II-2

В а р и а н т 10

1. Найдите и изобразите на плоскости область определения функции:

3. Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции,

4.Найдите производные z′x и z′y функции, заданной неявно:

x2ezy +xyz =3.

5.Найдите дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции:

z= arctg(xy) .

6.Используя понятие дифференциала, найдите приближенное значение функции f (x; y) = x2 y в точке (1,02; 2,02).

7.Составьте уравнения касательной плоскости и нормальной прямой для поверхности x2 −2y2 −z2 =3 в точке (−2; 0; 1).

8.Исследуйте на экстремум функцию:

z =(x −1)2 +2y2 .

В а р и а н т 11

1. Найдите и изобразите на плоскости область определения функции:

2. Вычислите

x4 −2y4 lim .

xy→→00 3x4 + y4

3. Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции,

zsin(x2 y) +xyz =5 .

5. Найдите дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции:

z=(x −y)exy .

6.Используя понятие дифференциала, найдите приближенное

значение функции f (x; y) = 2x + y2 в точке (8,01; 3,03).

7.Составьте уравнения касательной плоскости и нормальной прямой для поверхности x2 −y2 −5z =0 в точке (0; 5; −5).

8.Исследуйте на экстремум функцию:

z =3x2 +18xy +18y −8x +8 .

В а р и а н т 12

1. Найдите и изобразите на плоскости область определения функции:

z = arcsin xy .

2. Вычислите

3. Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции,

6.Используя понятие дифференциала, найдите приближенное значение функции f (x, y) = ex3y2 −1 в точке (1,02; 0,98).

7.Составьте уравнения касательной плоскости и нормальной прямой для поверхности z2 + x2 =5 в точке (−1; 6; 2).

8.Исследуйте на экстремум функцию:

z =7x2 −6xy +3y2 −4x +7y −12 .

В а р и а н т 13

1. Найдите и изобразите на плоскости область определения функции:

z = 1−x2 + y2 −1.

2. Вычислите

3.Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найдите dudt , если u =sin(t3 +5x2 + y) , где x = et , y = 2t .

4.Найдите производные z′x и z′y заданной неявно функции:

ezx −cos(2xz) + y2 = 0 .

5. Найдите дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции:

z= arctg(x +2y) .

6.Используя понятие дифференциала, найдите приближенное

В а р и а н т 14

1. Найдите и изобразите на плоскости область определения функции:

z= arcsin(xy).

6.Используя понятие дифференциала, найдите приближенное

значение функции f (x; y) = x2 21+ y2 в точке (2,03; 2,01).

7.Составьте уравнения касательной плоскости и нормальной прямой для поверхности z2 +2x3 −3y2 −3 = 0 в точке (1; 1; 2).

8.Исследуйте на экстремум функцию:

z =6 −3x2 −4y2 +x −y .

В а р и а н т 15

1. Найдите и изобразите на плоскости область определения функции:

z = arcsin yx2 +arcsin(1 − y) .

2. Вычислите

3. Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции,

найдите dudt , если u = ln cos(xy) , где x = 5 t3 , y = et .

4.Найдите производные z′x и z′y заданной неявно функции:

xy +zx − yz = 0 .

5.Найдите дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции:

z=sin(xy) .

6.Используя понятие дифференциала, найдите приближенное значение функции f (x; y) =ln(x3 + y2 ) в точке (0,04; 1,04).

7.Найдите градиент функции z =sin2 3x +e−y в точке π; 2 .

6

8. Исследуйте на экстремум функцию:

z =3ln x +xy2 −y3 .

9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции z = x2 −2y2 +4xy +4y на замкнутом множестве, ограниченном линиями x = 0, y =0 , y +2x = 2.

В а р и а н т 16

1. Найдите и изобразите на плоскости область определения функции:

3.Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найдите dudt , если u = ex2 +3y4 +t , где x = sin t , y = 2t +5.

4.Найдите производные z′x и z′y заданной неявно функции:

x2 +4y2 =1.

В а р и а н т 17

3. Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции,

4. Найдите производные z′x и z′y заданной неявно функции: z2 ln(y +z) − xz2 =1.

5. Найдите дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции:

6.Используя понятие дифференциала, найдите приближенное значение функции f (x; y) = 2x3 +3yx2 + y2 в точке (1,02; 1,05).

7.Найдите градиент функции z = tg(2x2 +3yx2 −5) в точке (2; 1).

8.Исследуйте на экстремум функцию:

z = yx −2x2 +6y − y2 +3 .

9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции z = 2x2 +3y −xy +4 на замкнутом множестве, ограниченном линиями x =0, y =0 , y = x +1.

В а р и а н т 18

1. Найдите и изобразите на плоскости область определения функции:

z = arctg e−xy −1.

2. Вычислите

3. Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции,

найдите dudt , если u =arcsin(5x +3y2 ) , где x = 2t4 +1, y = 1t .

4. Найдите производные z′x и z′y заданной неявно функции:

z

xz −e y + x3 + y3 = 0 .

5. Найдите дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции:

9x2 +4y2 =1.

В а р и а н т 19

1. Найдите и изобразите на плоскости область определения функции:

z = ln(−y) + x −4y2 .

2. Вычислите

3. Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции,

4. Найдите производные z′x и z′y заданной неявно функции:

x

yz −e y +z2 + x3 +4y3 = 0 .

5. Найдите дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции:

z = (x2 + y2 )−12 .

6. Используя понятие дифференциала, найдите приближенное