240 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных
Для элементарных областей определены интегралы по внешней стороне S+ их границы вида
P dy dz + Q dz dx + R dx dy
S+
и по внутренней стороне S− их границы вида
P dy dz + Q dz dx + R dx dy.
S−
Т е о р е м а 1. Если функции P = P (x, y, z), Q = Q(x, y, z) и R = = R(x, y, z) непрерывны вместе со своими частными производными
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂P |
, |
|
∂Q |
и |
∂R |
на замыкании |
|
элементарной области G, то имеет |
|
|
G |
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
∂z |
место формула |
|
|
|
|
|
∂P |
+ |
∂Q |
+ |
∂R |
dx dy dz = S+ P dy dz + Q dz dx + R dx dy, |
|
|
|
G |
∂x |
∂y |
∂z |
|
|
|
|
|
(48.19) |
где интеграл в правой части равенства берется по внешней стороне поверхности S, ограничивающей область G.
Формула (48.19) называется формулой Гаусса–Остроградского 1). С л е д с т в и е. Если при выполнении условий теоремы граница
области G кусочно-гладкая, то
|
|
∂P |
+ |
∂Q |
+ |
∂R |
dx dy dz = |
|
(P cos α + Q cos β + R cos γ) dS, |
G |
∂x |
∂y |
∂z |
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(48.20) |
где cos α, cos β и cos γ — направляющие косинусы внешней единичной нормали n к поверхности S (см. (48.16)). Введя обозначение
a = (P , Q, R), |
(48.21) |
формулу (48.20) можно записать в виде |
|
div a, dx dy dz = |
an dS. |
(48.22) |
G |
S |
|
Таким образом, интеграл по области от дивергенции векторного поля равен потоку этого поля в направлении внешней нормали через поверхность, ограничивающую область.
Рассмотрим одно из слагаемых подынтегральной функции в левой части равенства (48.19), например последнее. В силу того, что
1) К. Ф. Гаусс (1777–1855) — немецкий математик; М. В. Остроградский (1801–1861) — русский математик.
§ 48. Скалярные и векторные поля |
241 |
область G элементарна относительно оси Oz, кратный интеграл ∂R∂z dx dy dz можно заменить повторным. Сделав это и применив
G
формулу Ньютона–Лейбница, получим
|
∂R |
dx dy dz = |
'ψ(x,y) |
|
∂z |
G |
D ϕ(x,y) |
= |
[R(x |
, |
y |
, |
, |
y)) − R(x |
, |
y |
, |
, |
y))] dx dy |
= |
|
|
|
ψ(x |
|
|
ϕ(x |
(47.15) |
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(47.16) |
=R dx dy +
(47.15)
(47.16) S2
R dx dy + R dx dy = |
R dx dy. (48.23) |
S0 |
S+ |
Аналогичным образом доказываются равенства
|
∂P |
dx dy dz = |
|
P dy dz, |
∂Q |
dx dy dz = Q dz dx. |
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
∂y |
G |
S+ |
G |
|
S+ |
|
|
|
|
|
(48.24) |
Сложив равенства (48.23) и (48.24), получим формулу (48.19). Формула (48.20) в случае кусочно-гладкой границы элементарной
области G следует из формулы (48.19) и соотношения (47.7).
З а м е ч а н и е. Тем же методом, как это делалось на плоскости в случае формулы Грина, формулу Гаусса–Остроградского можно распространить на случай областей, которые разбиваются на конечное множество элементарных областей.
Формулу Гаусса–Остроградского можно доказать и для любой области с кусочно-гладкой границей, но это значительно сложнее.
48.3. Геометрическое определение дивергенции.
Т е о р е м а 2. Пусть a(M ) — непрерывно дифференцируемое в области G R3 векторное поле, M0 G, {D} — семейство ограниченных областей с кусочно-гладкими границами ∂D, содержащее области сколь угодно малого диаметра и такое, что M0 D D G, а n — внешняя нормаль на границе S области D. Тогда
an dS
div a(M0) = lim |
∂D |
. |
(48.25) |
|
diam D 0 |
|
μD |
|
→ |
|
|
|
Предел в правой части этого равенства означает, что для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для каждой рассматриваемой
242 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных
области D, для которой diam D < δ, выполняется неравенство
В качестве системы множеств {D} можно взять, например, систему всех кубов, содержащих точку M0.
