13. Указание для выполнения контрольной работы

Задание №2

ЗАДАЧА 1. Определить спектры амплитуд и фаз периодической последовательности прямоугольных импульсов длительностью t и амплитудой uo, следующих с частотой w = 2p/Т.

Функция u(t) задана в виде

Таблица №31

u (t) =	uo, при t1£ t£ t2 = t +t
u (t) =	0, при t2 <t < t3 = t1 + T

В соответствии с формулой комплексного спектра

t1+t

А(jkw) = 2/Tò u0 eхр (-jkwt)dt =

t1

(2u0{ eхр (-jwt1) - eхр (-jkw(t1+t)}) / 2Tj(kw/2)

или

А(jkw)=2u0t sin (kwt/2) eхр (-jkw(t1-t/2) / T kwt/2 (1)

Амплитуды гармоник , включая постоянную составляющую, равную А0/2, определим из выражения

А(kw)=2u0t sin (wt/2) / Т kwt/2 (2)

При k = 0, 1, 2, …

Выбор начала отсчета времени на их величину не влияет. Огибающая спектра амплитуд определяется видом функции

А(w)=2u0t sin (wt/2) / Т wt/2 (3)

При w = 0 получаем

А0 = 2u0t / Т (4)

Характер изменения амплитуд диктуется функцией sinx/x и не зависит от частоты следования импульсов. На частотах, кратных 2p/t, огибающая спектра равна нулю.

Диаграмма спектра амплитуд для случая Т/t = 3 (w=2p/3t). Число составляющих в спектре бесконечно велико. Крутизна фронтов импульсов обусловлена наличием в спектре составляющих с частотами, существенно превышающими основную частоту w. Опираясь на формулу (1) и принимая во внимание, что знаки функции sin(kwt/2) на последовательности интервалов частот Dw=2p/t чередуются, выражение для спектра фаз записывается следующим образом:

j =k w(t + t/2) + ( n – 1) p, (5)

где n – номер интервала частот Dw=2p/t, отсчитываемого от w = 0.

Спектр фаз зависит от выбора начала отсчета. Если передний фронт прямоугольного импульса последовательности приходится на начало отсчета времени, то на каждом интервале Dw=2p/t фазы составляющих возрастают линейно.

ЗАДАЧА 2. Вычислить несколько первых членов ряда Фурье для периодической последовательности прямоугольных импульсов и проследить как их сумма сходится к указанному сигналу.

Воспользуемся результатами предыдущей задачи для случая периодической последовательности импульсов, у которых длительность t равна половине периода Т. Пусть t = 0. По формуле (4) определим постоянную составляющую, а по формулам (2) и (5) – амплитуды и фазы пяти первых гармоник. Четные гармоники равны нулю.

Таблица №32

wn = kw1	jk	A(kw)	Составляющие
0	0	u0	u(t) = u0/2
w1	0	(2/p) u0	u1(t) = (2/p) u0coswt
w3	p	(2/3p) u0	u1(t) = (2/3p) u0cos(3wt-p)
w5	0	(2/5p) u0	u1(t) = (2/5p) u0cos5wt

ЗАДАЧА 3. Найти спектр одиночного прямоугольного импульса, описываемого функцией времени

Таблица №33

u (t) =	Uo, при t1£ t£ t2 = t1 +t
u (t) =	0, при t2 <t < t1

Выражение для спектральной характеристики амплитуд находим в соответствии с

S(jw) =  u(t) exp(-jwt)dt = u0/jw{ exp(-jwt1) - exp(-jw(t+t)} =

= 2u0/w{sin(wt/2)exp(-jw(t1+t/2))

Искомый спектр представляет собой модуль этого выражения:

S(w) = u0t½(sin(wt/2))/(wt/2)½

ЗАДАЧА 4. Определить по теореме Котельникова шаг дискретизации Dt для детерминированной функции.

Таблица №34

u (t) =	0,5exp(-t), при t³0
u (t) =	0, при t <0

Ориентируюсь на практическую ширину спектра с h = 0,95.

По формуле

u(t) = 1/2p  S(jw)exp(jwt)dw

Находим спектральную характеристику

S(jw) = 2òexp(-t) exp(-jwt)dt = 2/(1 + jw)

Откуда

2

S(w) = 2/ Ö(1 + w )

Практическую ширину спектра определяем, пользуясь соотношением:

2 2

1/p  4(1+w)dw = 0,95/pò4(1+w)dw

Поскольку

4(1+w)dw = arctgw = p/2 ,

имеем

arctgw = 0,95p/2

По таблице значений тангенсов получаем

w = 13,1 [1/c.]

Следовательно,

Dt = p¤w = 0,24 c.

