МЕТОДИЧКА ПО MAPLE и MATHCAD
.pdf111
Тригонометрические функции
sin(z) |
Возвращает синус |
cos(z) |
Возвращает косинус |
tan(z) |
Возвращает тангенс, z n* /2 |
csc(z) |
Возвращает 1/sin(z), z n* |
sec(z) |
Возвращает 1/cos(z), z n* /2 |
cot(z) |
Возвращает 1/tan(z), z n* |
Обратные тригонометрические функции |
|
asin(z) |
Возвращает угол (в радианах), чей синус - z |
acos(z) |
Возвращает угол (в радианах), чей косинус - z |
atan(z) |
Возвращает угол (в радианах), чей тангенс - z |
Гиперболические функции
Гиперболические функции sinh и cosh определяются формулами
sinh(z) exp(z) exp( z),
|
2 |
|
|
cosh(z) |
exp(z) exp( z) |
|
|
|
|||
sinh(z) |
2 |
|
|
|
Возвращает гиперболический синус |
||
cosh(z) |
|
Возвращает гиперболический косинус |
|
tanh(z) |
|
Возвращает гиперболический тангенс sinh(z)/cosh(z) |
|
csch(z) |
|
Возвращает гиперболический косеканс 1/sinh(z) |
|
sech(z) |
|
Возвращает гиперболический секанс 1/cosh(z) |
|
coth(z) |
|
Возвращает гиперболический котангенс 1/tanh(z) |
|
asinh(z) |
|
Возвращает число, чей гиперболический синус- z |
|
acosh(z) |
|
Возвращает число, чей гиперболический косинус- z |
|
atanh(z) |
|
Возвращает число, чей гиперболический тангенс- z |
|
Логарифмические и показательные функции |
|||
exp(z) |
Возвращает е в степени z |
||
ln(z) |
Возвращает натуральный логарифм z z 0 |
||
log(z) |
Возвращает логарифм по основанию 10 z 0 |
||
Функции Бесселя |
Функции Бесселя первого Jn(x) и второго рода Yn(x) порядка n, являются решениями для дифференциального уравнения
x2 |
d2 |
y x |
d |
y (x2 n2)y 0 |
dx2 |
|
|||
|
|
dx |
Модифицированные функции Бесселя первого In(x) и второго рода Kn(x) порядка n, являются решениями для дифференциального урав-
|
|
|
|
|
|
112 |
|
нения |
|
|
|
|
|
||
x2 |
d2 |
y x |
d |
y (x2 n2)y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
dx2 |
|
dx |
|
|
||
J0(x) |
Возвращает J0(x), |
x |
вещественный |
||||
J1(x) |
Возвращает J1(x), |
x |
вещественный |
||||
Jn(m,x) |
Возвращает Jm(x), x |
вещественный 0 m 100 |
|||||
Y0(x) |
Возвращает Y0(x), |
x |
вещественный |
||||
Y1(x) |
Возвращает Y1(x), |
x |
вещественный |
||||
Yn(m.x) |
Возвращает Ym(x), x>0 |
вещественный 0 m 100 |
|||||
I0(x) |
Возвращает I0(x), |
x |
вещественный |
||||
I1(x) |
Возвращает I1(x), |
x |
вещественный |
||||
In(m,x) |
Возвращает Im(x) |
x |
вещественный 0 m 100 |
||||
K0(x) |
Возвращает K0(x), x>0 |
вещественный |
|||||
K1(x) |
Возвращает K1(x), |
x>0 |
вещественный |
||||
Kn(m,x) |
Возвращает Km(x), x>0 |
вещественный 0 m 100 |
|||||
Функции усечения и округления |
|||||||
floor(x) |
|
Возвращает наибольшее целое число x, x вещественно |
|||||
ceil(x) |
|
Возвращает наименьшее целое число x, x вещественно |
mod(x,y) Возвращает остаток о деления x на y. Результат имеет тот же знак, что и x.
Функции дискретного, быстрого преобразования Фурье
Преобразование Фурье в вещественной области
Для вещественного вектора с 2m элементами можно применять пару функций fft / ifft .
fft(x) - возвращает дискретное преобразование Фурье 2m- мерного вектора x.
ifft(x) - возвращает обратное дискретное преобразование Фурье.
Преобразование Фурье в комплексной области
cfft(A) - возвращает дискретное преобразование Фурье комплексных вектора или матрицы. Возвращаемый массив имеет ту же размерность, что и массив аргумента А.
icfft(A) - возвращает обратное дискретное преобразование Фурье. Возвращаемый массив имеет ту же размерность, что и массив аргумента А.
Примечание:
Если в Вашей программе нумерация элементов вектора (матрицы) начинается с 1, а не c нуля, то необходимо переопределить значение предопределенной переменно ORIGIN задав ей значение 1.
