Векторы. Линейные операции.
Базис.
Лекция 12
Вектор. Определение. Равенство
Векторные• величины (скорость, ускорение, сила и др. ) характеризуются как величиной, так и направлением.
Вектор − это направленный отрезок c началом в точке и концом в точке который можно переносить параллельно самому себе ( свободный вектор)
B
Длину вектора называют модулем и обозначают
A
=
Нулевой вектор = имеет нулевую длину = 0 и не имеет определенного направления
Векторы равны , если совпадают по длине и по направлению:
Линейные операции. Умножение на число
1• . Произведением вектора на число λ называется вектор λдлина которого равна направление при условии λ > 0 совпадает с направлением , и противоположно при условии λ < 0 :
λ > |
λ < 0 |
|
0
Два вектора называются коллинеарными, если при приведении к общему началу они лежат на одной прямой
Единичный вектор или орт - вектор единичной длины, совпадающий по направлению с вектором .
Любой вектор можно представить в виде
Линейные операции. Сложение и вычитание.
Суммой• векторов называется вектор , направленный из начала вектора в конец вектора при условии, что начало совпадает с концом
b |
c |
|
коммутативность ассоциативность Разностью векторов называют вектор , который в сумме с
вектором дает вектор . Вектор разности векторов, приведенных к общему началу направлен из конца вектора в конец вектора .
Линейные операции. Пример: деление отрезка в заданном отношении
Пусть• точка
O
•
•=
•M
•=
делит отрезок в отношении = Векторы , cонаправлены
= =
+
. При λ =1
Базис
Векторы• , , …… образуют линейно-независимую
систему векторов, если линейная комбинация векторов
+ |
+ |
+ …… = 0 только при условии |
|
= |
= |
=…= = 0. |
В противном случае система линейно зависима – |
векторы системы |
можно связать при помощи линейных операций. |
||
Базисом в пространстве измерений называют систему линейно- независимых векторов. Любой вектор пространства выражается через векторы базиса единственным образом:
+ + + …… , где числа , , … - координаты вектора в
выбранном базисе
На плоскости ( пространство ) базис образуют любые 2 неколлинеарных вектора: +
Базис. Координаты вектора
На• пространстве базис образуют любые 3 некомпланарных
вектора (не лежат в одной или параллельных плоскостях):
++
Базисные векторы вместе с началом координат образуют декартову систему координат. Взаимно перпендикулярные базисные векторы образуют прямоугольную декартову систему координат
== =1 Скалярная проекция вектора на другой вектор – это число α:
Координаты вектора в прямоугольной системе
совпадают с его проекциями на координатные оси
• |
+ = + |
= |
|
= |
= |
,
= - длина (модуль) вектора
,
β
В пространстве вводится также угол γ между вектором и осью координата = γ:
, = ,
Единичный вектор (орт): = = Выполняется: α + β γ = 1
Действия над векторами в координатной форме
Пусть• векторы заданы своими координатами
+k
+k Тогда справедливо :
= , = , =
λ
=
Условие коллинеарности векторов - пропорциональность
координат векторов = |
= |
Примеры: 1) Векторы = и |
b = коллинеарны 2) Если = и |
b = |
|
то вектор = |
|