Краткий курс математического анализа. Том 2

230Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

Вчастности, взяв поочередно две функции из трех P , Q и R тождественно равными нулю, будем иметь

Интуитивный смысл этих формул состоит в том, что элемент площади dS (см. (46.25)) данной поверхности, умноженный на косинус угла, который он составляет с некоторой координатной плоскостью, «приближенно» равен площади его проекции на рассматриваемую координатную плоскость, как если бы речь шла о площади плоской фигуры и ее проекции. На рис. 49 изоб-

ражен случай, когда указанное проектирование производится на плос-

кость переменных x и y.

В этом случае

dx dy ≈ dS cos γ,

где dS — элемент площади поверхности S, dx dy — элемент площади проекции этой поверхности на плоскость переменных x, y, а γ — угол

между dS и указанной плоскостью, очевидно, равный углу между нормалью n к поверхности S и единичным ортом k к оси z.

Если за непрерывную единичную нормаль на поверхности S взять вектор −n и обозначить через S− поверхность S, ориентированную с помощью этой нормали, то согласно определению поверхностного интеграла второго рода получим

т. е. при изменении ориентации поверхности интеграл второго рода меняет знак.

Если векторная функция a непрерывна на поверхности S, то ин-

ше существуют интегралы, стоящие в правых частях равенств (47.5) и (47.9).

З а м е ч а н и е. Если поверхность кусочно-гладкая (см. п. 46.5), то поверхностные интегралы первого и второго рода по ней определяются как суммы соответствующих интегралов по ее гладким частям.

47.2. Формулы для представления поверхностного интеграла второго рода в виде двойного интеграла. Пусть S —

гладкая поверхность. Если она задана своим векторным представлением S = {r(u, v); (u, v) G}, то обычно через S+ обозначается поверхность S, ориентированная с помощью вектора

= R(x(u, v), y(u, v), z(u, v)).

Если ориентированная поверхность S получена с помощью склейки из ориентированных поверхностей Si, i = 1, 2, ..., k (см. п. 46.5), то по определению

Si=1 Si

232Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

47.3.Некоторые специальные случаи поверхностных интегралов второго рода. Если поверхность S имеет явное представ-

нижней стороны S поверхности S дифференциалы dx и dy пишутся в обратном порядке.

Равенства (47.13) и (47.14) получены в предположении непрерывности функции R и гладкости поверхности S (т. е. непрерывной дифференцируемости на G функции f ). Однако интегралы в правой части этих равенств имеют смысл, например, лишь при предположении непрерывности функций R и f. Поэтому естественно, если функция f (x, y) непрерывна на замыкании G области G, а функция R = R(x, y, z) непрерывна на поверхности S = {z = f (x, y), (x, y) G},

определить интегралы R dx dy и R dx dy равенствами

Вслучае когда функция f (x, y) непрерывно дифференцируема,

аследовательно, ее график является гладкой поверхностью (в этом случае x = u, y = v, |rx ×ry|2 = 1 + fx2 + fy2 = 0), то, согласно доказан-

ному выше, определение (47.15) равносильно для рассматриваемых здесь поверхностей определению (47.5).

первый из них называется поверхностным интегралом по верхней, а второй — по нижней стороне поверхности S. В случае гладкой поверхности S эти интегралы совпадают с определенными раньше (см. (47.13) и (47.14)).

Нам потребуется еще понятие интеграла по определенного вида цилиндрическим поверхностям без предположения о гладкости этих поверхностей.

Если Γ0 = {x(u), y(u); a u b} — кривая на плоскости пере-

менных x, y, то поверхность S = {x(u), y(u), v; a u b, 0 v h} называется цилиндрической поверхностью с направляющей Γ0 и об-

разующей длины h, параллельной оси Oz (см. замечание 13 в п. 42.1). Если Γ0 — гладкая кривая, т. е. функции x(u), y(u) непрерывно дифференцируемы и x2u + yu2 > 0 на отрезке [a, b], а r(u, v) = x(u) i +

+ y(u) j + v k, то

В случае отсутствия предположения о гладкости кривой Γ0 эти

по цилиндрической поверхности S рассматриваемого вида или по поверхности S, являющейся частью такой цилиндрической поверхности:

234 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

Аналогичным образом рассматриваются интегралы вида

В заключение отметим, что в теории поверхностных интегралов понятие гладкой поверхности бывает удобно понимать в более общем смысле, чем это было определено в п. 46.1 (это делается по аналогии с расширением понятия гладкой кривой; см. п. 45.4 ).

Поясним это на примере поверхности S, имеющей явное представ-

ление:

S = {z = f (x, y); (x, y) G},

G — квадрируемая область, функция R непрерывна на поверхности S, т. е. непрерывна функция R(x, y, f (x, y)), (x, y) G.