Применив к векторному полю a в области D формулу Гаусса– Остроградского, а затем интегральную теорему о среднем, получим
|
an dS = |
div a dx dy dz = div a(M )μD, |
∂D |
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где M D и, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an dS |
|
|
|
|
|
|
|
|
div a(M ) = |
∂D |
|
|
. |
|
(48.26) |
|
|
|
|
|
|
μD |
|
|
Поскольку |
|
|
|
и |
|
0 D |
|
то |
|
0 M = M0 |
|
а следовательно, |
M |
D |
|
, |
diam D |
|
, |
|
|
|
M |
|
|
lim |
→ |
|
в силу непрерывности дивергенции |
|
|
|
|
|
lim |
|
div a(M ) = div a(M0). По- |
этому, перейдя к пределу при |
|
|
diam D→0 |
|
|
diam D → |
0 в обеих частях равенства |
(48.26), получим формулу (48.25). Формула (48.25) дает геометрическое определение дивергенции
в том смысле, что правая часть этой формулы записана через скалярное произведение векторов, объем области и площадь поверхности, которые не зависят от выбора координат в пространстве. Отсюда следует, что и дивергенция векторного поля не зависит от выбора координат.
Точки, в которых дивергенция векторного поля не равна нулю, называются источниками векторного поля.
48.4. Формула Стокса. Пусть в пространстве R3 фиксированы правая или левая системы координат (x, y, z): правая, когда обход против часовой стрелки в плоскости переменных x и y согласован с направлением оси переменной z по правилу штопора, и левая, когда — по правилу антиштопора. Сказанное не является, конечно, математическим определением, однако придает наглядность изложению.
Пусть поверхность S является графиком функции z = f (x, y),
дважды непрерывно дифференцируемой на замыкании G области
G R2xy:
S= {(x, y, z) : (x, y) G, z = f (x, y)},
играницей области G является кусочно-гладкий контур. Обозна-
чим его через Γ0, |
а его образ при отображении f , т. е. график |
сужения функции f |
на множество Γ0, через Γ. Контур Γ является |
§ 48. Скалярные и векторные поля |
243 |
краем поверхности S. Очевидно, Γ0 является проекцией, параллельной оси Oz контура Γ, на координатную плоскость переменных x, y.
Пусть
Γ0+ = {x(t), y(t); a t b} |
(48.27) |
— положительно ориентированный на плоскости переменных x, y контур Γ0. Ориентация контура Γ0 в силу отображения f порождает ориентацию контура Γ. Контур Γ, ориентированный в соответствии с ориентацией контура Γ+0 , обозначим Γ+, т. е.
Γ+ = {x(t), y(t), f (x(t), y(t)); a t b}; |
(48.28) |
Γ+ называется положительно ориентированным краем поверхно-
сти S. |
|
Через |
|
n = (cos α, cos β, cos γ) |
(48.29) |
обозначим единичную нормаль на поверхности S, составляющую острый угол с осью z (см. (46.28)) или, что то же самое, направленную соответственно (по «правилу штопора» в случае правой системы координат и по «правилу 
антиштопора» в случае левой) с ориентацией контура Γ+ (рис. 52).
Конечно, согласованнось ориентаций контура Γ, являющегося краем поверхности S, с ориентацией самой поверхности можно сфор-
мулировать и в математических терминах. Пусть ориентация контура Γ+0 , а следовательно, и ориентация контура Γ+, задана касательным к Γ0 вектором τ и внутренней нормалью ν
(см. п. 45.5). Тогда ориентация поверхности S, т. е. ее непрерывная нормаль n, называется со-
гласованной с ориентаций контура Γ+, если упорядоченная тройка векторов τ , ν, n ориентирована одинаково с базисом i, j, k пространства R3, т. е. определитель матрицы перехода от векторов i, j, k к векторам τ , ν, n положителен.
В формулировке нижеследующей теоремы и при ее доказательстве будем использовать введенные обозначения и сделанные предположения без дополнительных пояснений.
Те о р е м а 3. Если векторное поле a = (P , Q, R) непрерывно дифференцируемо в некоторой окрестности дважды непрерывно дифференцируемой поверхности S, то
n rot a dS = a dr |
(48.30) |
244 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных
или, в координатной записи, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos α cos β |
cos γ |
|
|
|
|
|
∂ |
∂ |
|
∂ |
|
P dx + Q dy + R dz = |
|
|
|
|
dS. |
(48.31) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
∂y |
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Γ+ |
S |
|
|
P |
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
Формула (48.30) называется формулой |
Стокса 1). |
|
Она означает, что поток вихря векторного поля через поверхность равен циркуляции этого векторного поля по краю поверхности, ориентированному согласованно с нормалью к поверхности.
