Скалярное произведение векторов
Векторное произведение векторов Смешанное произведение векторов
• Лекция 13
Скалярное произведение векторов. Определение.
Ненулевые• векторы и приведены к общему началу.
Скалярным произведением называют число,
равное произведению длин этих векторов на косинус 
угла между ними: = b =
Пример: пусть =3, , = = 9
Свойства: 1) коммутативность = ,
2)ассоциативность = αβ3) дистрибутивность
=+ 4) =
Пример: пусть , а угол между векторами . Тогда = =
Выражение скалярного произведения через
координаты векторов. Свойства.
Для• координатных ортов прямоугольной декартовой системы:
Пусть векторы заданы координатами ,
Пример:, =
Угол между векторами = Условие перпендикулярности (ортогональности ) векторов:
= 0
Свойства и применение скалярного произведения
Пример• : по координатам вершин треугольника ,
), найти угол при вершине и длины сторон . Находим векторы, исходящие из вершины
;=
== 5; =
Связь скалярного произведения и проекций: = = . Если , = С учетом того, что , ,
координаты вектора являются проекциями на оси:
,,
Z
Работа силы при перемещении материальной точки вдоль прямой
Примеры векторного произведения векторов в физике
1• ) Момент силы , приложенной в точке относительно точки - вектор, перпендикулярный вектору силы и вектору и направлен таким образом: из конца вектора кажется, что вектор силы вращает
плоскость , где расположены векторы |
против |
|
||
часовой стрелки |
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
O |
F |
|
2) |
ω |
A |
B |
|
Угловая скорость 3) |
||||
|
|
= = |
|
|
|
|
|
|
V |
|
r |
Сила Лорентца |
||
|
V |
|
|
|
Векторное произведение векторов
Векторным• произведением = c называется вектор,
который 1) перпендикулярен (ортогонален) каждому из векторов ; 2) имеет длину , равную площади параллелограмма, построенного на векторах
3) Вектор направлен по правилу «правого винта» при вращении
от вектора к вектору ( если кратчайший поворот от вектора к вектору происходит против часовой стрелки, то векторное произведение направлено вверх, перпендикулярно плоскости, в которой лежат перемножаемые векторы)
антикоммутативность
Векторное произведение векторов. Свойства. Вычисление
1)• 2) =αβ; 3)
Пример: =
Сравни со скалярным произведением !!
Условие коллинеарности
Для координатных ортов:
=
Пусть векторы заданы координатами ,
=
Пример: , =
Применение векторного произведения
Пример• 1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах если ,
А угол между векторами равен
Согласно определению векторного произведения
= = =
Пример 3. Для треугольника с вершинами 4, 4, 1) найти площадь и высоту, опущенную из вершины
Строим векторы из вершины
= = 9; высота = = 3
Смешанное произведение векторов
Смешанным произведением |
трех векторов называют |
• |
|
скалярное произведение векторного произведения на вектор или ,
то есть число.
Смешанное произведение не изменяется при круговой перестановке : и изменяет знак при других
Геометрически смешанное произведение является объемом парал- лелепипеда, построенного на векторах (по модулю)
φ =
Если векторы заданы координатами, то
c |
= |
Условие компланарности = 0
Условие существования базиса
b