III-2
.pdf11.Запишите первые пять ненулевых слагаемых в разложении функции y = ln(x2 +8x +18) в ряд Тейлора в точке x0 = −4 .
12.С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислите приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагаемых:
0,5∫e−x2 dx .
0
13. Найдите несколько первых членов разложения в степенной ряд
(до |
третьей |
степени |
|
включительно) |
решения |
данного |
||
дифференциального уравнения при указанных начальных условиях: |
||||||||
|
|
|
y′ =sin y −sin x; y(0) = 0 . |
|
|
|||
|
2x, |
при |
0 ≤ x < π, |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
разложите в ряд косинусов. |
||
14. Функцию |
|
|
π |
|||||
|
|
0, |
при |
< x ≤ π. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
15. Разложите в ряд Фурье функцию, периодически продолженную с интервала (−1; 1), на котором она задана графиком. Постройте график
суммы этого ряда на отрезке [−3; 3].
В а р и а н т 6
Исследуйте на сходимость ряды.
|
|
|
|
|
arctg ( |
|
|
|
|
+9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|||||||
|
∞ |
cos 2n |
7 |
n |
|
|
|
|
|
|
∞ |
2 |
|
|
sin |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
1. |
∑ |
3 |
|
|
|
. |
|
|
|
2. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
n |
3 |
+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n!) |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
3n |
|
|
4n +1 |
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg(ln(8n −2)) |
|
|||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
2 +3n+1 |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
4. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
4 |
2n+5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 +ln |
2 |
(8n |
− |
2))(8n −2) |
|||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
4n +9 |
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
(−1) |
n 7 |
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∞ |
|
|
n |
|
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(−1) |
n−1 |
4sin(n + 4) |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
6 |
n +2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
5. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
6. |
∑ |
|
|
. |
|
||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
2 −3n |
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
n3 +1 |
|
|
|
||||||||||
7. |
Вычислите сумму ряда с точностью α = 0,0001: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑(−1)n |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Укажите наименьшее количество слагаемых, необходимое для этого. 8. Найдите область сходимости функционального ряда
∞ |
|
2x −1 |
|
n+2 |
|
∑( 2n +1 − |
|
||||
2n ) |
|
. |
|||
3x +2 |
|||||
n=1 |
|
|
|
Исследуйте его на сходимость в граничных точках его области сходимости.
9. Используя разложения функций в степенные ряды, вычислите предел
lim |
x(e2x2 − 1+ 4x |
2 ) |
. |
|
arcsin x +sin x − |
2x |
|||
x→0 |
|
10. Вычислите десятую производную в нуле от функции
arctg x −x , |
x ≠ 0, |
|||
|
x |
3 |
|
|
y = |
|
|
||
|
|
|
||
|
1 |
, |
x = 0. |
|
|
6 |
|||
|
|
|
11.Запишите первые пять ненулевых слагаемых в разложении функции y = cos(x2 −6x +5) в ряд Тейлора в точке x0 =3.
12.С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислите приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагаемых:
0,5∫x2 arctg x dx .
0
13. Найдите несколько первых членов разложения в степенной ряд (до третьей степени включительно) решения данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях:
′ |
|
x2 |
|
|
= y + |
y ; y(0) =1. |
|||
y |
14.Разложите в ряд Фурье функцию f (x) =3 −x в интервале (−2; 2) .
15.Разложите в ряд Фурье функцию, периодически продолженную с интервала (−1; 1), на котором она задана графиком. Постройте график
суммы этого ряда на отрезке [−3; 3].
В а р и а н т 7
Исследуйте на сходимость ряды.
|
∞ |
|
|
|
|
n(2 +cos πn) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
(n |
+1)! |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
2. |
∑ |
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
2 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ |
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
||||||||||||||||
|
n=1 (2n |
|
|
1) arctg(n |
|
|
n ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7n (n!) |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
sin |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
n |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
3n |
|
|
|
−(4n2 +5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3. |
∑ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
8 |
2n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(4n |
2 |
−n)ln(4n |
2 |
−n)(ln ln(4n |
2 |
−n)) |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
(−1) |
n |
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
π |
||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
n |
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(−1) |
|
cos 4n + |
3 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
5. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
. 6. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n −5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
+n |
|
|
|
|
|
|
||||||||
7. |
Вычислите сумму ряда с точностью α = 0,1: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑(−1)n |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Укажите наименьшее количество слагаемых, необходимое для вычисления суммы с заданной точностью.