Рассмотрим интеграл от первого слагаемого подынтегральной функции левой части равенства (48.31). Согласно формуле, выражающей криволинейный интеграл через интеграл по параметру, имеем
b
P (x, y, z) dx = |
P (x(t), y(t), f (x(t), y(t)))x (t) dt = |
(48.28) |
|
(48.27) |
Γ+ |
a |
|
|
= |
P (x, y, f (x, y)) dx, (48.32) |
|
(48.27) |
Γ0+ |
|
|
т. е. рассматриваемый криволинейный интеграл от функции P (x, y, z) по контуру Γ+ равен криволинейному интегралу от функции P (x, y, f (x, y)) по проекции Γ+0 контура Γ.
Применив к получившемуся интегралу формулу Грина (45.81) (здесь Q ≡ 0) и вспомнив формулу (47.13), выражающую поверхностный интеграл через кратный, получим
P (x, y, z) dx = |
P (x, y, |
|
(48.32) |
|
Γ+ |
|
|
Γ0+ |
+ |
= − G |
∂P |
(∂y |
|
|
x, y, z) |
|
, |
|
= |
|
|
∂P (x, y, f (x, y)) |
dx dy = |
|
|
|
|
f (x |
y)) dx(45.81)− |
G |
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x, y, z) ∂f (x, y) |
|
|
|
|
|
z=f(x,y)dx dy = |
|
∂P (∂z |
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
− |
|
∂P (x, y, f (x, y)) |
dx dy |
− |
|
|
∂P (x, y, f (x, y)) ∂f (x, y) |
dx dy = |
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(47.8) |
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(47.13) |
|
|
|
|
|
= |
|
− |
∂P |
cos γ dS |
− |
∂P |
|
∂f |
cos γ dS. |
(48.33) |
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
(47.8) |
|
|
|
∂z ∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(47.13) S |
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Напомним (см. (48.29) и (46.28)), что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos α = |
|
−fx |
, |
|
cos β = |
|
|
−fy |
|
|
, |
cos γ = |
|
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + fx2 + fy2 |
|
|
1 + fx2 + fy2 |
|
|
|
|
|
1 + fx2 + fy2 |
|
(48.34)
1) Дж. Стокс (1819–1903) — английский механик и математик.
§ 48. Скалярные и векторные поля |
245 |
Отсюда следует, что
cos β = −∂f∂y cos γ.
Подставив это выражение для косинуса в (48.33), получим
|
|
Γ+ P dx = |
|
|
∂P |
cos β − |
∂P |
cos γ dS. |
|
(48.35) |
|
|
S |
∂z |
∂y |
|
Аналогично разбирается случай интеграла |
Q dy: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Γ+ |
|
|
Q(x, y, z) dy = Q(x, y, f (x, y)) dy = |
|
|
∂Q(x, y, f (x, y)) |
dx dy = |
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Γ+ |
|
|
Γ0+ |
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
G |
|
x, y, z) |
|
|
∂Q(x, y, z) ∂f (x, y) |
|
|
= |
|
|
∂Q(∂x |
+ |
|
|
∂z |
∂x |
|
z=f(x,y) dx dy |
(48.36) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(в этом случае перед интегралами, стоящими в правой части формулы, аналогичной формуле (48.33), согласно формуле Грина не будет знаков минуса).
Несколько другой вид имеют преобразования интеграла |
R dz: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Γ+ |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R(x, y, z) dz |
= |
|
R(x(t), y(t), f (x(t), y(t)))z (t) dt = |
|
|
|
|
Γ+ |
|
|
(48.28) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x(t), y(t)))× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
R(x(t), y(t), |
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (t) dt (48.27) |
|
∂f (x(t), y(t)) |
x (t) + |
|
∂f (x(t), y(t)) |
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
Γ0+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
R(x, y, f (x, y)) |
∂f (x, y) |
dx + ∂f (x, y) dy = |
|
(48.27) |
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
(45.81) |
|
|
|
|
(45.81) |
|
G |
|
∂y − |
∂y |
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
∂ |
R |
∂f |
|
|
|
∂ |
R |
∂f |
|
|
dx dy = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x − |
|
= G ∂x + |
|
∂z ∂x |
∂y + R ∂x ∂y |
− ∂y |
|
+ |
∂z ∂y |
|
|
|
|
∂R |
|
∂R ∂f |
|
∂f |
|
|
|
|
|
|
∂2f |
|
|
|
|
∂R |
|
∂R ∂f |
|
∂f |
|
|
R |
∂2f |
|
dx dy = |
|
|
|
∂R ∂f |
|
|
∂R ∂f |
|
dx dy |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y ∂x |
|
|
|
|
∂x ∂y |
|
|
∂y ∂x |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
G |
− |
|
|
|
(47.8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(47.13) |
|
|
246 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных
|
|
= |
|
|
|
∂R |
|
∂f |
cos γ |
− |
∂R |
∂f |
cos γ |
dS = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(47.8) |
|
∂x ∂y |
∂y ∂x |
(48.34) |
|
|
|
|
|
(47.13) S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
∂R |
|
|
∂R |
|
|
48 37 |
|
|
|
|
|
|
|
|
S ∂y |
cos α − |
|
|
|
|
dS. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(48.34) |
|
∂x cos β |
( . ) |
|
Сложив (48.35), (48.36) и (48.37), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
P dx + Q dy + R dz = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Γ+ |
|
∂R |
|
∂Q |
cos α + |
∂P |
− ∂R∂x cos β + |
|
∂Q |
|
∂P |
cos γ dS, |
|
= |
− |
− |
|
∂y |
∂z |
∂z |
∂x |
∂y |
S
аэто является другой записью формулы (48.31).
