II-2
.pdf
В а р и а н т 20
1. Найдите и изобразите на плоскости область определения функции:
z = x +2 −5 −6y − y2 .
2. Вычислите
sin(xy) lim .
xy→∞→∞ x + y
3. Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции,
найдите |
du |
, если u = tg(t +3x4 |
+ y) , где x = ln t , y =e2t . |
|||
|
||||||
|
|
dt |
|
|
|
|
4. |
Найдите производные z′x |
и z′y заданной неявно функции: |
||||
|
|
|
|
z |
||
|
|
|
xyz −e5 + x2 + y2 = 0 . |
|||
5. |
Найдите дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции: |
|||||
|
|
|
|
z = x ln |
y |
. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x |
|
6. |
Используя понятие дифференциала, найдите приближенное |
|||||
значение функции f (x; y) = x4 + y3 в точке (1,02; 1,98).
7.Найдите градиент функции z =cos3 (2y −x) в точке π; π .
4 2
8.Исследуйте на экстремум функцию:
z =(x −2)2 +2y2 .
9. Найдите |
наибольшее |
и наименьшее значения функции |
||||
z = 2 −4x2 − y2 +4y − |
4 |
y3 |
на |
замкнутом множестве, ограниченном |
||
3 |
||||||
линией 4x2 + y2 |
=1. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
В а р и а н т 21
1. Найдите и изобразите на плоскости область определения функции:
z =ln(x2 + y2 −6x +5) .
2. Вычислите
xy +sin x lim . xy→∞→∞ xy +sin y
3. Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции,
найдите |
du |
, если u =ctg(tx −2y3 ), где x = t +1 , y = ln(2t) . |
|
dt |
|||
|
|
4. Найдите производные z′x и z′y заданной неявно функции:
z3 ln(x + y) − x2 y =10. 3
5. Найдите дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции:
|
|
|
z = |
y |
− |
x |
. |
|
|
|
x |
|
|||
|
|
|
|
|
y |
||
|
6. |
Используя понятие дифференциала, найдите приближенное |
|||||
значение функции f (x; y) = 3 x3 + y в точке (2,025; 117,15). |
|||||||
|
7. |
Найдите градиент функции |
z = arctg(ln(1−x) + y) в точке |
||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
0; |
|
. |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
8. |
Исследуйте на экстремум функцию: |
|
|
|
z = x4 +4xy −2y2 . |
|
|
9. |
Найдите наибольшее и |
наименьшее значения |
функции |
z = xy −3x2 +x +1 на замкнутом |
множестве, ограниченном |
линиями |
|
x =1, y = 2, xy =1. |
|
|
|
В а р и а н т 22
1. Найдите и изобразите на плоскости область определения функции:
z = x2 y 4 x2 + y2 + y .
2. Вычислите
|
|
1 −cos xy |
|
|
lim |
. |
|||
2 2 |
||||
xy→→00 |
|
x + y |
|
|
3. Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции,
найдите |
du |
, если u = |
1 |
e2t2 |
(x3 |
− y) , где x = t +1 , y = t2 |
+1. |
|
dt |
5 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
4.Найдите производные z′x и z′y заданной неявно функции:
x2 ln(yz) + yz −7 = 0 .
5.Найдите дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции:
z=(x + y)exy .
6.Используя понятие дифференциала, найдите приближенное
значение функции f (x; y) = 12 + x2 y3 в точке (2,02; 2,98). |
|
|||
7. |
Найдите |
производную |
функции z =3cos2 3x +ln(1−y) |
в точке |
(0; 0) в направлении биссектрисы первого координатного угла. |
|
|||
8. |
Исследуйте на экстремум функцию: |
|
||
|
|
z = 2x2 +4xy −2y2 . |
|
|
9. |
Найдите |
наибольшее |
и наименьшее значения |
функции |
z =6 −3x2 +x −3xy на замкнутом множестве, ограниченном линиями x = 2, y = 2, xy = 2.
