8.3.2. Элементарная теория цепей с переключаемыми конденсаторами

Пусть к резистору Rприложены напряженияU₂(t) иU₁(t), тогда ток протекающий через него будет:

где dq- приращение заряда на резистореRза времяdt:

,

т.е величина приращения заряда за время dtпропорциональная разности напряжений и обратно пропорциональна сопротивлению. Рассмотрим теперь конденсаторС_ПК, к которому также приложена разность напряженийΔU(t).Приращение зарядаdqза времяdtна конденсаторе:

Средняя (за время dt) величина тока в конденсаторе С_ПКбудет:

.

Поэтому средняя (эквивалентная) величина сопротивления конденсатора за тот же временной интервал составит:

Если ввести частоту f_Тподключения к зажимам конденсатора напряжения ΔU(t):

то

. (8.4)

Отсюда видно, что чем меньше емкость конденсатора и ниже частота коммутации (переключения), тем выше его эквивалентное сопротивление. Интересно отметить, что эквивалентное сопротивление коммутируемого конденсатора отличается от сопротивления этого конденсатора переменному току с угловой частотой ω=2πfна величину 2π.

Рассмотрим пример. Пусть необходимо реализовать постоянную цепи равную τ=RC=10^-4c. Уже упоминалось, что величина интегрального резистора по технологическим соображениям не может превышать 10 кОм. Следовательно, для обеспечения указанной постоянной потребуется интегральная ёмкость конденсатора равная:

.

Емкость такой величины вызовет заметные размеры конденсатора на кристалле.

Выберем поэтому вполне допустимую по технологическим соображениям емкость интегрального конденсатора равную С=10 пФ, т.е. в 1000 раз меньшую. Тогда для обеспечения постоянной τ=10^-4с при С=10 пФ потребовался бы резистор с величиной сопротивления равной:=10 МОм. Столь большая величина интегрального резистора заведомо невыполнима.

Выберем емкость переключаемого конденсатора C_ПК=1 пФ, т.е в десять раз меньшую, чем емкость интегрального конденсатораС=10 пФ и определим, при какой частоте коммутацииf_Tпереключаемый конденсатор обеспечит имитацию сопротивленияR_ЭКВ(С_ПК) =10 МОм.. Используя (8.4), получим:

.Гц.

Таким образом, при умеренных величинах емкости интегрального конденсатора С=10 пФ и малых величинах емкости коммутируемого конденсатораС_ПК=1пФ обеспечивается необходимая постояннаяτ RC-цепи,если частоту коммутацииf_Tпереключаемого конденсатора выбрать равной 100 кГц. Из приведенного примера видно, что весьма малые величины конденсаторовС иС_ПКмогут обеспечить очень большие постоянные времени в интегральных устройствах. В частности, если бы частота коммутации конденсатораC_ПКсоставляла 10 кГц, то эквивалентная постоянная в указанной цепи соответствовала бы 1 мс!

Поскольку τ=RC=R_ЭКВ(С_ПК)С, то используя (8.4), получим:

. (8.5)

При изготовлении интегральных конденсаторов существует естественный разброс их номиналов, кроме того, температурные и другие изменения приводят к дополнительным погрешностям. Поэтому при выполнении СиС_ПКна одном кристалле разброс номиналов и их нестабильность будут меньше влиять на изменения постояннойτ, т.к. эти конденсаторы входят в (8.5) в виде отношения.

В изложенной элементарной теории коммутируемых конденсаторов полагалось наличие идеальных источников напряжения, поэтому в моменты коммутации ток в переключаемом конденсаторе должен принимать бесконечную величину, а его заряд и разряд происходить мгновенно. Реальные источники имеют малые, но конечные значения внутренних сопротивлений, кроме того, сопротивление замкнутого ключа также не может быть равным нулю. Следовательно, учет этих сопротивлений приведет к отсутствию бесконечных бросков тока в переключаемых конденсаторах. Большее влияние на точность элементарного исследования, с помощью которого была получена формула (8.4) могут внести паразитные ёмкости, а также конечный реактивный импеданс, вызванный ёмкостью этих источников. Учет реактивного импеданса источников напряжения приводит к следующему выражению эквивалентного сопротивления коммутируемого конденсатора:

(8.4^/)

где С_И-емкость источника. ЕслиС_И>>C_ПК, то выражение (8.4^/) переходит в (8.4).

Основные реализации цепей с коммутируемыми конденсаторами приведены на рис.8.9. Полный цикл коммутации конденсатора С_ПК-Δtразделяется на два( обычно равные) временные интервала

Рис.8.9

На рисунке буквой Е(even) обозначен четный интервал времени коммутации. БуквойО(odd) обозначен нечетный интервал. В зависимости от схемы включения таких цепей в дискретно-аналоговое устройство их эквивалентное сопротивление при заданном интервале коммутацииΔtоказывается различным. Рассмотрим, например, работу цепи рис.8.9в. В нечетный интервал конденсатор подключен к напряжениюU₁,поэтому он приобретает заряд равныйC_ПКU₁,если начальное напряжение на нем было равно нулю. Будем считать, что конденсатор заряжается в этот интервал почти «мгновенно» и напряжение на его обкладках оказывается равнымU₁. Во второй, четный интервал конденсатор подключается к напряжениюU₂.Разность напряженийU₂-U₁вызовет приращение заряда на конденсаторе равноеС_ПК(U₂-U₁).Это приращение заряда может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от того какой знак имеет разностьU₂-U₁. Если напряженияU₁иU₂за несколько интервалов переключения изменяются достаточно медленно, то в схеме устанавливается повторяющийся режим переноса заряда конденсаторомС_ПК. При этом эквивалентное (среднее за времяΔtпереключения) сопротивление между входом и выходом схемы оказывается равным:

,

где f_T=1/Δt.