ЗАДАЧА 5. Определить, являются ли группами следующие множества кодовых комбинаций

1. 0101, 0011, 1111, 0010

2. 00000, 11010, 11100, 0100

3. 0000, 0001, 0010, 0100

Группой называют множество элементов, в котором определена одна основная операция и выполняются следующие аксиомы:

1. В результате применения операции к любым двум элементам группы образуется элемент этой же группы (требование замкнутости).

2. Для любых трех элементов группы А, В,С удовлетворяется равенство (А + В) +с = А + (В + С) (если основная операция сложение) и равенство А(ВС) = (АВ)С (если основная операция – умножение).

3. В любой группе существует однозначно определенный элемент, удовлетворяющий при всех значениях А из группы условию

А + 0 = 0 + А = А (если основная операция – сложение) или усло

вию А х 1 = 1 х А = А (если основная операция – умножение)

4. Всякий элемент А группы обладает элементом однозначно определенным уравнением А + (-А) = -А +А = 0 (если основная операция сложение) или уравнением А/А = 1 (если основная операция умножение).

ЗАДАЧА 6. Построить групповой код объемом 15 слов, способный исправить единичные и обнаружить двойные ошибки.

Известно, что для исправления всех ошибок кратности S и одновременного обнаружения всех ошибок кратности R (R  S) минимальное Хэмминговое расстояние можно выбирать из условия D  R + S + 1.

В соответствии с этим соотношением код должен обладать минимальным Хэмминговым расстоянием, равным 4. Такой код можно построить в два этапа. Сначала строится код заданного объема, способный исправить единичные ошибки. Это код Хэмминга (7,4). Затем добавляем еще один проверочный разряд, который обеспечивает четность числа единиц в разрешенных комбинациях.

Таким образом, получается код (8,4). В процессе кодирования реализуются соотношения:

А1 = (А3 + А5 + А7)mod2

А2 = (А3 + А6 + А7)mod2

А4 = (А5 + А6 + А7)mod2

А1 = (А1 + А2 + А3 + А4 + А5 + А6 + А7)mod2

Обозначим синдром кода (7,4) через S1 , результат общей проверки

8

на четность – через S2 (S2 = Ai) и пренебрегая возможностью

i=1

возникновения ошибок кратности 3 и выше, запишем алгоритм декодирования:

при S1 = 0 и S2 = 0 ошибок нет

при S1 = 0 и S2 = 1 ошибка в восьмом разряде

при S1  0 и S2 = 0 двойная ошибка (коррекция блокируется, посылается запрос повторной передачи)

при S1  0 и S2 = 0 одиночная ошибка (осуществляется ее исправление).

ЗАДАЧА 7. Используя таблицу составить правила построения кода (8,2), исправляющего все одиночные и двойные ошибки.

Таблица №35

Номер разрядов	Опознаватель	Номер разрядов	Опознаватель	Номер разрядов	Опознаватель
1	0001	7	0111	12	1100
2	0010	8	1000	13	1101
3	0011	9	1001	14	1110
4	0100	10	1010	15	1111
5	0101	11	1011	16	10000
6	0110

Усекая таблицу на восьмом разряде, найдем следующие проверочные равенства:

(А1 + А5 + А8)mod2 = 0

(А2 + А5 + А8)mod2 = 0

(А3 + А5)mod2 = 0

(А4 + А5)mod2 = 0

(А6 + А8)mod2 = 0

(А7 + А )mod2 = 0

Соответственно правила построения кода выразим соотношениями

А1 = (А5 + А8)mod2 (1)

А2 = (А5 + А8)mod2 (2)

А3 =А5 (3)

А4 = А5 (4)

А6 = А8 (5)

А7 = А8 (6)

Отметим, что для построения кода dmin =5, и, следовательно, он может использоваться для обнаружения ошибок кратности от 1 до 4.

ЗАДАЧА 8. Построить систему разделенных проверок для декодирования информационных символов рассмотренного ранее группового кода (8,2).

Поскольку код рассчитан на исправление любых единичных и двойных ошибок, число проверочных равенств для определения каждого символа должно быть не менее 5. Подставив в равенство (1) и (2) значения А8, полученные из равенств (5) и (6), и записав их относительно А5 совместно с равенствами (3) и (4) и тривиальным равенством А5 = А5, получим следующую систему разделенных проверок для символа А5:

А5 = (А6 + А1)mod2

А5 = (А7 + А2)mod2

А5 = А3

А5 = А4

А5 = А5

Для символа А8 систему разделенных проверок строим аналогично

А8 = (А3 + А1)mod2

А8 = (А4 + А2)mod2

А8 = А6

А8 = А7

А8 = А8