Пусть существует такое непрерывно дифференцируемое преобразование параметров

D — квадрируемая область, что функция z = f (x(u, v), y(u, v)) является непрерывно дифференцируемой на замыкании D области D (функция f предполагается только непрерывной). Тогда поверхность S, задаваемая представлением

x = x(u, v), y = y(u, v), z = f (x(u, v), y(u, v)) (u, v) D,

является непрерывно дифференцируемой, а если у нее нет особых точек, то в каждой ее точке существует единичная нормаль n = (cos α, cos β, cos γ). Сделав в интеграле, стоящем в правой части равенства (47.15), замену переменной (47.17) и воспользовавшись формулой (47.12) (при P = Q = 0), получим

Таким образом, несмотря на то, что в этом случае исходное явное представление поверхности S не является, вообще говоря, дифференцируемым, для нее, какова бы ни была непрерывная на ней функция F , при надлежащем выборе параметров справедлива формула

— как «скалярное произведение» векторов и a;

— как «векторное произведение» этих же векторов.

В координатном виде эти определения записываются следующим образом:

Если G — плоская область и, следовательно, P = P (x, y), Q = = Q(x, y), R ≡ 0 (рассматриваемые векторные поля лежат в тех же плоскостях или пространствах, в которых множество G является областью), то

Определим еще понятия циркуляции и потока векторного поля a. Если Γ — кусочно-гладкий замкнутый контур и векторное поле a

задано на Γ, то криволинейный интеграл второго рода

Γ

называется также циркуляцией векторного поля a по этому контуру. Если кусочно-гладкая поверхность S ориентирована с помощью единичной нормали n, то для векторного поля a, заданного на по-

верхности S, поверхностный интеграл второго рода

S+ S

называется также потоком векторного поля через поверхность S.

Если Γ — кусочно-гладкая плоская кривая, a n — единичная нормаль к Γ, то для векторного поля a, заданного на Γ, интеграл

Γ

называется потоком векторного поля через контур Γ.

238 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

48.2.Формула Гаусса–Остроградского. Пусть G — область

впространстве R3xyz . Предположим, что на плоскости Rxy2 существует такая квадрируемая область D, ограниченная спрямляемой кри-

вой, что граница ∂G области G состоит из двух поверхностей S1 и S2, задаваемых явными представлениями соответственно z = ϕ(x, y) и z = ψ(x, y), где функции ϕ и ψ непрерывны на замыкании D области

D, ϕ(x, y) < ψ(x, y), (x, y) D, и, быть может, поверхности S0, являющейся частью цилиндрической поверхности, основанием которой

является граница ∂D области D, а образующая

В этом случае область G называется элементарной относительно оси Oz (рис. 50). Она

имеет вид

G = {(x, y, z) : (x, y) D, ϕ(x, y) < z < ψ(x, y)}.

(48.12)

Мы уже встречались с областями такого типа при изучении вопроса о сведении кратного интеграла к повторному. Обозначим для краткости границу ∂G обла-

сти G через S, тогда (см. (48.11))

Пусть на S задана функция F = F (x, y, z). Поверхностные интегралы

S0

поверхностными интегралами второго рода по внешним сторонам этих поверхностей, а их сумма — интегралом по внешней стороне

поверхности S и обозначается F (x, y, z) dx dy, т. е.

S+

F (x, y, z) dx dy =

S+

= F (x, y, z) dx dy + F (x, y, z) dx dy + F (x, y, z) dx dy. (48.14)

S−

no внутренней стороне поверхности S:

F (x, y, z) dx dy =

S−

= F (x, y, z) dx dy + F (x, y, z) dx dy + F (x, y, z) dx dy. (48.15)

Напомним (п. 47.3), что F (x, y, z) dx dy = 0 и, следовательно,

S0

это слагаемое можно было бы и не писать. Оно пишется для того, чтобы формулы (48.14) и (48.15) формально соответствовали формуле (48.13). Как будет видно из дальнейшего, это оказывается очень удобным.

S+

поверхности S, ориентированный с помощью внешней единичной нормали n. В этом случае, если

Здесь термин «кусочно-гладкая поверхность» понимается в смысле общего определения в п. 47.3.

Аналогично областям, элементарным относительно оси Oz, определяются области G, элементарные относительно осей Ox,

по внешней и внутренней сторонам поверхности S.

Области, элементарные относительно всех координатных осей, называются элементарными (рис. 51). Примерами элементарных обла-

стей являются пирамиды, параллелепипеды, вообще любые выпуклые многогранники, шары, эллипсоиды и т. п.