Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южно-Уральский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

III-2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.05.2015

Размер:

684 Кб

Скачать

☆

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Южно-Уральский государственный университет Кафедра математического анализа

51(07) Д-436

В.Л. Дильман, Т.В. Ерошкина, А.А. Эбель

ТИПОВЫЕ РАСЧЕТЫ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Сборник задач

Часть 3

Челябинск Издательство ЮУрГУ

2005

Типовой расчет №2 Ряды

В а р и а н т

Исследуйте на сходимость ряды.

∞

sin2

n )

∞

2n (n +1)

∑

(

)

n=1 n n arctg

n=2

(n −1)! arctg

n +

−n2 +2n−2

∞

∑

n=1

3 n +1

∞

∑

ln(1+n

)(1

)ln ln(1 +n

)

n=2

(−1)

∞

n arcsin

∞

(−1)

n+1

+2)

n +1

∑

6. ∑

cos(3n

2n +1

n=1

+n −1

Вычислите сумму ряда с точностью α = 0,01:

∞

∑(−1)n+1

n=1

Укажите наименьшее количество слагаемых, необходимое для этого. 8. Найдите область сходимости функционального ряда


∞		2x +3		n−1
∑( n +3 −		2x +3
	n +1)		.
	n +1)		.
n=1		x −1

Исследуйте его на сходимость в граничных точках его области сходимости.

9. Используя разложения функций в степенные ряды, вычислите предел


	2ex2		+cos (2x )−3 −						5		x4

lim								3					.
	(	−x2		)	+arctg	(	2x	2		)		+ x4

x→0 2ln 1

10. Вычислите десятую производную в нуле от функции y = x2e2x2 .

11.Запишите первые пять ненулевых слагаемых в разложении функции y = ln(x2 −2x +4) в ряд Тейлора в точке x0 =1.

12.С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислите приближенно интеграл с точностью до 0,001:

0,5∫ arctg x dx .

0 x

13. Найдите несколько первых членов разложения в степенной ряд (до четвертой степени включительно) решения данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях:

′′	′	+2y	= 0; y(0) =1;	′		= 0 .
y	+ xy			y (0)
14. Разложите в ряд Фурье функцию f (x) =				x2	в интервале (−π; π) .
				4

15. Разложите в ряд Фурье функцию, периодически продолженную с интервала (−1; 1), на котором она задана графиком. Постройте график

суммы этого ряда на отрезке [−3; 3].

В а р и а н т

Исследуйте на сходимость ряды.

(n!)

∞

2 +(−1)

∞

∑arctg (n +

n )sin

∑

n +2

n 1

2n +1 3n2 +5n−1

n 1

∞

3. ∑

∑

n+1

2n +

n ln n(ln ln n)

n=1

n=3

(−1)

∞

n sin

∞

(−1)

n+3

sin(n

+5)

5. ∑

n +1

∑

3n −1

n=1

Вычислите сумму ряда с точностью α = 0,01:

∞

∑(−1)n+1

(n +

1)!

n=1


∞		x +2		n+2
∑( 2n +3 −
	2n )		.

n=1		2x −1

Исследуйте его на сходимость в граничных точках его области сходимости.

9. Используя разложения функций в степенные ряды, вычислите предел

	e−x2	+ x sin x −e	x4
lim	e−x2	+ x sin x −e	3		.
lim					.
x→0 ln(1+ x2 ) −x arcsin x +				2 x4
				3

10. Вычислите двенадцатую производную в нуле

cos(2x) −1		,	x ≠ 0,
	x2
y =
	2,		x = 0.

11.Запишите первые пять ненулевых слагаемых в разложении функции y = ex2 +4x−2 в ряд Тейлора в точке x0 = −2 .

12.С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислите приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагаемых:

0,25 x

∫0 ex dx .

13. Найдите несколько первых членов разложения в степенной ряд (до третьей степени включительно) решения данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях:

′	2	; y(0)	=1.
y	= xy + y

14.Разложите в ряд Фурье функцию f (x) = sin x .

15.Разложите в ряд Фурье функцию, периодически продолженную с интервала (−1; 1), на котором она задана графиком. Постройте график

суммы этого ряда на отрезке [−3; 3].

В а р и а н т

Исследуйте на сходимость ряды.

πn

n+1

∞

arctg(2n +

1) 4

+cos

∞

+1)sin

∑

. 2. ∑

n(n +1)

(n +1)!

n=1

∞

3n n −5

2n2 +4n+3

∑

n+1

n=1

∞

∑

ln(1+n

)(1+n

)(ln ln(1+n

))

n=2

(−1)

∞

n arctg

∞

(−1)

2cos(4n

+3n +2)

∑

n +2

6. ∑

5n +7

n=1

Вычислите сумму ряда с точностью α = 0,001:

∞

∑(−1)n+1

(2n)

n=1

∞		3x −1		n−2
∑( n +5 −
	n )		.
		2 −x
n=1

Исследуйте его на сходимость в граничных точках его области сходимости.

9. Используя разложения функций в степенные ряды, вычислите предел


	sin x −x cos x −	x3	+	x5
lim	sin x −x cos x −	3	+	30	.
		3		30

x→0	x ln(1+ x3 ) −arctg(x4 )

10. Вычислите восьмую производную в нуле

sin(3x) −3x				,	x ≠ 0,
	x3
y =		9
	−	9	,		x = 0.