113
Функции сортировки
sort(x) Возвращает элементы вектора x, отсортированные в порядке возрастания
csort(A,n) Сортирует строки матрицы А таким образом, чтобы расположить элементы в столбце n в порядке возрастания
rsort(A,n) Сортирует столбцы матрицы А таким образом, чтобы расположить элементы в строке n в порядке возрастания
reverse(A) Обращает порядок элементов вектора или строк матрицы
Статистические функции
mean(A) Возвращает среднее значение элементов массива А размерности n m согласно формуле
|
|
|
|
1 |
n |
m |
|
mean(A) |
Ai, j |
||||
|
|
|||||
|
|
|
|
nm i 0 |
j 0 |
|
me- |
Возвращает медиану массива А |
|||||
dian(A) |
|
|
|
|
|
|
var(A) |
Возвращает дисперсию элементов массива |
|||||
|
А размерности n m согласно формуле |
|||||
|
|
1 |
n m |
|
||
|
var(A) |
Ai,j |
mean(A) 2 |
|||
|
nm |
|||||
|
|
i 0j 0 |
|
|||
|
|
|
|
|||
stdev(A) |
Возвращает среднеквадратическое откло- |
|||||
|
нение |
|
|
|
|
stdev(A) var(A)
corr(A,B) Возвращает коэффициент корреляции двух массивов А и В
cvar(A,B) Возвращает ковариацию элементов массивов А и В размерности n m согласно формуле
|
1 |
n |
m |
|
сvar(A) |
Ai, j mean(A) Bi, j mean(B) |
|||
nm |
||||
|
i |
0j 0 |
||
|
|
Функции распределения
Эти функции возвращают вероятности того, что случайная величина меньше или равна определенному значению
pbeta(x,s1,s2) Возвращает функцию бета - распределе-
114
ния с параметрами s1,s2>0
pchisq(x,d) Возвращает функцию распределения хиквадрат, в которой d>0 число степеней свободы
pexp(x,r) Возвращает функцию экспоненциального распределения r>0
pF(x,d1,d2) Возвращает функцию F- распределения d1,d2>0 - числа степеней свободы
pnorm(x,m,s) Возвращает функцию нормального распределения со средним m и среднеквадратическим отклонением s
pt(x,d) Возвращает функцию распределения Стьюдента d>0 -число степеней свободы pcauchy(x,l,s) Возвращает функцию распределения Ко-
ши l,s>0
Случайные числа
rbeta(n,s1,s2) Возвращает вектор n случайных чисел имеющих бетараспределение s1,s2>0 Возвращает вектор n случайных чисел имеющих хи-квадрат распределение d>0 Возвращает вектор n случайных чисел имеющих экспоненциальное распределение r>0
Возвращает вектор n случайных чисел имеющих F- распределение d1,d2>0 Возвращает вектор n случайных чисел имеющих нормальное распределение со средним m и среднеквадратическим отклонением s
Возвращает вектор n случайных чисел имеющих распределение Стьюдента d>0 Возвращает случайное число, равномерно распределенное на интервале [0,x] Возвращает вектор n случайных чисел имеющих распределение Коши l,s>0
Векторы и матрицы
По определению вектор есть столбец, а матрица таблица составленные из упорядоченной последовательности чисел, следовательно, элементы вектора или матрицы можно рассматривать, как функции
115
дискретных аргументов задающих его положение в столбце или таблице. Примечание:
Mathcad нумерует, по умолчанию элементы векторов и матриц начиная с нуля. Если нумерация элементов вектора или матрицы в Вашей программе начинается с 1, то необходимо переопределить значение предопределенной переменно ORIGIN задам ей значение 1.
Определение дискретного аргумента
Чтобы задать дискретный аргумент следует набрать его имя и затем присвоить ему с помощью знака := (для чего после имени дискретного аргумента следует набрать двоеточие) диапазон его значений. В простейшем случае, когда дискретный аргумент меняется с шагом 1 (как в случае вектора или матрицы) задать диапазон значений можно следующим образом:
набрать первое значение диапазона,набрать знак точка с запятой (;).набрать последнее значение диапазона,
в результате выполнения указанной последовательности операций на экране должна появиться запись подобная одной из следующих
i:=0..9, j:=9..1, k:=-9..0, l:=0..-9 start:=1 end:=10 ii:=start..end.
Если шаг дискретного аргумента отличен от единицы, то его область значений можно задать следующим образом:
набрать первое значение диапазона,набрать знак запятая,набрать второе значение диапазона,набрать знак точка с запятой,
набрать последнее значение диапазона, в результате выполнения указанной последовательности операций на
экране должна появиться запись подобная одной из следующих i:=0,1.23..12.3, j:=10,9.3..0.2
start:=1 step:=0.23 end:=3.3 i:=start,start+step..end
Создание вектора и матрицы
Вектор или матрицу можно создать следующими способами:заполнив массив пустых полей,с помощью дискретного аргумента
считыванием массива из файла данных.
