Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
МАТЕМАТИКА ZIP File / Лекции бак 1 семестр / 1лекция 16 Функции нескольких переменных.pptx
Скачиваний:
52
Добавлен:
10.05.2015
Размер:
1.22 Mб
Скачать

Функции нескольких переменных. Частные производные первого порядка. Производная по направлению. Градиент. Касательная плоскость.

Лекция 16

Функция нескольких переменных

Функциянескольких переменных – это закон, по которому группе

упорядоченных действительных чисел ставится в соответствие одно число

В случае функции двух переменных каждой паре упорядоченных действительных чисел по определенному правилу ставится в соответствие число : При этом областью определения функции называют множество точек плоскости , для которых вычисления по формуле имеют смысл. Графиком функции является поверхность в пространстве.

Пример. Для функции областью определения являются все точки плоскости , а графиком является параболоид

Функция двух переменных – область определения, график

Для функции областью определения является множество точек плоскости, удовлетворяющих условию

График – полусфера

Для функции областью определения является множество точек плоскости, удовлетворяющих условию:

Виды множеств точек

δ - окрестность точки задается неравенством

Все точки связного множества можно соединить кривой из точек того же множества

• (любую замкнутую

двусвязное

несвязное

кривую можно стянуть δ-окрестность внутренних точек содержит

в точку , принадлежащую только точки того же множества. Множество из

• тому же множеству)

внутренних точек называют открытым .

Область – это связное открытое множество.

Замкнутая область включает точки границы

Ограниченную область можно вписать в круг конечного радиуса

Замкнутая ограниченная область – аналог понятия отрезок

Понятия линии уровня, предела и непрерывности

Линия(поверхность) уровня – множество точек, принадлежащих области определения, для которых сохраняется постоянное значение функции

Пример 1. Для функции линиями уровня являются окружности с центром в начале координат . Так соответствует окружность

Определение предела: число называют пределом функции при условии , если для любого ε > 0 найдется число δ > 0 такое, что для всех из δ – окрестности точки выполняется

Предел существует, если он единственный и не зависит от того, по какой линии Например, = зависит от того по какой прямой идет приближение к началу координат, т. е. предел не существует

Частные производные первого порядка

– частное

приращение по

-частное приращение по

полное приращение

-частная производная по переменной x при условии

-частная производная по переменной y

при условии

Функция дифференцируема в точке, если в окрестности этой точки полное приращение имеет вид :

- дифференциал (главная линейная часть)

Производная по направлению.

Точки , - принадлежат области

определения. Направление

задается вектором

, = Единичный вектор направления

- приращение функции по направлению . Производная по направлению или скорость изменения функции в данном направлении:

=β + γ

Пример: . Найти скорость изменения функции в точке в направлении .

Единичный вектор , , =

Градиент

Градиентомфункции в точке называется вектор, координаты которого равны частным производным , взятым в точке. Обозначение

Взаимосвязь градиента и производной по направлению:

Выражение для производной по направлению можно рассматривать как скалярное произведение

вектора градиента и единичного вектора или как проекцию градиента на это направление:

Скорость изменения функции максимальна в направлении градиента: φ =0, φ =1 и равна =

Пример: градиент в точке равен

, а скорость изменения =5

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Касательная плоскость содержит касательные

ко всем кривым, проходящим через данную точку поверхности. Поверхность называется

гладкой , если в каждой точке можно провести

касательную плоскость. С учетом того, что вектор градиента всегда направлен по нормали к линии (поверхности) уровня, нормаль в каждой точке поверхности

совпадает с направлением градиента:

=

Для справедливо