Преобразования и эквивалентность
2D-преобразования: аффинные преобразования
Класс параллелограммов |
Класс эллипсов |
Преобразования и эквивалентность
2D-преобразования: проективные преобразования
Класс выпуклых четырехугольников |
Класс эллипсов |
Преобразования и инварианты
Инвариант — это свойство некоторого класса (множества) математических объектов, остающееся неизменным при преобразованиях определённого типа.
Концепция инварианта является одной из важнейших в математике, поскольку изучение инварианта непосредственно связано с задачами классификации объектов того или иного типа. По существу, целью всякой математической классификации является построение некоторой полной системы инвариантов (по возможности, наиболее простой), то есть такой системы, которая разделяет любые два неэквивалентных объекта из рассматриваемой совокупности.
Признаковое описание изображений
Геометрическое описание выделенных областей
Часто используемые признаки:
•площадь образа;
•положение центра тяжести образа;
•положение центра тяжести образа, рассматриваемого как бинарный;
•периметр образа;
•отношение квадрата периметра к площади образа;
•формат;
•компактность;
•периметр и площадь описанного прямоугольника минимальной площади;
•отношение площади описанного прямоугольника к площади образа;
•отношение квадрата периметра описанного прямоугольника к его площади;
•формат описанного прямоугольника;
•относительные длина и ширина образа.
Признаковое описание изображений
Геометрическое описание выделенных областей
Координаты центра тяжести образа рассчитываются через статические моменты:
что для бинарной фигуры имеет вид:
а для полутонового изображения
|
|
xc |
B(x, y)xdx |
B(x, y)dxdy ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yc |
B(x, y)ydy |
B(x, y)dxdy ; |
|
|
|
|
|
|
|
x xcb S ;
y ycb S ;
xB(x, y)
xc1 |
B(x, y) ; |
|
|
|
|
|
|
|
yc1 |
|
yB(x, y) |
B(x, y) |
||
|
|
|
|
|
|
Признаковое описание изображений
Геометрическое описание выделенных областей
Для вычисления значения признака F (формата) по контурным точкам образа строится матрица рассеяния
где |
S pq (xi |
xc)p(yj yc)q |
|||||
|
|
i j |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
и находятся собственные числа этой матрицы |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
S |
S |
|
S20 S02 |
2 |
|
|
|
20 2 |
|
02 |
4 |
S112 |
|
ESS20
11
Для определения ориентации находятся собственные |
|
|
|||||||
векторы матрицы рассеяния: |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
S20 |
|
S11 |
|
0; |
|||||
S |
x |
||||||||
|
S |
11 |
|
02 |
|
y |
|
||
|
|
|
|
i |
|
|
|||
Чтобы найти величины сторон описанного прямоугольника, ориентированного по собственным векторам, достаточно
определить проекции образа на эти векторы.
S11
S
02
Признаковое описание изображений
Геометрическое описание выделенных областей
Периметр и площадь минимального описанного прямоугольника рассчитываются по следующим формулам, где Т1 и Т2 - стороны описанного
прямоугольника:
Отношение площади описанного прямоугольника к площади образа рассчитывается по формуле:
Отношение квадрата периметра описанного прямоугольника к его площади рассчитывается по формуле:
Формат описанного прямоугольника:
Относительные длина и ширина:
P3 2(T1 T2);
Su T1T2
Z1 SSu
Z 2 P32
Su
F1 T1
T2
P4 P2 ;
T2
P5 P2
T1
Признаковое описание изображений
Топологические признаки (геометрические инварианты):
•число несвязных компонент (число отдельных объектов в составе образа);
•число дыр (есть ли дыры внутри объекта);
•число Эйлера (число объектов минус число дыр).
Топологические преобразования: тело нельзя
разрывать или склеивать, но можно бесконечно сжимать и растягивать (резиновые преобразования)
Гомеоморфность бублика и кружки
Эйлерова характеристика есть топологический инвариант
С
Множество A связно, множество B несвязно (в нем 4 объекта),
в множестве C 3 дыры.
Признаковое описание изображений
Инвариантные моменты
•моменты, инвариантные к смещению:
pq (xi xc )p(yj yc )q B(x, y), i j
где - образ в декартовой системе координат (x,y); B(x,y) - значение функции интенсивности (x,y);
xc, yc - координаты центра тяжести образа.
•моменты, инвариантные к изменению масштаба: pq |
|
pq |
|
|
||
|
|
|
ij |
|
||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
i j p q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
•моменты, инвариантные к повороту:
где a1 20 02; a2 30 3 12; a3 30 12; a4 3 21 03; a5 21 03
M1 02 20;
M2 a12 4 112
M3 a22 a42;
M4 a32 a52;
M 5 a2a3 a32 3a52 a4a5 3a32 a52 ;
M6 a1 a32 a52 4 11a3a5;
M7 a4a3 a52 3a32 a2a5 a32 a52 ;
Сопоставление данных как оценка степени связи и степени сходства
Сравнение (сопоставление) данных
Совпадение/Несовпадение Сходство/Различие
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Классы |
|
|
|
Инварианты |
|
|
|
Меры различия |
|
Меры сходства |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(метрики, |
|
|
(коэффициенты |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
эквивалентности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
расстояния) |
|
|
|
|
|
корреляции) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Описывают ли эти данные один и тот же объект (объекты одного класса)?
Статистические оценки степени связи
Метрические оценки степени сходства
Имеется ли связь между объектами, |
Насколько схожи/различны |
описываемыми этими данными, и |
объекты, описываемые этими |
насколько она сильна? |
данными? |