5.4. Рекурсивные выражения

Проблема рекурсивных функций в -исчислении, где функции не имеют имени: необходимо придумать метод, позволяющий функциям вызывать себя не по имени, а каким-то другим образом.

Представим рекурсивную функцию как функцию, имеющуюе себя в качестве аргумента. В этом случае функция может оказаться связанной с одной из её собственных переменных и будет, таким образом, содержать в своем теле ссылки на самое себя.

Рассмотрим, например, рекурсивную функцию sum, определенную на языке Лисп следующим образом:

(defun sum (n)

(if (= n 0) 0 (+ n (sum (1- n))))

)

Это выражение может быть представлено в виде -абстракции, имеющей дополнительный параметр, который при применении этой абстракции связывается с самой функцией. Мы запишем эту промежуточную версию функции sum:

sum = s . n . IF (= 0 n) 0 (+ n (s (1- n)))

Все, что нам осталось сделать теперь, - это связать переменную s со значением функции sum, которую пытаемся определить. Это можно сделать, использовав специальную функцию, называемую Y-комбинатором, которая удовлетворяет следующему уравнению:

Y f = f (Y f)

Y также известен как комбинатор неподвижной точки. “Неподвижная точка” функции f - это выражение, которое не изменяется при применении к нему функции f. (Заметим, что функция может иметь несколько неподвижных точек. Например, функция тождества x . x, имеет бесконечное их число.) Выражение Y f дает наименьшую неподвижную точку функции f .

Y sum

= Y(s . n . IF (= 0 n) 0 (+ n (s (1- n))))

 (s . n . IF (= 0 n) 0 (+ n (s (1- n)))) (Y sum)

 n . IF (= 0 n) 0 (+ n ((Y sum) (1- n)))

 n . IF (= 0 n) 0

(+ n ((m . IF (= 0 m) 0 (+ m ((Y sum) (1- m))))

(1- n))))

Данное выражение ведет себя точно так же, как исходное рекурсивное определение sum. Внутреннее вхождение Y sum конструирует копию исходной функции sum, помещая само себя (т. е. Y sum) вместо s в тело копии.

Таким образом, функция sum выражается в -исчислении в виде

Y(s . n . IF (= 0 n) 0 (+ n (s (1- n))))

Проверим:

(Y(s . n . IF (= 0 n) 0 (+ n (s (1- n))))) 1

 n . IF (= 0 n) 0 (+ n ((Y(s . n . IF (= 0 n) 0 (+ n (s (1- n)))))

(1- n))) 1

 IF (= 0 1) 0 (+ 1 ((Y(s . n . IF (= 0 n) 0 (+ n (s (1- n)))))

(1- 1)))

 (+ 1 ((Y(s . n . IF (= 0 n) 0 (+ n (s (1- n))))) 0))

 (+ 1 (n . IF (= 0 n) 0

(+ n ((Y(s . n . ...))))) 0)

 (+ 1 (IF (= 0 0) 0 (+ 0 ((Y (s . n . ...))))))

 (+ 1 0)

 1

В общем случае рекурсивная функция f с телом, задаваемым выражением E, записывается в -исчислении в виде Y (f . E).

Определение Y

Y = h . (x . h ( x x)) (x . h (x x))

Проверим:

Yf=

(h . (x . h ( x x)) (x . h (x x))) f

 (x . f ( x x)) (x . f (x x))

 f ((x . f (x x)) (x . f (x x)) )

 f (Y f)

5.5. Чистое -исчисление

Удалив константы и -правила, мы получаем чистое -исчисление. В нем можно выразить любые константы и функции.

Булевы константы и условное выражение

TRUE = x . y . x TRUE A B  A

FALSE = x . y . y FALSE A B  B

IF = p . q . r . p q r

IF TRUE A B =

(p . q . r . p q r) ( x . y . x) A B

 (q . r . ( x . y . x) q r ) A B

 (q . r . (y . q) r ) A B

 (q . r . q ) A B

 (r . A ) B

 A

Конструктор списков и функции-селекторы. Определим список как выражение CONS A B, где

CONS = h . t . s s h t

FIRST = L . L TRUE

REST = L . L FALSE

FIRST ( CONS A B) =

(L . L TRUE) ( CONS A B)

 ( CONS A B) TRUE

 ((h . t . s s h t) A B ) TRUE

 ((t . s s A t) B ) TRUE

 (s s A B) TRUE

 TRUE A B

= (x . y . x) A B

 y . A B

 A

Натуральные числа. Натуральное число n часто представляется термом n -кратной композиции (обозначение x^n(y) служит сокращением для x(x(...(xy)...)), x повторяется раз).

Для каждого натурального числа n положим

<0> = x . y . y, <n> = x . y . x^n (y)

Тогда сложение чисел определяется ламбда-выражением

+ x y = p . q . x p (y p q)

Проверим, что определение удачно.

+ 1 1 = p . q . <1> p (<1> p q)

= p . (q . ((x . y . x y) p ((x . y . x y) p q)))

 p . (q . ((x . y . x y) p p q))

 p . (q . (p p q))

= <2>