2. Анализ Фурье

Метод анализа был основан на так называемых рядах Фурье. Ряд начинается с разложения сложной формы на простые. Фурье показал, что сложная форма волны может быть представлена как сумма простых волн. Как правило, уравнения, описывающие классические системы, легко решаются для каждой из этих простых волн. Далее Фурье показал, как эти простые решения можно суммировать, чтобы получить решение всей сложной задачи в целом. (Говоря языком математики, ряд Фурье — это метод представления функции суммой гармоник — синусоид и косинусоид, поэтому анализ Фурье был известен также под названием «гармонический анализ».)

Согласно гипотезе Фурье не существует функции, которую нельзя было бы разложить в тригонометрический ряд. Рассмотрим, каким образом можно провести данное разложение. Рассмотрим следующую систему ортонормированных функций на отрезка [–π, π]: {1, cos(t),sin(t),cos(2t),sin(2t),cos(3t),sin(3t), …,cos(nt),sin(nt),… }.

Руководствуясь тем, что данная система функций является ортонормированной, функцию f(t) на отрезке [π, –π] можно аппроксимировать следующим образом:

f(t) = α0 + α1cos(t) + α2cos(2t) +α3 cos(3t) + …

... + β1sin(t) + β2sin(2t) + β3sin(3t)+… (6)

Коэффициенты α_n, β_nвычисляются через скалярное произведение функции и базисной функции по формулам, рассмотренным ранее, и выражаются следующим образом:

α₀ = <f(t)>, 1> = ,

α_n = <f(t)>, cos(nt) > = ,

β_n = <f(t)>, sin(nt) > = .

Выражение (6) можно записать в сжатом виде следующим образом:

f(t) = a₀/2 + a₁cos(t) + a₂cos(2t) + a₃cos(3t) + …

+ b₁sin(t) + b₂sin(2t) + b₃sin(3t)+… (7)

где

a₀ = 2α₀=,

а_n=α_n=, (8)

b_n= β_n=. (9)

Так как при n = 0 cos(0) = 1, константа a₀/2 выражает общий вид коэффициента a_nпри n = 0.

Коэффициенты a_nи b_nназывают коэффициентами Фурье, а представление функции f(t) по формуле (7) – разложением в ряд Фурье. Иногда разложение в ряд Фурье, представленное в таком виде, называют действительным разложением в ряд Фурье, а коэффициенты – действительными коэффициентами Фурье. Термин «действительный» вводится для, того чтобы отличить данное разложение от комплексного разложения.

Проанализируем выражения (8) и (9). Коэффициентa₀представляет собой среднее значение функцииf(t) на отрезке [–π,π] или постоянную составляющую сигналаf(t). Коэффициентыa_nиb_n(приn> 0) – это амплитуды косинусных и синусных составляющих функции (сигнала)f(t) с угловой частотой равнойn. Другими словами, данные коэффициенты задают величину частотных составляющих сигналов. Например, когда мы говорим о звуковом сигнале с низкими частотами (например, звуки бас-гитары), это означает, что коэффициентыa_nиb_nбольше при меньших значенияхnи наоборот – в высокочастотных звуковых колебаниях (например, звук скрипки) больше при больших значенияхn.

Колебание самого большого периода (или самой низкой частоты), представленное суммой a₁cos(t) и b₁sin(t) называют колебанием основной частоты или первой гармоникой. Колебание с периодом равным половине периода основной частоты – второй гармоникой, колебание с периодом равным 1/n основной частоты – n-гаромоникой. Таким образом, с помощью разложения Функции f(t) в ряд Фурье, мы можем осуществить переход из временной области в частотную. Такой переход обычно необходим для выявления особенностей сигнала, которые «незаметны» во временной области.

Обратим внимание, что формулы (8) и (9) применимы для периодического сигнала с периодом равным 2π. В общем случае в ряд Фурье можно разложить периодический сигнал с периодом T, тогда при разложении используется отрезок [–T/2, T/2]. Период первой гармоники равен T и составляющие примут вид cos(2πt/T) и sin(2πt/T), составляющие n-гармоники – cos(2πtn/T) и sin(2πtn/T).

Функцию f(t) на отрезке [–T/2,T/2] можно аппроксимировать следующим образом:

f(t) = a₀/2 + a₁cos(2πt/T) + a₂cos(4πt/T) + a₃cos(6πt/T) + …

+ b₁sin(2πt/T) + b₂sin(4πt/T) + b₃sin(6πt/T)+…, (10)

где коэффициенты Фурье вычисляются по формулам:

a_n=,

b_n=.

Если обозначить угловую частоту первой гармоники ω₀= 2π/T, тогда составляющие n-гармоники принимают вид cos(ω₀nt), sin(ω₀nt) и

f(t) = a₀/2 + a₁cos(ω₀t) + a₂cos(2ω₀t) + a₃cos(3ω₀t) + …

+ b₁sin(ω₀t) + b₂sin(2ω₀t) + b₃sin(3ω₀t)+…=

=, (11)

где коэффициенты Фурье вычисляются по формулам:

a_n=,

b_n=.