За м е ч а н и е 1. Формулу Стокса можно доказать, предположив лишь, что функция z = f (x, y) непрерывно дифференцируема (а не дважды непрерывно дифференцируема, как это было потребовано в формулировке теоремы 3), но это значительно сложнее. В приведенном доказательстве возникала (где?), а затем исчезала вторая
производная ∂2f .
∂x ∂y
З а м е ч а н и е 2. Если S — ориентированная кусочно-гладкая поверхность, получающаяся склейкой гладких ориентированных поверхностей Si, i = 1, 2, ..., k, и если формула Стокса справедлива для всех поверхностей Si, то она справедлива и для поверхности S:
n rot a dS = a dr,
S∂S
где ∂S — ориентированный край поверхности, ориентация которого порождается ориентациями ∂Si, согласованными с нормалями ni,
поверхностей Si.
Для доказательства достаточно написать формулы Стокса для каждой поверхности Si:
|
ni rot a dSi = |
a dr, i = 1, 2, ..., k, |
Si |
|
∂Si |
и |
сложить получившиеся равенства |
(рис. 53). |
|
|
Можно доказать, что теорема Сток- |
са верна для любого непрерывно дифференцируемого векторного поля на любой ориентируемой кусочно-гладкой поверхности, край которой состоит из конечного множества замкнутых кусочно-гладких контуров, причем их ориентация выбирается согласованной с ориентацией n поверхности.
M S,
§ 48. Скалярные и векторные поля |
247 |
48.5. Геометрическое определение вихря. |
Пусть в обла- |
сти G R3 задано непрерывно дифференцируемое векторное поле a = a(M ), M0 G, n — произвольно фикси-
рованный единичный вектор. Найдем формулу для проекции вихря
rot a в точке M0 на направление векто-
ра n, т. е. для величины n rot a. Для этого проведем плоскость π через точку M0 перпендикулярно вектору n (рис. 54). Возьмем
на плоскости π какую-либо область S G,
содержащую точку M0 и ограниченную ку- 
сочно-гладким контуром Γ. Контур Γ, ориентированный согласованно (по правилу штопора) с направлением
нормали n, обозначим через Γ+.
Те о р е м а 4. Имеет место формула
a dr
|
n rot a(M0) = lim |
Γ+ |
. |
(48.38) |
|
μS |
|
0 |
|
|
|
diam S→ |
|
|
|
Применив к векторному полю a на поверхности S формулу Стокса, а затем интегральную теорему о среднем, получим
a dr = n rot a dS = n rot a M μS,
Γ+ S
и, следовательно,
a dr
|
|
n rot a |
|
Γ+ |
48 39 |
lim |
|
M = M , M |
= |
μS . |
( . ) |
diam S |
0 |
0 то в силу непрерывности функции |
|
→ |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
= n rot a M0 . |
|
diam S→0 n rot a M |
|
Поэтому, перейдя в обеих частях равенства (48.39) к пределу, получим формулу (48.38).
В правую часть равенства (48.38) входят скалярное произведение a dr и площадь множества S. И то, и другое не зависит от выбора системы координат. Кроме того, в правую часть равенства (48.38)
входит криволинейный интеграл второго рода a dr, знак которого
Γ
зависит от ориентации контура Γ. При изменении ориентации системы координат ориентация контура Γ, согласованная с направлением нормали n, также меняется. Таким образом, правая часть равенства (48.38) не зависит от выбора системы координат, сохраняющей ориентацию (и меняет знак на противоположный при изменении ориентации системы координат).
