II-1
.pdf
В а р и а н т 10
1. Составьте уравнение нормали к данной кривой в точке с абсциссой x0 :
y = |
x2 |
−3x +6 |
; x |
|
=3. |
|
x2 |
0 |
|||
|
|
|
|
|
2.Вычислите приближенно значение функции y = 3 x при x =1,01.
3.Найдите наибольшее и наименьшее значения данной функции на замкнутом промежутке:
y =3 −x − |
4 |
|
; −1 ≤ x ≤ 2 . |
|
(x + |
2)2 |
|||
|
|
4. Через точку P(0,5; 2) провести прямую так, чтобы сумма длин
положительных отрезков, отсекаемых ею на координатных осях, была наименьшей.
5. Исследуйте поведение данной функции в окрестности указанной точки с помощью производных высших порядков:
y = 6ex−1 −3x −x3 ; x0 =1. |
|
|
||
6. Найдите асимптоты графика функции |
y = |
2x |
2 +5x −12 |
и точки |
|
−3x +7 |
|||
|
|
|
|
|
его пересечения с осями координат. По найденным данным схематически постройте график.
Проведите полное исследование функции и постройте ее график.
2 |
2 |
1 |
|
9. y = x2e−x . |
|
7. y = (x +1)3 |
+(x −1)3 . 8. y = 2x −1+ |
. |
|||
x +2 |
|||||
|
|
|
|
10. По графику функции постройте график ее первой производной.
В а р и а н т 11
1. Составьте уравнение нормали к данной кривой в точке с абсциссой x0 :
y = x −33 x; x0 =64 .
2. Вычислите приближенно значение функции y = x21 при
x= 0,998 .
3.Найдите наибольшее и наименьшее значения данной функции на замкнутом промежутке:
y = 3 2x2 (x −3); −1 ≤ x ≤ 6 .
4.По взаимно перпендикулярным улицам к перекрестку движутся две машины со скоростями 30 км/ч и 40 км/ч. В некоторый момент времени они находились на расстоянии 10 км от перекрестка. Через какое время после этого расстояние между машинами будет наименьшим? Решить задачу в указанных единицах размерности физических величин.
5.Исследуйте поведение данной функции в окрестности указанной точки с помощью производных высших порядков:
y = 2x + x2 −(x +1)ln(x +2); |
x0 |
= −1. |
|
|
6. Найдите асимптоты графика функции |
y = |
2 −x2 |
и точки его |
|
9x2 −4 |
||||
|
|
|
пересечения с осями координат. По найденным данным схематически постройте график.
Проведите полное исследование функции и постройте ее график.
2 |
|
|
x |
3 |
|
|
e |
x |
|
|
7. y = (1 −x2 )3 . |
8. y = |
|
|
. |
9. y = |
|
. |
|||
2 |
− |
3x |
x −2 |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
10. По графику функции постройте график ее первой производной.
В а р и а н т 12
1. Составьте уравнение нормали к данной кривой в точке с абсциссой x0 :
y = |
x3 |
+2 |
; x |
|
= 2 . |
x3 |
−2 |
0 |
|||
|
|
|
|
2. Вычислите приближенно значение y = 3 x2 при x =1,03.
3. Найдите наибольшее и наименьшее значения данной функции на замкнутом промежутке:
y = 2 |
−x2 |
+7x −7 |
; 1 |
≤ x ≤ 4 . |
|
x2 |
−2x +2 |
||||
|
|
|
4.По взаимно перпендикулярным улицам к перекрестку движутся две машины со скоростями 40 км/ч и 50 км/ч. В некоторый момент времени они находились на расстоянии 10 км от перекрестка. Через какое время после этого расстояние между машинами будет наименьшим? Решить задачу в указанных единицах размерности физических величин.
5.Исследуйте поведение данной функции в окрестности указанной точки с помощью производных высших порядков:
y =sin2 (x +1) −2x −x2 ; |
x0 = −1. |
|
|||
6. Найдите асимптоты графика функции |
y = |
x2 |
−4x −5 |
и точки его |
|
x2 |
−x −6 |
||||
|
|
|
|||
пересечения с осями координат. По найденным данным схематически постройте график.
Проведите полное исследование функции и постройте ее график.
7. y = 3 x2 −x . |
8. y = |
4x |
. |
9. y = x2 ln x . |
|
(x −2)2 |
|||||
|
|
|
|
10. По графику функции постройте график ее первой производной.
В а р и а н т 13
1. Составьте уравнение нормали к данной кривой в точке с абсциссой x0 :
y = 2x2 +3; x0 =1.
2.Вычислите приближенно значение функции y = x6 при x = 2,01.
3.Найдите наибольшее и наименьшее значения данной функции на замкнутом промежутке:
y = x −4 x +2 +8; −1 ≤ x ≤ 7 .
