вида

где ν константа, называется уравнением Бесселя порядка ν, а любое его решение называется цилиндрической функцией или функцией Бесселя.

121

Будем искать решение уравнения (5.21) в виде обобщённого степенного ряда вида

зультате подстановки значений y, y′, y′′ в уравнение (5.21) получаем

(5.23) получаем a1 = a3 = · · · = a2m+1 = 0, m = 0, 1, 2, . . .. Найденная в виде ряда (5.22) функция y(x) обозначается Jν и называется

122

функцией Бесселя первого рода положительного порядка. Имеем

Функция J−ν называется функцией Бесселя первого рода отрицательного порядка. Ряды (5.24) и (5.25) сходятся на всей числовой

оси, но если находиться только в области вещественных чисел, то следует считать x > 0, так как при некоторых значениях ν вели-

нецелых ν общее решение уравнения (5.21) можно записать в виде

yν (x) = c1Jν + c2J−ν . Функции Jn и J−n определим по непрерывности, переходя в (5.24) и (5.25) к пределу при ν → n. При этом

J−n = (−1) Jn. Функции Jn и J−n являются решениями уравнения Бесселя, но линейно зависимыми. В этом случае, т.е. если ν натурально, вторым частным решением принимают функцию Неймана

вид yn(x) = c1Jn(x) + c2Nn(x). Функции Бесселя можно аналитиче-

ски продолжить на всю комплексную плоскость.

123

рой формулой в (5.30), можно все функции Бесселя целого по-

124

Учитывая, что m!2m[1 · 3 · 5 · · · · · (2m + 1)] = (2m + 1)!, получаем

Выражения для функций Jn+1/2 и J−(n+1/2) можно получить, применяя операции x1 dxd по формулам (5.26) и (5.27) к (5.31) и (5.32).

Как видим, функции Jn+1/2 и J−(n+1/2) являются функциями

элементарными.

5.5.4. Асимптотический порядок цилиндрических функций

Из (5.31) и (5.32) следует, что J1/2(x) → 0, J−1/2(x) → 0 при x → ∞. Это справедливо и для любой цилиндрической функции.

Теорема 5.9. Любая вещественная цилиндрическая функция

1

малости которых при x → ∞ не ниже величины x3/2 .

Теорему примем без доказательства.

Первое слагаемое в (5.33) называется главным членом асимпто-

тического разложения цилиндрической функции.

Теорема 5.10. Любая цилиндрическая функция однозначно опре-

деляется главным членом её асимптотического разложения. Доказательство. Предположим, что имеется две различные ци-

125

гда их разность y¯ν − yˆν также цилиндрическая функция, причём

Таким образом, по виду главного члена асимптотического разложения можно проводить классификацию цилиндрических функций.

Цилиндрическую функцию, имеющую главный член асимптоти-

приводящее к подобному соотношению между главными членами асимптотического разложения, входящими в (5.34) цилиндрических функций, из которого легко определить константы c1 и c2:

Будем считать, что ν > −1. Тогда, интегрируя (5.35) в пределах от 0 до x, получаем

126

(Учтено, что Jν+1(0) = 0 при ν + 1 > 0.) Применим формулу (5.36) m раз последовательно. Найдём

влетворяет уравнению Бесселя при ν = n, n = 0, 1, 2, . . ., причём тем же начальным условиям, что и функция Jn(x). По теореме существования и единственности заключаем, что yn = Jn(x), т.е.

Формулой (5.37) функции Бесселя с целым индексом выражены интегралом, зависящим от параметра.

127

6. Ряды Фурье

В курсе линейной алгебры и аналитической геометрии мы видели, что решение многих задач значительно упрощается благодаря удачному выбору координатного базиса. Этот же приём используется и в бесконечномерных функциональных пространствах при разложении функций в ряд, когда в качестве базисной системы функций используется наиболее приспособленная для решения данного класса задач. В этом разделе вводится понятие ортогональной системы функций, обобщающее понятие ортогонального базиса n-мерного ев-

клидова пространства на бесконечномерный случай и изучаются ряды по ортогональным системам.