248 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных
Выбрав в качестве векторов n три единичных линейно независимых вектора, получим по формуле (48.38) три проекции ротора rot a на эти векторы. Этими своими проекциями ротор однозначно определяется. Поскольку они не зависят от выбора системы координат с одинаковой ориентацией, то и сам ротор не зависит от выбора таких координат. В силу сказанного выше из формулы (48.38) следует также, что при изменении ориентации системы координат на противоположную ротор меняет направление, что, впрочем, сразу видно и из формулы (48.3).
48.6. Соленоидальные векторные поля. Непрерывное в области G R3 векторное поле a называется соленоидальным в этой
области, если для любой ограниченной области D G с кусочногладкой границей ∂D G его поток через эту границу равен нулю:
∂D
Таким образом, соленоидальность векторного поля в некоторой области G означает не то, что равен нулю его поток через любую кусочно-гладкую поверхность, лежащую в области G и являющуюся границей какой-то области D, а то, что указанный поток равен нулю во всяком случае тогда, когда область D вместе со своей границей содержится в области G:
D ∂D = D G.
Заметим, что если поток векторного поля через какую-либо поверхность равен нулю при некотором выборе ориентации этой поверхности, то он, очевидно, равен нулю и при противоположной ориентации (при изменении ориентации поверхности абсолютная величина потока не меняется, может только измениться его знак). Поэтому в формуле (48.40)
не указана ориентация поверхности ∂D.
Те о р е м а 5. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое в некоторой области векторное поле a было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках этой области его диверген-
ция равнялась нулю: |
|
div a = 0. |
(48.41) |
Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть векторное поле a соленоидально в области G и M G. Поскольку точка M — внутренняя для G, то все достаточно малые по диаметру шары D с центром в этой точке содержатся вместе с их границами ∂D в области G (рис. 55). В силу
§ 48. Скалярные и векторные поля |
249 |
соленоидальности поля a его поток через сферы ∂D, ограничивающие эти шары, равны нулю:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a dS = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(48.42) |
|
а следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a dS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
div a(M ) |
= |
|
|
|
|
lim |
|
|
∂D |
|
|
|
= |
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
μD |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(48.25) |
diam D |
|
|
|
|
|
(48.42) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д о с т а т о ч н о с т ь. |
|
Если выполняется условие (48.41), то для |
|
любой области D G с кусочно-гладкой границей ∂D G в силу |
|
формулы Гаусса–Остроградского имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a dS |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
div a, dx dy dz = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(47.5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(48.41) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂D |
(48.22) |
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r = (x, |
y |
, |
z) |
, |
|r| = r = |
x |
2 |
+ y |
2 |
+ z |
2 |
. Рассмотрим |
|
|
|
|
П р и м е р. Пусть r |
|
r = |
|
|
|
|
|
|
векторное поле |
a = |
|
, |
0. Найдем его дивергенцию. Заметив, что |
|
r3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂r |
= |
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
x |
, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
+ y2 + z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
r |
3 |
− 3xr |
∂r |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ x |
|
|
= |
|
∂x |
|
= r |
|
− |
3x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично, |
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
r6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
r5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ y |
|
|
= |
r2 |
− 3y2 |
, |
|
∂ z |
= r2 − 3z2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r ∂y r3 |
|
|
|
|
|
r3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r5 |
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
r5 |
|
|
|
r |
|
Поэтому div |
|
|
|
|
= 0 и, следовательно, векторное поле a = |
|
|
является, |
|
r |
3 |
|
r |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
согласно теореме 5, соленоидальным в пространстве R3 |
с выколотым |
началом координат. Поэтому его поток через любую кусочно-гладкую поверхность, ограничивающую область, не содержащую начала координат, равен нулю.
48.7. Потенциальные векторные поля. Под областью G будем понимать либо область на плоскости R2, либо область в пространстве R3, кроме, конечно, тех случаев, когда будет оговорено что-либо определенное.
Пусть в области G задано непрерывное векторное поле a.
Через AB будем обозначать кусочно-гладкую кривую, лежащую
в области G, началом которой является точка A, а концом — точка B. Напомним, что (п. 48.1) векторное поле a называется потенциаль-
ным, если у него существует потенциальная функция. Это свойство для непрерывных векторных полей равносильно тому, что циркуляция векторного поля по любому замкнутому контуру равна нулю, или,
что то же самое, что интеграл |
a dr не зависит от пути интегри- |
|
|
