II-1
.pdf
В а р и а н т 20
1. Составьте уравнение нормали к данной кривой в точке с абсциссой x0 :
y = |
|
1 |
|
; x |
0 = 2 . |
|
|
3x +2 |
1 |
|
|||||
|
|
|
|
||||
2. Вычислите приближенно |
|
значение функции y = |
при |
||||
|
x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x= 4,06 .
3.Найдите наибольшее и наименьшее значения данной функции на замкнутом промежутке:
y = 3 2(x +2)2 (x −4); 0 ≤ x ≤ 4 .
4. Точки A и B с абсциссами 1 и −1 расположены на параболе y = x2 . Найти на этой параболе точку, сумма квадратов расстояний
которой до точек A и B была бы наименьшей.
5. Исследуйте поведение данной функции в окрестности указанной точки с помощью производных высших порядков:
y = (x −1)sin(x −1) +2x −x2 ; |
x0 =1. |
|
|||
6. Найдите асимптоты графика функции |
y = |
2x2 |
−3 |
и точки его |
|
x2 |
−1 |
||||
|
|
|
|||
пересечения с осями координат. По найденным данным схематически постройте график.
Проведите полное исследование функции и постройте ее график.
7. y = (x −1)3 3 (x +1)2 . |
8. |
y = |
x −1 |
. |
9. y = −x ln2 x . |
|
|||||
|
|
|
x2 −2x |
|
|
10. По графику функции постройте график ее первой производной.
В а р и а н т 21
1. