5. Математические основы: -исчисление

-исчисление было использовано как средство для описания (чисто синтаксического) свойств математических функций и эффективной обработки их в качестве правил. Функциональные программы построены из “чистых” функций, т. е. функций в математическом смысле, и поэтому нотация -исчисления особенно удобна для формального описания манипулирования функциями и даже в качестве промежуточного кода, в который можно транслировать исходную программу. В действительности функциональные языки программирования часто представляют собой “улучшенные” версии нотации -исчисления в том смысле, что все функциональные программы можно преобразовать в эквивалентные -выражения. Хотя нотация -исчисления проста, она является достаточно мощной, чтобы описать все черты исходного функционального языка.

5. 1. Введение в синтаксис

-исчисление можно рассматривать как язык программирования, хотя оно было создано (Чёрч) в 20-х годах нашего века в период философских исследований в области оснований математики. Главная особенность заключается в том, что оно является языком высшего порядка, т. е. в нём имеются средства описания функций, входные и выходные значения которых также могут быть функциями. Кроме того, оно основано не на концепции множества, как многие другие математические языки, а на понятии функции.

Работая в направлении автоматизации значительной части математического и логического интеллекта, программисты-теоретики сталкиваются с теми же проблемами над которыми логики ломают голову уже 80 лет (например, что такое математическое мышление и как его формализовать?). Поэтому их исследования могут служить полезным источником для программистов.

Два подхода к функциям

1. Дирихле: функция задается графиком - множеством пар < аргумент, значение>.

2. Функция – правило, вычислительное предписание.

С первой точки зрения x^2-4 и (x+2)*(x-2) - разные обозначения одной и той же функции; со второй точки зрения – это разные функции.

Обычная запись f(x) может обозначать как обозначение функции, так и вызов функции с аргументом x. Для более строгого подхода это необходимо различать. Для этого вводятся ламбда-обозначения.

Например, x^2+3 - некоторая функция, зависящая от x. Ламбда-обозначение для этой функции x . x^2+3 . Этой записи соответствует правило:

для любого a (x . x^2 +3) (a) = a^2+3

Выражение x + 2y можно считать как функцию от x (записывается x. x +2y ) и как функцию от y (записывается y. x +2y).

(x. x +2y ) a  a+2y

(y. x +2y ) a  x+2a

Запись y.x.E понимается как y.(x. E). Поэтому

((y.x. x+2y) a) b  (x. x+2a) b  b+2a

((x.y. x+2y) a) b  (y. a+2y) b  a+2b

Мы читаем символ  как “функция от” и точку (.) как “которая возвращает”.

Определение -термов

• Каждая переменная есть -терм.

• Каждая константа есть -терм.

• По любым -термам M и N можно построить новый -терм (M N) (обозначающий применение, или аппликацию, оператора M к аргументу N).

• По любой переменной x и любому -терму M можно построить новый -терм ( x.M ) (обозначающий функцию от x, определяемую -термом M). Такая конструкция называется -абстракция.

Попросту говоря, -исчисление - это исчисление анонимных (безымянных) функций.

Символ x после  называется связанной переменной абстракции и соответствует понятию формального параметра в традиционной процедуре или функции. Выражение справа от точки называется телом абстракции, и, подобно коду традиционной процедуры или функции, оно описывает, что нужно сделать с параметром, поступившим на вход функции.

Тело абстракции может быть любым допустимым -выражением, и поэтому оно также может содержать другую абстракцию, например:

x . y . (x+y)*2

Это выражение читается как “функция от x, которая возвращает функцию от y, которая возвращает (x+y)*2.

Используется соглашение:

запись (...(((x1 . x2 . ... xn . E) a1) a2) ...an)

кратко пишется как (x1 . x2 . ... xn . E) a1 a2 ...an

Для полноты опишем ламбда-нотацию более формально в виде БНФ:

<выражение> ::= <идентификатор> . <выражение> |

<идентификатор> |

<выражение> <выражение> |

(<выражение>) |

<константа>

Набор констант произволен: целые числа, булевы константы, арифметические операции, булевы функции и т. п.