Для того чтобы создать вектор или матрицу посредством запол-
116
нения пустых полей необходимо выполнить следующую последовательность операций:
набрать имя вектора или матрицы,набрать знак присвоение (;),войти в меню Insert, подменю Matrix
и набрать в окошке Rows число строк матрицы, а в окошке Columns - число столбцов, после чего следует нажать кнопку Create. При создании вектора в окошке Columns следует ввести 1.
Альтернативный способ создания:
нажмите иконку с изображением матрицы , после чего появится палитра матричных и векторных операций,
в палитре операций нажмите кнопку с изображением матрицы, после чего появится подменю Insert Matrix.
В результате выполнения указанной последовательности операций на экране должно появиться изображение подобное одному из следующих
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||||
M |
: |
|
|
|
|
|
, |
x: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
введя, в соответствующие места внутри скобок численные значения для элементов матрицы получим, например
|
1 |
2 |
21. |
05. |
|
|
|
|
1 |
||
|
|
32. |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
M: |
|
072. |
, |
x:= |
|
|
|||||
|
6 |
1 |
083. |
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
21. |
|||||
|
|
1 |
0 |
12. |
|
|
|
|
|||
|
24. |
|
|
|
|
3 |
117
Для того, что бы создать матрицу или вектор с помощью дискретного аргумента необходимо выполнить следующие операции:
задать дискретные аргументы (для вектора один, для матрицы
два),
набрать имя элемента матрицы (вектора) (он совпадает с именем матрицы (вектора)) нажать клавишу ( [ ) (открывающая прямоугольная скобка) и набрать номер строки (для вектора) или через запятую номер строки и столбца для матрицы,
набрать знак присвоения ( ; ),набрать числовое значение соответствующее данному элемен-
ту матрицы (вектора).
В результате выполнения указанной последовательности операций на экране должна появиться запись подобная одной из следующих
i:1..10
j:1..10
M1,1: 1 M1,2: 2 |
x1: 1 |
x2: 0 ....... |
.......................... |
|
|
Примечание:
Данный способ задания матрицы (вектора) следует использовать в том случае, когда численные значения матрицы (вектора) можно задать с помощью функции зависящей от дискретного аргумента, например
i: 1..10j : 1..10
hx := 0.1 hy := 0.2
f(x,y):= sin(x+ y) Mi,j : f(hx i,hy j),
где f(x,y)- любая допустимая в Mathcad функция.
Векторные и матричные операторы
Введем обозначения |
|
|
||
А, В матрицы, |
|
|
||
М |
квадратная матрица, |
|
||
x, y |
векторы, |
|
|
|
z |
скаляр |
|
|
|
Операция |
Обо- |
Кла- |
Описание |
|
|
|
зна- |
виши |
|
Умножение |
чение |
* |
Умножает каждый эле- |
|
|
||||
|
|
A z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
118 |
|
|
|
|
|
матрицы |
на |
|
|
|
|
мент А на скаляр |
|
|
||||
скаляр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Скалярное |
x y |
* |
Возвращает xi yi. Век- |
|||||||||
произведение |
|
|
|
|
торы должны быть од- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
ной размерности |
|
|
|||
Умножение |
A B |
* |
Возвращает |
произведе- |
||||||||
матриц |
|
|
|
|
|
|
ние |
матриц. |
Число |
|||
|
|
|
|
|
|
|
столбцов А должно быть |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
равно числу строк В |
|
||||
Умножение |
|
|
* |
Возвращает |
произведе- |
|||||||
матрицы |
на |
A x |
|
ние матрицы на вектор. |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||
вектор |
|
|
|
|
|
|
Результат - вектор. Чис- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
ло столбцов матрицы А |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
должно совпадать с раз- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
мерностью вектора |
|
||||
Деление мат- |
|
A |
/ |
Делит |
каждый |
элемент |
||||||
рицы на ска- |
|
|
|
матрицы на скаляр z. |
||||||||
|
z |
|
|
|||||||||
ляр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сложение |
A+B |
|
Складывает |
(вычитает) |
||||||||
(вычитание) A-B |
|
одноименные |
элементы |
|||||||||
векторов |
|
|
|
|
|
матриц А и В. |
|
|
|
|||