В а р и а н т 23
1. Найдите и изобразите на плоскости область определения функции:
z = 2x − 8 −2y .
2. Вычислите
n(m2 +3n +4) lim . nm→∞→∞ m2 (2n3 +1 −n)
3.Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции,
найдите dudt , если u = t2 +3sin x −4cos(x + y), x = et , y =sin t .
4.Найдите производные z′x и z′y заданной неявно функции:
|
arctg(x − y) −zy + x = 0 . |
|
|
5. |
Найдите дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции: |
||
|
z = arctg(3x − y) . |
|
|
6. |
Используя понятие дифференциала, найдите приближенное |
||
значение функции f (x; y) = x2 |
13 + y в точке (3,02; 3,03). |
||
7. |
Найдите производную функции z = e−x2 (1−3y) в точке (1; 1) в |
||
|
G |
|
|
направлении вектора a ={1; −3}. |
|
||
8. |
Исследуйте на экстремум функцию: |
|
|
|
z =3x +6y −x2 −xy + y2 . |
||
9. |
Найдите наибольшее |
и наименьшее |
значения функции |
z =18 −x2 −6y3 −4y2 на замкнутом множестве, |
ограниченном линией |
||
x2 +4y2 =1.
В а р и а н т 24
1. Найдите и изобразите на плоскости область определения функции:
|
|
|
z = ln(3 − |
x − y) . |
|||
2. |
Вычислите |
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim(1 + xy) |
x2 +y2 . |
|||
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
y→0 |
|
|
|
|
3. |
Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, |
||||||
найдите |
du |
, если u = arcsin(ty) , где |
y = t−12 . |
||||
dt |
|||||||
4. |
Найдите производные z′x и z′y |
заданной неявно функции: |
|||||
arctg(2x −3y) + xyz =8.
5. Найдите дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции:
z= ey sin x .
6.Используя понятие дифференциала, найдите приближенное
значение функции f (x; y) = y |
7 + x2 |
в точке (3,02; 0,04). |
||
7. |
Найдите производную функции z = tg(2 x −4y) в точке (4; 1) в |
|||
|
G |
|
|
|
направлении вектора a ={1; 0}. |
|
|||
8. |
Исследуйте на экстремум функцию: |
|||
|
|
z = e |
x |
(x + y2 ) . |
|
|
2 |
||
9. |
Найдите наибольшее |
и |
наименьшее значения функции |
|
z = 4x −2x2 +6yx +1 на замкнутом множестве, ограниченном линиями y = x2 , y = 2x , y = x2 .
В а р и а н т 25
1. Найдите и изобразите на плоскости область определения функции:
z =arccos x2 . y2
2. Вычислите
|
sin(x |
+ y) |
|||||
lim |
|
|
|
|
. |
||
3 |
x + |
3 |
y |
||||
y→0 |
|
|
|||||
x→0 |
|
|
|
|
|||
3. Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции,
найдите |
du |
, если u = arcsin(5 x +2y) , где x = et , |
y = t . |
|
dt |
||||
|
|
|
4. Найдите производные z′x и z′y заданной неявно функции: arctg(x +z) −xy +5 = 0 .
5. Найдите дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции:
z=ex sin y .
6.Используя понятие дифференциала, найдите приближенное значение функции f (x; y) =ln(x2 + y2 ) в точке (1,04; 0,04).
7. |
Найдите |
производную |
функции z = |
|
3x3 −4y |
в |
точке |
(1; 1) в |
||
|
|
|||||||||
|
|
G |
G |
G |
|
|
x + y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
направлении вектора a = 2i |
− j . |
|
|
|
|
|
||||
8. |
Исследуйте на экстремум функцию: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
z = 2x3 −xy. |
|
|
|
|
|
9. |
Найдите |
наибольшее |
и наименьшее значения |
функции |
||||||
z =8x −2x2 +12y − y2 +3x3 |
на |
замкнутом |
множестве, |
ограниченном |
||||||
линией 2(x −2)2 +(y −6)2 |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|||