9.2. Закон Био-Савара- Лапласа и его применение к расчету полей прямого и кругового токов.

Направление вектора dB определяется правилом правого винта, которое заключается в

следующем: буравчик с правым винтом (штопор) нужно вращать от вектора dl к вектору r по

кратчайшему пути, тогда на правление движения острия бу равчика rпокажет ориентацию вектора dB .

Магнитное поле прямого тока

Рассчитаем, используя закон Био-Савара-Лапласа, магнит ное поле, создаваемое бесконечным прямым проводником с то ком, в точке М, отстоящей на расстоянии а от проводника.

Выделим элемент проводника dl. Пусть элемент dl виден из точки М под малым углом dα. Положение точки М относительно элемента dl определяется вектором r. Из

рис. видно, что выполняются следующие соотношения

Используя закон Био-Савара-Лапласа, запишем индукцию магнитного поля, создаваемого элементом тока dl в точке М

Для того, чтобы найти индукцию магнитного поля, создаваемого всем проводом, нужно, используя принцип суперпозиции, найти сумму векторов dBi от всех элементов dli.

В случае бесконечного прямого тока α1=0 и α2=π, тогда

В общем случае индукция магнитного поля, создаваемого прямым проводником с ток конечной длины равна

odmin

Магнитное поле на оси кругового витка с током.

Возьмем на оси кругового витка точку А, отстоящую от плоскости витка на расстоянии х. Выберем ось х вдоль оси витка. Выделим на витке с током элемент тока dl. Оче видно, что при суммировании векторов dB от всех элементов витка горизонтальные составляющие векторов dB взаимно компенсируются, а вертикальные составляющие (dBx) складываются скалярно. Тогда индукция магнитного поля в точке А будет

здесь S − длина витка, R − его радиус.

Согласно закону Био-Савара-Лапласа

(угол между векторами r и dl равен π/2).

Окончательно

10.1. Закон полного тока (теорема о циркуляции вектора магнитной индукции).

В случае нескольких токов вrсилу принципа суперпозиции

применение к расчету полей соленоида

10.2. Применение к расчету поля соленоида.

Рассмотрим бесконечно длинный соленоид по которому течет ток I и который имеет n витков на единицу длины. Выберем прямоугольный контур интегрирования 1-2-3-4. Сторона 1-2 совпадает с осью соленоида, а 3-4 удалена на очень большое расстояние от оси. В силу симметрии вектор B внутри соленоида дол жен быть параллелен его оси, т.е. Внутри соленоида магнитное поле должно быть однородно.

Последний интеграл в правой части равен нулю, т.к. На большом расстоянии от соленоида В=0. Второй и третий интегралы в правой части также равны нулю, т.к. для каждого элемента dl выполняется условие B ⊥ dl , а на участке 1-2, очевидно, B параллелен dl r. Тогда

, где l − длина участка 1-2.

С другой стороны, полученное выражение должно быть пропорционально сумме токов, охватываемых контуром 1-2-3-4. Рассматриваемый контур охватывает nl витков, в

каждом из которых течет ток I, тогда

Откуда

10.3. Поле тороида.

Пусть мы имеем тороид (”бублик”) с плотно намотанными на него N витками тонкого провода с током I. Пусть R1 и R2 − внешний и внутренний радиусы то роида. Найдем индукцию магнитного поля на средней линии тороида, т.е. на окружности радиуса r=(R1+R2)/2.

В качестве контура интегрирования L выберем саму среднюю линию. В силу симметрии вектор индукции магнитного поля B в каждой точке контура L должен быть направлен по касательной к этому контуру и быть постоянным по модулю. Выбранный нами контур охватывает все N витков.

Откуда