- •Функции нескольких переменных. Частные производные первого порядка. Производная по направлению. Градиент. Касательная плоскость.
- •Функция нескольких переменных
- •Функция двух переменных – область определения, график
- •Виды множеств точек
- •Понятия линии уровня, предела и непрерывности
- •Частные производные первого порядка
- •Производная по направлению.
- •Градиент
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Функции нескольких переменных. Частные производные первого порядка. Производная по направлению. Градиент. Касательная плоскость.
Лекция 16
Функция нескольких переменных
Функция• нескольких переменных – это закон, по которому группе
упорядоченных действительных чисел ставится в соответствие одно число
В случае функции двух переменных каждой паре упорядоченных действительных чисел по определенному правилу ставится в соответствие число : При этом областью определения функции называют множество точек плоскости , для которых вычисления по формуле имеют смысл. Графиком функции является поверхность в пространстве.
Пример. Для функции областью определения являются все точки плоскости , а графиком является параболоид
Функция двух переменных – область определения, график
• Для функции областью определения является множество точек плоскости, удовлетворяющих условию
График – полусфера
•Для функции областью определения является множество точек плоскости, удовлетворяющих условию:
•
•
Виды множеств точек
• δ - окрестность точки задается неравенством
•
•
•Все точки связного множества можно соединить кривой из точек того же множества
•
•
• (любую замкнутую |
двусвязное |
несвязное |
•кривую можно стянуть δ-окрестность внутренних точек содержит
•в точку , принадлежащую только точки того же множества. Множество из
• тому же множеству) |
внутренних точек называют открытым . |
•Область – это связное открытое множество.
•Замкнутая область включает точки границы
•Ограниченную область можно вписать в круг конечного радиуса
•Замкнутая ограниченная область – аналог понятия отрезок
Понятия линии уровня, предела и непрерывности
Линия• (поверхность) уровня – множество точек, принадлежащих области определения, для которых сохраняется постоянное значение функции
Пример 1. Для функции линиями уровня являются окружности с центром в начале координат . Так соответствует окружность
Определение предела: число называют пределом функции при условии , если для любого ε > 0 найдется число δ > 0 такое, что для всех из δ – окрестности точки выполняется
Предел существует, если он единственный и не зависит от того, по какой линии Например, = зависит от того по какой прямой идет приближение к началу координат, т. е. предел не существует
Частные производные первого порядка
•
– частное
приращение по
-частное приращение по
–полное приращение
-частная производная по переменной x при условии
-частная производная по переменной y
при условии
Функция дифференцируема в точке, если в окрестности этой точки полное приращение имеет вид :
- дифференциал (главная линейная часть)
Производная по направлению.
• |
Точки , - принадлежат области |
определения. Направление
задается вектором
, = Единичный вектор направления
- приращение функции по направлению . Производная по направлению или скорость изменения функции в данном направлении:
=β + γ
Пример: . Найти скорость изменения функции в точке в направлении .
Единичный вектор , , =
Градиент
Градиентом• функции в точке называется вектор, координаты которого равны частным производным , взятым в точке. Обозначение
Взаимосвязь градиента и производной по направлению:
Выражение для производной по направлению можно рассматривать как скалярное произведение
вектора градиента и единичного вектора или как проекцию градиента на это направление:
Скорость изменения функции максимальна в направлении градиента: φ =0, φ =1 и равна =
•Пример: градиент в точке равен
• , а скорость изменения =5
Касательная плоскость и нормаль к поверхности
• |
Касательная плоскость содержит касательные |
ко всем кривым, проходящим через данную точку поверхности. Поверхность называется
гладкой , если в каждой точке можно провести
касательную плоскость. С учетом того, что вектор градиента всегда направлен по нормали к линии (поверхности) уровня, нормаль в каждой точке поверхности
совпадает с направлением градиента:
=
Для справедливо