II-2

Типовой расчет №2 Функции нескольких переменных

В а р и а н т 1

1. Найдите и изобразите на плоскости область определения функции:

3.Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найдите dudt , если u = ex2 +3y5 , где x = sin 2t , y = t3 .

4.Найдите производные z′x и z′y от функции, заданной неявно:

x2 +z2 −2y2 −5xz +10z3 −5 = 0 .

5.Найдите дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции:

z=sin2 (2x + y) .

6.Используя понятие дифференциала, найдите приближенное значение функции f (x; y) = xy в точке (1,04; 2,05).

7.Составьте уравнения касательной прямой и нормальной

В а р и а н т 2

1. Найдите и изобразите на плоскости область определения функции:

z = ln x +ln(y2 −4x) .

2. Вычислите

3.Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найдите dudt , если u =3z2 +zy5 + y3 , где z =sin t , y =e2t2 .

4.Найдите производные z′x и z′y от функции, заданной неявно:

xy −5xyz = 20xz .

5.Найдите дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции:

z=cos2 (3x +5y) .

6.Используя понятие дифференциала, найдите приближенное

В а р и а н т 3

1. Найдите и изобразите на плоскости область определения функции:

3.Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции,

найдите dudt , если u = ln arcsin(x − y) , где x =3t2 , y = 1t .

4.Найдите производные z′x и z′y от функции, заданной неявно:

z3 +5yz =a3 , a = const .

5. Найдите дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции:

z= tg(x +7y) .

6.Используя понятие дифференциала, найдите приближенное

7.Составьте уравнения касательной прямой и нормальной плоскости для линии x = et cos t , y = et sin t , z = et в точке (1; 0; 1).

8.Исследуйте на экстремум функцию:

z = 2x2 +4y2 + y −xy .

В а р и а н т 4

1. Найдите и изобразите на плоскости область определения функции:

2. Вычислите

x2 −2y2 lim x2 y2 .

xy→→00 +

3. Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найдите dudt , если u =5x3 +4x2 − y , где x = cos t , y =e2t .

4. Найдите производные z′x и z′y от функции, заданной неявно:

ez −xyz =3xy .

5. Найдите дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции:

z= exy .

6.Используя понятие дифференциала, найдите приближенное

значение функции f (x; y) = xy+1 в точке (0,98; 2,02).

7.Составьте уравнения касательной прямой и нормальной плоскости для линии x = 2t , y = ln t , z = t2 в точке (2; 0; 1).

8.Исследуйте на экстремум функцию:

z = 2x2 +3y −xy +4 .

В а р и а н т 5

1. Найдите и изобразите на плоскости область определения функции:

z = ln(y2 −4x +8)−1 .

2. Вычислите

3.Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найдите dudt , если u =cos(x2 +5y) , где x =e3t , y =sin 2t .

4.Найдите производные z′x и z′y от функции, заданной неявно:

sin(xyz) −x2 y +z = 0.

5. Найдите дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции: z = x sin2 y .

6. Используя понятие дифференциала, найдите приближенное значение функции f (x; y) =ln (3 x + 4 y −1)в точке (1,03; 0,98).

7.Составьте уравнения касательной прямой и нормальной плоскости для линии x = cos t , y =sin t , z = ln cos t в точке (1; 0; 0).

8.Исследуйте на экстремум функцию:

z = x2 −2y2 +4xy +4y .

9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

x

z = e 2 (x + y2 ) на замкнутом множестве, ограниченном линиями x =0, x =1, y =0 , y =3.

В а р и а н т 6

1. Найдите и изобразите на плоскости область определения функции:

3. Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции,

найдите dudt , если u =sin(2x3 + y3 ) , где x = ln 2t , y = t3 .

4. Найдите производные z′x и z′y от функции, заданной неявно:

cos(x2 yz) + xy +5z = 0 .

5. Найдите дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции:

z= ycos2 x .

6.Используя понятие дифференциала, найдите приближенное

значение функции f (x; y) = ex3y4 −8 в точке (2,02; 0,97).

7.Составьте уравнения касательной прямой и нормальной плоскости для линии x = t , y = t3 , z = ln t в точке (1; 1; 0).

8.Исследуйте на экстремум функцию:

z = x2 +xy + y2 −2x − y .

9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции z = 2x3 −xy на замкнутом множестве, ограниченном линиями y = 2x , y = x , x =1.

В а р и а н т 7

1. Найдите и изобразите на плоскости область определения функции:

z = ln(1−x2 − y2 ) .

2. Вычислите

5

lim(1+2xy)xy .

x→0 y→0

3. Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции,

значение функции f (x; y) = ln (3 x − 4 y )в точке (8,03; 0,99).

7.Составьте уравнения касательной прямой и нормальной плоскости для линии x = 2cos t , y =3sin t , z =5 в точке (0; 3; 5).

8.Исследуйте на экстремум функцию:

z =3x2 + y2 +3x −4y +1.

В а р и а н т 8

1. Найдите и изобразите на плоскости область определения функции:

7.Составьте уравнения касательной плоскости и нормальной прямой для поверхности z =3x2 +4xy − y2 в точке (0; 1; −1).

8.Исследуйте на экстремум функцию:

z = x2 +xy + y2 −2x − y .

В а р и а н т 9

1. Найдите и изобразите на плоскости область определения функции:

3.Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции,

найдите dudt , если u = ln arctg(x) , где x = et .

4.Найдите производные z′x и z′y заданной неявно функции:

yezx +2z3x2 y =0 .

5. Найдите дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции: z = ln(xy) .

6. Используя понятие дифференциала, найдите приближенное значение функции f (x; y) = ln (3 x − y )в точке (8,03; 1,02).

7.Составьте уравнения касательной плоскости и нормальной прямой для поверхности z = 2x2 +3y2 в точке (1; −1; 5).

8.Исследуйте на экстремум функцию:

z =(x −1)2 −2y2 .