МАТЕМАТИКА ZIP File / Лекции бак 1 семестр / Вычисление предела функции по определению
.docxВычисление предела функции по определению.
Задача 1.
Доказать, что .
Решение.
Пусть - произвольное положительное число.
Составим неравенство согласно определению предела функции
(1) = =
= или
(2) .
В качестве можно взять . В силу равносильности (1) и (2) из неравенства будет следовать неравенство (1).
Задача 2.
Доказать, что последовательность с общим членом имеет предел, равный 1.
Решение.
Выберем произвольное положительное число и покажем, что для него можно определить такое натуральное число , что для всех номеров будет выполняться неравенство :
. Выражение под знаком модуля положительно, поэтому последнее неравенство имеет вид
.
Следовательно, если номер будет больше, чем , то неравенство будет выполняться. При этом за число принимаем наибольшее целое число, содержащееся в числе .