Мера различий: Метрики (расстояния)
Метрики, не определяемые нормой
Редакционным предписанием называется последовательность действий, необходимых для получения из первой строки второй кратчайшим образом.
Обычно действия обозначаются так: D (delete) — удалить, I (insert) — вставить, R (replace) — заменить, M (match) — совпадение.
Например, для 2-х строк «CONNECT» и «CONEHEAD» можно построить следующую таблицу преобразований:
M M M R R R R I
C O N N E C T
C O N E H E A D
Цены операций могут зависеть от вида операции (вставка, удаление, замена) и/или от участвующих в ней символов, отражая разную вероятность мутаций в биологии, разную вероятность разных ошибок при вводе текста и т. д. В общем случае:
w(a, b) — цена замены символа a на символ b w(ε, b) — цена вставки символа b
w(a, ε) — цена удаления символа a
Меры сходства
Коэффициент сходства — безразмерный показатель, применяемый для
количественного определения степени сходства объектов (данных). Большинство коэффициентов нормированы и находятся в диапазоне от 0
(сходство отстутствует) до 1 (полное сходство).
Теоретико-множественные меры сходства
Наиболее простым коэффициентом сходства является мера абсолютного сходства, которая является числом общих элементов (признаков) двух
сравниваемых объектов:
Коэффициент сходства Жаккара:
или |
. |
A |
|
|
B |
Меры включения
Это несимметричные меры, которые показывают степень сходства (включения) одного объекта относительно другого:
меры включения Сёренсена
меры включения Жаккара |
. |
Меры сходства на основе скалярного произведения
Скалярное произведение — операция над двумя векторами, результатом которой является число (скаляр), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними.
Данной операции соответствует умножение длины данного вектора x на проекцию другого вектора y на данный вектор x.
Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.
Обычно используется одно из следующих обозначений:
или (обозначение Дирака, часто применяемое в квантовой механике для векторов состояния):
. 
Обычно предполагается что скалярное
произведение положительно определено, то есть для всех .
A • B = |A| |B| cos(θ)
Меры сходства на основе скалярного произведения
Неравенство Коши — Буняковского
Нормированная линейная корреляция
Нормированный коэффициент линейной корреляции:
KN(A,B) = |
|
A,B |
|
|
||
|| A || || B || |
|
|
||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|| A || = A,A ; |
|| B || = B,B |
A • B = |A| |B| cos(θ) |
|
|
Нормированная линейная корреляция
Нормированный коэффициент линейной корреляции функций
KN(f - f0,g - g0) = f - f0,g - g0 / (|| f - f0 || || g - g0 ||)
есть скалярное произведение нормированных центрированных функций:
|
f*(x) = (f(x) - f0) / || f(x) - f0 ||, |
|
Функции имеют |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
g*(x) = (g(x) - g0) / || g(x) - g0 ||, |
существенные различия |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
KN(f*,g*) = (f*,g*). |
|
|
|
|
g(x) = a + bf(x) |
|
f(x), g(x) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
f(x) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нормированная линейная корреляция
Нормированный коэффициент линейной корреляции функций
KN(f - f0,g - g0) = f - f0,g - g0 / (|| f - f0 || || g - g0 ||)
есть скалярное произведение нормированных центрированных
|
функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Центрированные и нормированные |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f*(x) = (f(x) - f0) / || f(x) - f0 ||, |
|
|
|
|
|
|
|
функции совпадают |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
g*(x) = (g(x) - g0) / || g(x) - g0 ||, |
|
|
|
|
|
|
|
|
f*(x), g*(x) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
KN(f*,g*) = (f*,g*). |
|
|
|
|
g(x) = a + bf(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Меры сходства и меры различия
Нормированный коэффициент линейной корреляции
KN(f - f0,g - g0) = (f - f0,g - g0) / (|| f - f0 || || g - g0 ||)
есть скалярное произведение нормированных центрированных изображений:
f*(x,y) = (f(x,y) - f0) / || f(x,y) - f0 ||, g*(x,y) = (g(x,y) - g0) / || g(x,y) - g0 ||, KN(f*,g*) = (f*,g*).
Метрика точек на единичной окружности (т.е. на сфере S1) есть метрика нормированных центрированных изображений, имеющая смысл угла (длины дуги единичной окружности) между ними. Значит, между метрикой и коэффициентом корреляции имеется элементарное монотонное (на полуокружности) соотношение:
d(F,G) = f* g*,
KN(f,g) = cos(f g) = cos(d(F,G)).
Меры сходства и меры различия
| KN(f,g) | = | cos(f g) | = | cos( d(F,G) ) |, откуда следует
неравенство треугольника для коэффициентов корреляции:
| KN(f,g) | KN(f,w) KN(w,g) – (1 – K2N(f,w)) (1 – K2N(w,g)), поскольку
cos(a + b) = cos(a) cos(b) – sin(a) sin(b), sin(a) = (1 – cos2(a)).
Пример. Если
KN(f,w) = KN(w,g) = 1/ 2 = 0,707…,
то корреляция двух крайних изображений между собой может оказаться даже нулевой:
| KN(f,g) | 0.
Это объясняет многие известные примеры «плохого» поведения теоретически «хороших» мер сходства на реальных данных.