(матриц) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Скалярная |
A+z |
+ |
Добавляет (вычитает) из |
|||||||||
сумма |
|
(раз- |
A-z |
- |
каждого |
элемента |
мат- |
|||||
ность) |
|
|
|
|
|
|
рицы скаляр z. |
|
|
|||
Изменение |
-A |
- |
Меняет знак перед каж- |
|||||||||
знака |
|
|
|
|
|
|
дым элементов матрицы |
|||||
|
|
|
Mn |
|
А. |
|
|
|
|
|
||
Степени мат- |
^ |
Возвращает n-ю степень |
||||||||||
рицы, |
обра- |
M-1 |
|
квадратной матрицы М, |
||||||||
щение |
|
мат- |
|
n - целое число. М-1- |
||||||||
рицы |
|
|
|
|
|
|
матрица |
обратная |
мат- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
рице М. |
|
|
|
|
|
Длина |
векто- |
|x| |
| |
Возвращает длину |
век- |
|||||||
ра |
|
|
|
|
|
|
тора х. Корень квадрат- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
ный из скалярного про- |
|||||
|
|
|
АT |
|
изведения хТ х |
|
|
|||||
Транспони- |
[Ctrl] 1 |
Возвращает |
транспони- |
|||||||||
рование |
мат- |
|
|
|
|
рованную матрицу |
|
|
|
|
119 |
|
рицы |
|
|
|
|
Определи- |
|М| |
| |
Возвращает |
определи- |
тель матрицы |
|
|
тель квадратной матри- |
|
|
|
|
цы М. |
|
Векторное |
x y |
[Ctrl] 8 |
Возвращает |
векторное |
произведение |
|
|
произведение для векто- |
|
|
|
|
ров с тремя элементами |
|
Комплексное |
A |
« |
Меняет знак |
мнимой |
сопряжение |
|
|
части каждого элемента |
|
|
|
|
на обратный |
|
Векторные и матричные функции |
|
|||
rows(A) |
Число строк в матрице А |
|
||
cols(A) |
Число столбцов в матрице А |
|
||
length(x) |
Число элементов в векторе х |
|
||
max(A) |
Максимальный элемент матрицы А |
|||
min(A) |
Минимальный элемент матрицы А |
|||
last(x) |
Индекс последнего элемента вектора х |
|||
identity(n) |
Создает единичную матрицу In n |
|
||
Re(A) |
Создает матрицу, элементы которой яв- |
|||
|
ляются |
вещественной частью |
элементов |
|
|
матрицы А |
|
|
|
Im(A) |
Создает матрицу, элементы которой яв- |
|||
|
ляются мнимой частью элементов матри- |
|||
|
цы А |
|
|
|
diag(x) |
Создает диагональную матрицу по диаго- |
|||
|
нали, которой лежит вектор х |
|
||
tr(M) |
Вычисляет трек (след) матрицы М |
|||
rank(A) |
Вычисляет ранг матрицы А. |
|
||
normi(M) |
Вычисляет норму матрицы М. |
|
||
cond2(M) |
Вычисляет коэффициент обусловленности |
|||
|
матрицы М. |
|
|
|
augment(A,B) |
Формирует матрицу, в которой матрицы |
|||
|
А, В расположены бок в бок. |
|
||
stack(A,B) |
Формирует матрицу, в которой матрицы А |
|||
|
расположены над матрицей В. |
|
||
subma- |
Создает матрицу, состоящую из строк с |
|||
trix(A,i_r,j_r,i |
номерами i_r, j_r |
и столбцов i_c, j_c мат- |
||
_c,j_c) |
рицы А. |
|
|
|
eigenvals(M) |
Вычисляет вектор, составленный из соб- |
120
ственных значений матрицы М eigenvecs(M) Вычисляет матрицу собственных векторов
матрицы М
cholesky(M) Создает нижнею треугольную матрицу Т такую, что М=Т*ТТ. Матрица М должна быть симметричной положительно определенной
qr(A) Создает матрицу, чьи первые n столбцов содержат ортогональную матрицу Е, а последующие столбцы содержат верхнею треугольную матрицу Т. Матрицы удовлетворяют соотношению А=Е Т. Матрица А, должна быть вещественной.
svd(A) Создает матрицу, содержащую две расположенные друг над другом матрицы U и V. Матрица U имеет размер n m, а матрица V размер m m. Матрицы U и V удовлетворяют разложению A=U diag(s) VT, где s - вектор сингулярных чисел матрицы А
svds(A) Вычисляет вектор сингулярных чисел вещественной матрицы А.
Логические функции Функция if
Синтаксис функции if
y:=if(проверяемое условие, результат1, результат2),
где проверяемое условие - любое выражение, принимающее два значения: 1 (истина) и 0 (ложь),
результат 1 - присваивается y, если проверяемое условие исти-
на,
результат 2 - присваивается y, если проверяемое условие ложно. Хотя проверяемое условие может быть любым выражением, принимающим значение 0 или 1, обычно в качестве проверяемых ус-
ловий используют следующие:
Усло- |
Способ |
Описание |
вие |
ввода |
|
А=D |
[Ctrl]= |
Булево равенство. Возвращает 1, если опе- |
|
|
ранды равны, в противном случае 0 |
x>y |
> |
Больше чем |
x<y |
< |
Меньше чем |