Аналогично для схем б,врис.8.9- эквивалентное сопротивление коммутируемого конденсатора будет:

,

а для схемы 8.9г:

В схеме рис.8.9 б влияние распределенных емкостей на обкладках конденсатораС_ПКустраняется за счет его разряда в нечетные интервалыΔt/2 коммутации.

Реализация интегральных ключей осуществляется с помощью управляемых через затворы переходов исток-сток МОП- транзисторов. Например, для схемы рис.8.9атакие ключи изображены на рис.8.10. При подключении к затворам транзисторов напряжения +5 вольт промежуток исток –сток имеет сопротивление меньше 100 Ом. КогдаU_ЗАТВ<0,5 вольт, сопротивление этого промежутка составляет более 100 МОм. Согласно (8.4) сопротивление коммутируемого конденсатора увеличивается при понижении частоты дискретизацииf_T. Естественно возникает вопрос о нижней границе этой частоты, поскольку при больших интервалах Δtнапряжение на коммутируемом конденсаторе не будет отслеживать изменения входного сигнала. В приложении 5 приводится доказательство теоремы отсчетов Найквиста-Котельникова, согласно которой нижняя граница частоты коммутацииf_TНдолжна удовлетворять условию:

(8.6)

,

где f_B- верхняя граничная частота спектра входного аналогового сигнала. Если условие (8.6) не выполняется, то сигнал, подвергаемый дискретизации, невозможно восстановить без ошибок.

Несколько примеров схем с коммутируемыми конденсаторами приведено на рис.8.11. На рисунке 8.11априведена схема интегратора с инверсией.

Формально( при высокой частоте коммутации f_T) операторный коэффициент передачи такой схемы записывается в виде

(8.7)

На рисунке 8.11бприведена схема интегратора с другим вариантом включения коммутируемого конденсатора, поэтому аналогично операторный коэффициент передачи схемы отличается от приведенного выше отсутствием знака минус в выражении (8.7):

(8.8)

Как видно из рисунков, формальный переход от аналогового устройства к дискретно-аналоговому заключается в замене резистора схемой с переключаемыми конденсаторами. Однако для описания работы таких устройств требуется использование теории дискретного Z-преобразования сигналов и применения системныхZ-функций передачи дискретно-аналоговых устройств, с помощью которых находятся их частотные и переходные характеристики[7].Читателю, знакомому с таким преобразованием, нетрудно записать, например, функцию передачиK(Z)дискретно-аналогового интегратора приведенного на рис. 8.11.б.

Воспользуемся билинейным преобразованием переменной

(8.9)

Подставляя в (8.8) (8.9) и вводя обозначение a=C_ПКf_T/C, запишем системную функцию передачи дискретно-аналогового интегратора=U₂(Z)/U₁(Z).(8.8^/)

Исследуем переходный процесс на выходе интегратора.

Пусть, например, на вход интегратора поступает сигнал в виде дискретного единичного скачка

U₁(mΔt)=1,1,1, ….m, приm>0 (8.10)

U₁(mΔt)=0 приm<0,

тогда его Z- преобразование будет

.

Следовательно, Z-изображение выходного сигнала

(8.11)

Чтобы получить временную дискретную функцию U₂(mΔt)

на выходе дискретно-аналогового интегратора, необходимо умножить U₂(Z)наZ^m-1и вычислить интеграл обратногоZ-преобразования

U₂(mΔt)=

Контурный интеграл в последнем выражении охватывает полюсы второй кратности в точке Z=-1. Произведя вычисление интеграла, получим

U₂(mΔt)=Res[U₂(Z)]=aΔt(m+1/2).

Нормированные графики функций U₂(mΔt) , U₂(t)на выходе интеграторов с коэффициентами передачи (8.8^/) и (8.8) приведены на рисунке 8.12.

Из графиков следует, что с уменьшением времени Δt коммутации переключаемых конденсаторов и, следовательно, увеличением числа разбиенийm, сигнал на выходе дискретно-аналогового интегратора приближается к сигналу на выходе аналогового интегратора. Таким образом, переключаемые конденсаторы в ДАУ можно рассматривать с одной стороны как имитаторы резисторов, а с другой- как элементы аналоговой памяти обрабатываемых сигналов внутри интервалов дискретизации.

Вопросы для самопроверки к гл 8.

1.Вследствие каких причин приходится переходить к изучению и исследованию дискретно-аналоговых устройств?

2.Приведите структуры АЦП «параллельного» действия, с поразрядным управлением и аналого-цифровых преобразователей с двойным интегрированием и объясните принцип их работы.

3.Рассмотрите структуру цифроаналогового преобразователя построенного на основе операционного усилителя с параллельной ООС по напряжению.

4. Какие причины вызывают применение в ЦАП двухпозиционных коммутирующих ключей?

5. Приведите схему матрицы «постоянного» импеданса. Установите соотношения между резисторами цепочки для образования коэффициента передачи а=0,5.

6.Приведите вывод соотношения для эквивалентного сопротивления переключаемого конденсатора в функции частоты его коммутации.

7. Какие причины ограничивают выбор наименьшей частоты коммутации схем с переключаемыми конденсаторами?