8. Найдите область сходимости функционального ряда
∞ |
|
x +3 |
|
n+1 |
|
∑( |
|
||||
n +3 −n) |
|
. |
|||
5 −2x |
|||||
n=1 |
|
|
|
Исследуйте его на сходимость в граничных точках его области сходимости.
9. Используя разложения функций в степенные ряды, вычислите предел
lim cos 2x +2x arctg x −1 . x→0 ln(1 +2x3 ) −2sin(x3 )
10. Вычислите тринадцатую производную в нуле
ex3 −1 |
, |
x ≠ 0, |
||
|
|
2 |
||
y = |
x |
|
|
|
|
|
|
x = 0. |
|
|
0, |
|
11.Запишите первые пять ненулевых слагаемых в разложении функции y =sin(x2 −4x +1) в ряд Тейлора в точке x0 = 2 .
12.С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислите приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагаемых:
|
|
|
|
∫1 |
1 −cos x |
dx . |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
13. |
Найдите несколько первых членов разложения в степенной ряд |
||||||||||||
(до |
третьей |
степени |
|
включительно) |
|
решения |
данного |
||||||
дифференциального уравнения при указанных начальных условиях: |
|||||||||||||
|
|
|
′ |
= x + y |
2 |
; y(0) =1. |
|
|
|
||||
|
|
y |
|
|
|
|
|||||||
14. |
Разложите в ряд Фурье функцию f (x) = |
|
x |
|
в интервале (−3; 3) . |
||||||||
|
|
||||||||||||
15. |
Разложите в ряд Фурье функцию, периодически продолженную с |
||||||||||||
интервала (−1; 1), на котором она задана графиком. Постройте график |
|||||||||||||
суммы этого ряда на отрезке |
[ |
|
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
−3; 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
В а р и а н т 8
Исследуйте на сходимость ряды.
|
∞ |
cos |
|
n |
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
||||||||
1. |
∑ |
3 |
|
|
n . |
|
|
|
|
2. |
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||
|
|
|
n2 −1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
−n |
) |
|||||||||||||||||||||
|
n=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
3 n! arcsin (3 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
3n +5 4n2 +n+3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1) |
n+1 |
|
|
|
2n |
+ |
π |
|||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
cos |
|
||||||||||||||
3. |
∑ |
3n −6 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
4. |
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
. |
|||||||||
3n−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 n7 |
+n5 −1 |
|
||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6n +1 |
|
|
n=1 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||
(3n |
2 |
+n)(1+ln |
2 |
(3n |
2 |
+n))arctg |
2 |
(ln(3n |
2 |
+n)) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(−1) |
n 4 |
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∞ |
|
|
n |
|
|
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
7n +9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7. |
Вычислите сумму ряда с точностью α = 0,1: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑(−1)n |
n |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Укажите наименьшее количество слагаемых, необходимое для этого. 8. Найдите область сходимости функционального ряда
∞ |
|
|
2x −3 |
|
n−2 |
∑( 2n − |
2n −5) |
|
|||
|
1 −x |
. |
|||
n=3 |
|
|
|
|
Исследуйте его на сходимость в граничных точках его области сходимости.
9. Используя разложения функций в степенные ряды, вычислите предел
|
x sin 2x −2ln(1 + x2 ) + |
x4 |
|
|
|
||||||
|
|
||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
. |
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
||
x→0 1 |
− |
+ x arctg x − |
1 +2x2 |
|
|||||||
|
|
||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. Вычислите семнадцатую производную в нуле |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
) −1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos(x |
x ≠ 0, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
y = |
x3 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
0, |
|
x = 0. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
11.Запишите первые пять ненулевых слагаемых в разложении функции y = ex2 −2x+4 в ряд Тейлора в точке x0 =1.
12.С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислите приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагаемых:
0,5∫1 −e−x dx .
0 x
13. Найдите несколько первых членов разложения в степенной ряд (до четвертой степени включительно) решения данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях:
y |
′′ |
′ |
′ |
= −1. |
|
= xyy ; |
y(0) =1; y (0) |
14. Разложите функцию в ряд Фурье по косинусам
cos πx, |
при |
0 |
≤ x ≤ |
1 |
, |
||
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0, |
при |
< x ≤1. |
||||
|
|||||||
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
15. Разложите в ряд Фурье функцию, периодически продолженную с интервала (−1; 1), на котором она задана графиком. Постройте график
суммы этого ряда на отрезке [−3; 3].