4.По взаимно перпендикулярным улицам к перекрестку движутся две машины со скоростями 30 км/ч и 50 км/ч. В некоторый момент времени они находились на расстоянии 10 км от перекрестка. Через какое время после этого расстояние между машинами будет наименьшим? Решить задачу в указанных единицах размерности физических величин.
5.Исследуйте поведение данной функции в окрестности указанной точки с помощью производных высших порядков:
y = x +4x +cos2 (x +2); |
x0 = −2 . |
|
|
||
6. Найдите асимптоты графика функции |
y = |
3x2 |
−7 |
и точки его |
|
2x |
+1 |
||||
|
|
|
|||
пересечения с осями координат. По найденным данным схематически постройте график.
Проведите полное исследование функции и постройте ее график.
7. y = 2 3 (x −1)2 −x . |
8. y = |
x2 |
. |
9. y = e3 x2 . |
|
(x −1)2 |
|||||
|
|
|
|
10. По графику функции постройте график ее первой производной.
В а р и а н т 14
1. Составьте уравнение нормали к данной кривой в точке с абсциссой x0 :
y = |
x2 |
+6 |
; x |
|
=1. |
x4 |
+1 |
0 |
|||
|
|
|
|
2.Вычислите приближенно значение функции y = 3 x при x =8,04 .
3.Найдите наибольшее и наименьшее значения данной функции на замкнутом промежутке:
y = 3 2(x −2)2 (5 −x); 1 ≤ x ≤5 .
4.Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был бы равен 36 см3, причем стороны основания относились бы как 1:3. Каковы должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность ящика была наименьшей? Решить задачу в указанных единицах размерности физических величин.
5.Исследуйте поведение данной функции в окрестности указанной точки с помощью производных высших порядков:
y = x2 +2ln x(x +2); x0 = −1. |
|
|
|
|
|||
6. Найдите асимптоты графика функции |
y = |
64x3 |
−27 |
и точки |
|||
16x |
2 |
+13x −3 |
|||||
|
|
|
|||||
его пересечения с осями координат. По найденным данным схематически постройте график.
Проведите полное исследование функции и постройте ее график.
7. y = |
1+ x2 |
. |
8. y = |
2x3 |
|
. |
9. y =(x +1)2 e2x . |
|
x2 − |
9 |
|||||
|
x |
|
|
|
|||
10. По графику функции постройте график ее первой производной.
В а р и а н т 15
1. Составьте уравнение нормали к данной кривой в точке с абсциссой x0 :
y = 2x + |
1 |
; x0 =1. |
|
x |
|||
|
|
2.Вычислите приближенно значение функции y = x7 при x =1,998.
3.Найдите наибольшее и наименьшее значения данной функции на замкнутом промежутке:
y = |
|
4x |
; −4 ≤ x ≤ 2 . |
|
4 |
+ x2 |
|||
|
|
4.Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был бы равен 72 см3, причем стороны основания относились бы как 1:2. Каковы должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность ящика была наименьшей? Решить задачу в указанных единицах размерности физических величин.
5.Исследуйте поведение данной функции в окрестности указанной точки с помощью производных высших порядков:
y = 4x −x2 +(x −2)sin(x −2); x0 |
= 2. |
|
|||
6. Найдите асимптоты графика функции |
y = |
8x3 +54 |
и точки его |
||
x2 |
−x −20 |
||||
|
|
|
|||
пересечения с осями координат. По найденным данным схематически постройте график.
Проведите полное исследование функции и постройте ее график.
7. y = (x −3) x . |
8. y = |
2 −x2 −2x |
. |
9. y = earctgx . |
|
||||
|
|
x +3 |
|
|
10. По графику функции постройте график ее первой производной.
В а р и а н т 16
1. Составьте уравнение нормали к данной кривой в точке с абсциссой x0 :
y = |
2(x3 |
+2) |
; x0 |
=1. |
||
3(x |
4 |
+1) |
||||
|
|
|
||||
2.Вычислите приближенно значение функции y = 3 x при x = 7,94.
3.Найдите наибольшее и наименьшее значения данной функции на замкнутом промежутке:
y = − |
x2 |
+ |
8 |
+8; |
−4 ≤ x ≤ −1. |
|
2 |
x |
|||||
|
|
|
|
4. Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был бы равен 288 см3, причем стороны основания относились бы как 1:3. Каковы должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность ящика была наименьшей? Решить задачу в указанных единицах размерности физических величин.
5. Исследуйте поведение данной функции в окрестности указанной точки с помощью производных высших порядков:
y = 6ex −x3 −3x2 −6x −5; x0 = 0 . |
|
|
|
||
6. Найдите асимптоты графика функции |
y = |
25 −9x |
2 |
и точки его |
|
7x |
+9 |
|
|||
|
|
|
|
||
пересечения с осями координат. По найденным данным схематически постройте график.
