Системы линейных алгебраических уравнений.

Обзор методов решения.

Лекция 11

Матричные уравнения

• 1) Найдем неизвестную матрицу из матричного уравнения

•

•=12 Обратная матрица существует =

Умножаем слева матричное уравнение на обратную матрицу :

• = =

•=

Матричный метод решения систем линейных уравнений

•Линейную систему записываем в матричном виде

•Если матрица системы квадратная и невырожденная, то система имеет единственное решение

Метод Крамера решения систем линейных уравнений

•Если матрица системы квадратная и невырожденная, то система имеет единственное решение , которое можно найти по формулам:

•= , ,

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

•Этот метод является более универсальным и может быть использован и в тех случаях, когда матрица коэффициентов не является квадратной или является квадратной, но ее определитель

•К элементарным (линейным) преобразованиям уравнений системы относят : 1) умножение уравнения на число ,отличное от нуля, 2) прибавление к одному уравнению другого, умноженного на число, отличное от нуля, 3) перемена местами двух уравнений системы

•Выполняя элементарные преобразования, получаем систему, равносильную исходной.

Преобразования удобнее проводить над расширенной

матрицей системы которая преобразуется при этом к треугольному или трапецевидному виду ( все элементы левее главной диагонали равны нулю)

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений (примеры решений)

•Для системы, рассмотренной ранее, расширенная матрица имеет вид:

•=

•

•

Ранг матрицы. Теорема Кронекера­Капелли

•Ранг матрицы целое число, равное максимальному числу линейно-независимых строк матрицы (уравнений системы)

•Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях

•Практический способ определения ранга – число ненулевых строк после приведения матрицы к трапецевидному (треугольному) виду при помощи алгоритма Гаусса.

•Пример:

•Теорема Кронекера-Капелли: для того, чтобы система линейных уравнений была совместна (имела хотя бы одно решение) необходимо и достаточно выполнение условия

•Следствия : 1) если

•система имеет бесконечное множество решений ,

•2) если , то система решений не имеет

Пример системы с бесконечным числом

решений

•(число неизвестных в системе).

•Система имеет бесконечно много решений.

•Число базисных переменных равно рангу , число свободных переменных равно ) = .

•Поэтому одну (любую) из переменных считаем произвольной .

•Пусть для определения других переменных получаем систему

•

Пример системы, которая не имеет решений

•= ,

•Система решений не имеет . Или пришли к невозможному

равенству