6.1. Ортогональные системы функций

отличных от тождественного нуля, и некоторое множество M функций, определённых также на (a, b). Будем говорить, что последовательность (6.1) образует базис во множестве M , если любая функция f (x) M может быть представлена в виде

n=0

где cn некоторые константы относительно x. Например, изучая ряды Тейлора, мы показали, что функции 1, x, x2, . . . , xn, . . . образу-

ют базис для некоторого подкласса бесконечно дифференцируемых f (n)(0) .

n!

Если имеет место (6.2), то говорят, что функция f (x) разложена по базису (6.1). Числа cn можно назвать координатами функции f (x) относительно базиса {ϕn(x)}. Здесь мы имеем почти полную ана-

логию с линейной алгеброй. В этом разделе некоторые понятия линейной алгебры мы распространим на бесконечномерные линейные пространства, каковыми являются многие классы функций, например, очень важный для приложений класс C′ кусочно-непрерывных на [a, b] функций.

Функция f (x) называется кусочно-непрерывной на [a, b], если она

непрерывна на этом отрезке, за исключением конечного числа точек, где может иметь разрывы первого рода. Класс C′ содержит множество C непрерывных функций.

128

6.1.2. Скалярное произведение функций. Норма функций. Ортогональность

Пусть f1(x) и f2(x) любые две функции из C′.

Определение 1. Скалярным произведением функций f1(x) и f2(x)

из C′ на промежутке [a, b] называется число, обозначаемое (f1, f2) и

определяемое равенством

Очевидно, что скалярное произведение, введённое равенством (6.3), обладает свойствами:

= 0 следует, что f1(x) ≡ 0 на [a, b].

Опираясь на понятие скалярного произведения, в пространстве функций C′ можно ввести и другие геометрические понятия.

Определение 2. Две функции f1(x) и f2(x) из C′ называются ор-

b

R

тогональными на [a, b], если (f1, f2) = f1(x)f2(x)dx = 0.

a

Заметим, что ортогональность функций зависит от рассматриваемого промежутка, т.е. функции, ортогональные на одном промежутке, могут быть неортогональными на другом.

Определение 3. Нормой функции f (x) (обозначается ||f (x)||) на-

s

Определение 4. Система функций ϕ0(x), ϕ1(x), . . . , ϕn(x), . . . называется ортогональной на [a, b], если (ϕi(x), ϕj (x)) = 0, i 6= j, и (ϕi(x), ϕi(x)) > 0, т.е. если они все попарно ортогональны:

b

R

ϕi(x)ϕj (x)dx = 0, i =6 j.

a

Пример 6.1. Доказать, что система функций sin πx, sin 2πx, . . ., sin nπx, . . . ортогональна на (0,1). Найти норму этих функций.

129

Базис будем называть ортогональным, если он состоит из ортого-

нальной системы функций, имеющих норму, отличную от нуля. От произвольного базиса можно перейти к ортогональному, применяя процесс ортогонализации, известный из линейной алгебры.

Базис называется ортонормированным, если он ортогональный,

а нормы всех входящих в него функций равны единице.

При решении некоторых задач вводят скалярное произведение в более общем виде.

Пусть ρ(x) > 0 некоторая фиксированная функция из C′ и f1(x) и f2(x) любые две функции из этого множества. Скалярным произведением с весом ρ(x) функций f1(x) и f2(x) называется число

a

Исходя из (6.4), можно определить понятие ортогональности двух функций и нормы функций с весом ρ(x).

Класс функций C′, в котором введено понятие скалярного произведения по формулам (6.3) или (6.4), будем обозначать через L′2 (L′2 есть некоторый подкласс класса L2 всех интегрируемых на [a, b]

вместе со своим квадратом функций, причём интеграл понимается в смысле Лебега, более общем по сравнению с интегралом Римана).

6.1.3. Основная тригонометрическая система функций

называется основной тригонометрической системой.

130