Проведите полное исследование функции и постройте ее график.
7. y = x 3 1−x . |
8. |
y = |
x2 |
−3x +2 |
. 9. |
y = 2x − |
3 |
ln(1 |
+ x2 ) . |
|
(x +1)2 |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
10. По графику функции постройте график ее первой производной.
В а р и а н т 17
1. Составьте уравнение нормали к данной кривой в точке с абсциссой x0 :
y = |
x5 |
+1 |
; x |
|
=1. |
||
|
|
|
0 |
||||
x4 |
+1 |
||||||
|
|
|
|
||||
2. Вычислите приближенно значение функции y = 4x −1 при
x= 2,56.
3.Найдите наибольшее и наименьшее значения данной функции на замкнутом промежутке:
y = 3 2x2 (x −6); −2 ≤ x ≤ 4.
4.По углам прямоугольной картонки со сторонами 2 и 3 вырезаны 4 одинаковых квадратика, что позволило согнуть края картонки и образовать коробочку в форме прямоугольного параллелепипеда. Какова сторона вырезанных квадратиков, если объем коробочки оказался наибольшим из возможных?
5.Исследуйте поведение данной функции в окрестности указанной точки с помощью производных высших порядков:
y = x2 −2x −2ex−2 ; x0 = 2 . |
|
|
|
|
||
6. Найдите асимптоты графика функции |
y = |
2x |
2 −1 |
и точки его |
||
x2 |
−2 |
|
||||
|
|
|
||||
пересечения с осями координат. По найденным данным схематически постройте график.
Проведите полное исследование функции и постройте ее график. 7. y =1− 3 (x −1)2 . 8. y = (x +2)2 (x +4)2 . 9. y =ln(1+x2 ) . 10. По графику функции постройте график ее первой производной.
В а р и а н т 18
1. Составьте уравнение нормали к данной кривой в точке с абсциссой x0 :
y = |
x16 −9 |
; x |
|
=1. |
|
||
1−5x |
2 |
0 |
|
||||
|
1 |
|
|
|
|||
2. Вычислите приближенно y = |
|
|
|
|
при x =1,016 . |
||
|
|
2x2 + x +1 |
|||||
3. Найдите наибольшее и наименьшее значения данной функции на замкнутом промежутке:
y = |
−2x(2x +3) |
; |
−2 ≤ x ≤1. |
|||
|
x2 +4x |
+5 |
|
|
||
4. Найдите на кривой y = |
3 |
, x >0 |
точку, ближайшую к точке |
|||
x |
||||||
|
|
|
|
|
||
(−2; 2).
5.Исследуйте поведение данной функции в окрестности указанной точки с помощью производных высших порядков:
y =sin2 (x +2) −x2 −4x −4; |
x0 = −2 . |
|
|||
6. Найдите асимптоты графика функции |
y = |
x2 |
−4x −21 |
и точки |
|
2x |
2 +9x +4 |
||||
|
|
|
|||
его пересечения с осями координат. По найденным данным схематически постройте график.
Проведите полное исследование функции и постройте ее график.
7. y = (x −1)3 3 x2 . |
8. y = |
x3 +4 |
. |
9. y = x −ln(1+ x2 ) . |
|
||||
|
|
x2 |
|
|
10. По графику функции постройте график ее первой производной.
В а р и а н т 19
1. Составьте уравнение нормали к данной кривой в точке с абсциссой x0 :
y =3( 3 x −2 x ); x0 =1.
2.Вычислите приближенно значение y = 3 x при x =8,06 .
3.Найдите наибольшее и наименьшее значения данной функции на замкнутом промежутке:
y = −2 |
|
x2 + |
3 |
|
; |
−5 ≤ x ≤1. |
|||
x2 |
+2x +5 |
||||||||
|
|
|
|||||||
4. Найдите на кривой y |
= |
4 |
, |
|
x >0 |
точку, ближайшую к точке |
|||
|
|
||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
||
(−7; 2).
5.Исследуйте поведение данной функции в окрестности указанной точки с помощью производных высших порядков:
y = x2 −2x −(x −1)ln x; |
x0 =1. |
|
|
||
6. Найдите асимптоты графика функции |
y = |
x2 |
−12 |
и точки его |
|
4x −3 |
|||||
|
|
|
|||
пересечения с осями координат. По найденным данным схематически постройте график.
Проведите полное исследование функции и постройте ее график.
7. y = 4x −33 (x −1)2 . 8. y = |
x4 |
|
|
1 |
|
|
. |
9. y = xex . |
|||||
(x +1)3 |
||||||
|
|
|
|
|
||
10. По графику функции постройте график ее первой производной.