В а р и а н т 9
Исследуйте на сходимость ряды.
|
∞ |
|
|
|
|
sin |
2 |
( |
n ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(2n)! |
tg |
1 |
. |
|
|
|
||||||||||
1. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
2. |
|
∑ |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||||||||||
|
= |
(n |
2 |
+3)arctg |
3 |
n |
2 |
+5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
n! |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
5n +1 −5n2 −2n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
∑ |
|
5n +4 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n=1 |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
2n +2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(n |
2 |
+2n |
+2)(1+ln |
2 |
(n |
2 |
+ 2n +2)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(−1) |
n 5 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
π |
||||||||
|
∞ |
|
|
|
n |
|
arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(−1) |
|
|
3sin |
3n − |
2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 n − |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
. 6. |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9n +7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
3 |
+1 |
|
|
|||||||||||||
|
n=1000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7. |
Вычислите сумму ряда с точностью α = 0,001: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n −1) |
2 |
(2n +1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Укажите наименьшее количество слагаемых, необходимое для этого. 8. Найдите область сходимости функционального ряда
∞ |
|
|
4x +1 |
n+3 |
|
∑( 3n − |
3n −2) |
|
|||
|
|
. |
|||
|
|||||
n=1 |
|
|
x +3 |
|
Исследуйте его на сходимость в граничных точках его области сходимости.
9. Используя разложения функций в степенные ряды, вычислите предел
|
cos x + x arctg |
x |
−1 |
||
|
|
||||
lim |
2 |
|
|
. |
|
arcsin(x2 ) −x2ex |
4 |
||||
x→0 |
|
|
10. Вычислите девятнадцатую производную в нуле
|
|
3 |
|
|
|
sin(x |
) , |
x ≠ 0, |
|||
|
|||||
y = |
x2 |
|
|
|
|
|
0, |
|
|
x = 0. |
|
|
|
|
11.Запишите первые пять ненулевых слагаемых в разложении функции y = ln(x2 +6x +11) в ряд Тейлора в точке x0 = −3.
12.С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислите приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагаемых:
∫1 x2e−x dx .
0
13. Найдите несколько первых членов разложения в степенной ряд (до третьей степени включительно) решения данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях:
|
|
y′= xy2 −1; |
y(0) =1. |
|
14. |
Разложите в ряд Фурье функцию |
|||
|
|
−1, |
при |
−π< x < 0, |
|
|
|
при |
0 < x < π. |
|
|
1, |
||
15. |
Разложите в ряд Фурье функцию, периодически продолженную с |
|||
интервала |
(−1; 1), на котором она задана графиком. Постройте график |
суммы этого ряда на отрезке [−3; 3].
В а р и а н т 10
Исследуйте на сходимость ряды.
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
cos n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
6 |
n |
(n |
2 |
−1) |
arctg |
|
1 |
|
. |
||||||||||
1. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
2. |
∑ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
(3n −1)arctg(2n +4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
n! |
|
|
|
|
6 |
|||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
2n |
7n +2 3n2 −5n+3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n−3 |
|
7n −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n=1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(2 +n |
3 |
)(2 |
+n |
3 |
)ln ln(2 |
+n |
3 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
(−1) |
n |
5 |
|
|
4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
π |
|
π |
|||||||||||
|
∞ |
|
|
|
n |
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
(−1) |
|
|
5cos |
|
+ |
4 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
5. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n +8 |
. |
|
|
|
6. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4n +5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
+ |
4n |
− |
n |
|
|||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7. |
Вычислите сумму ряда с точностью α = 0,0001: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
(−2) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
((2n +1)!) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Укажите наименьшее количество слагаемых, необходимое для этого. 8. Найдите область сходимости функционального ряда
∞ |
|
|
x −1 |
n−1 |
|
∑( n +3 − |
n −3) |
|
|||
|
|
. |
|||
|
|||||
n=3 |
|
|
4x +2 |
|
Исследуйте его на сходимость в граничных точках его области сходимости.
9. Используя разложения функций в степенные ряды, вычислите предел
|
3arctg x −x ln(1 −2x2 ) −3x |
− |
13 |
x5 |
|
|
|
||||
lim |
|
|
5 |
. |
|
|
|
|
|||
x→0 |
x (6 1 +4x4 −cos 2x −2x2 ) |
10. Вычислите десятую производную в нуле от функции
|
|
2 |
|
|
|
ln(1 +2x |
) , |
x ≠ 0, |
|||
|
|||||
y = |
x2 |
|
|
|
|
|
2, |
|
|
x = 0. |
|
|
|
|