		2
		2

11.Запишите первые пять ненулевых слагаемых в разложении функции y = x arctg(2x2 +4x +2) в ряд Тейлора в точке x0 = −1.

0,8

∫x2 cos x dx .

y	′′	= ye	x	+1;	′	=1.
					y(0) = 2; y (0)

14.Разложите в ряд Фурье функцию f (x) = x в интервале (0; 2π) .

15.Разложите в ряд Фурье функцию, периодически продолженную с интервала (−1; 1), на котором она задана графиком. Постройте график

суммы этого ряда на отрезке [−3; 3].

В а р и а н т 4

Исследуйте на сходимость ряды.

	∞							5 +sin n			2							∞				10		n	(n!)				2
1.	∑							5 +sin n							.	2.		∑				10			(n!)							.
1.	∑	(		3		n	7	+1)arctg(4n				+9)			.	2.		∑											1			.
	n=1			3			7											n=1											1
																			(2n)! arcsin
																			(2n)! arcsin
																													n +n
	∞		1				3n +2 5n2 −2n−1											∞					1
3.	∑											.				4.		∑												.
3.	∑				n							.				4.		∑	n ln n(1+ln								2	ln n)		.
	n=1	7					3n −4											n=3	n ln n(1+ln									ln n)
											1
	∞ (−1)n 4 n tg																	∞	(−1)		n−3		sin(ln(e +n))
	∞ (−1)n 4 n tg								5									∞			n−3
5.	∑									n +2				.		6. ∑															.
5.	∑							4n −3						.		6. ∑					n	5	+n			2		+	5		.
	n=1							4n −3										n=1			n		+n					+	5
7.	Вычислите сумму ряда с точностью α = 0,001:
													∞					1
													∑(−1)n+1					1		.
													∑(−1)n+1				n!(2n +1)			.
													n=1				n!(2n +1)

∞		2x +1		n+1
∑( 3n +1 −
	3n )		.
		2 −3x
n=1

Исследуйте его на сходимость в граничных точках его области сходимости.

9. Используя разложения функций в степенные ряды, вычислите предел

	1 −4x2 −cos(2x) +				8	x4
	1 −4x2 −cos(2x) +					x4
lim				3				.
lim	3x3 arcsin(2x)		+ x2 ln(1 −				6x2 )	.
x→0	3x3 arcsin(2x)		+ x2 ln(1 −				6x2 )
10. Вычислите тринадцатую производную в нуле
			3
	ln(1 −x		3	) , x ≠ 0,
	ln(1 −x			) , x ≠ 0,
	y =	x2
		0,		x = 0.
		0,		x = 0.

11.Запишите первые пять ненулевых слагаемых в разложении функции y =sin(x2 +6x +7) в ряд Тейлора в точке x0 = −3.

∫1 sin x dx .

0 x

′	= e	y	+ xy; y(0)	= 0 .
y

14.Функцию f (x) = x2 в интервале (0; π) разложите в ряд синусов.

15.Разложите в ряд Фурье функцию, периодически продолженную с интервала (−1; 1), на котором она задана графиком. Постройте график

суммы этого ряда на отрезке [−3; 3].

В а р и а н т 5

Исследуйте на сходимость ряды.

) arctg (

n +2n)

∞

(2 +(−1)

∞

(2n +2)! tg

∑

. 2.

∑

3n −

(3n +5) 2

n=1

∞

2n+1

−(3n2 +5)

∑

2n +1

n=1

∞

2n +1

∑

+n +1)(1+ln

+n +1))

n=1

(−1)n

3 n arcsin

∞

(−1)

n+1

cos(n

+n +2)

−

∑

. 6.

∑

8n −5

+7n −6

n=4

n=1

Вычислите сумму ряда с точностью α = 0,01:

∞

2n +1

∑(−1)

(n +

n=1

∞		4x +3		n−1
∑( n −
	n −1)		.
		x −1
n=1

Исследуйте его на сходимость в граничных точках его области сходимости.

9. Используя разложения функций в степенные ряды, вычислите предел

lim	6x sin x +arctg(x4 ) −6x					2	.
	3	1 +3x2	−ex		+ 3 x4
x→0				2

					2

10. Вычислите пятнадцатую производную в нуле

	1	+2x	4 −1
				,	x ≠ 0,
		x		,	x ≠ 0,
y =		x
		0,			x = 0.
		0,			x = 0.

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.07.201916 Кб7IAM_DJ.rtf
#
28.08.2019392 Кб5IGA_080301_Kommertsia_torgovoe_delo.doc
#
08.05.2015355 Кб13IGA_080502_Ekonomika_i_upravlenie_na_predpriat.doc
#
09.05.2015709 Кб38II-1.pdf
#
09.05.2015349 Кб17II-2.pdf
#
09.05.2015684 Кб21III-2.pdf
#
01.03.2025148 Кб3IIIкурс.doc
#
01.07.2025262 Кб1ILA.docx
#
07.09.2019918 Кб75Ildyakov_Kolmakova_Metodicheskie_rekommendatsii...doc
#
01.04.2025422 Кб0ilya_dal.docx
#
08.05.20153 Мб237iMachining от SOLIDCAM.pdf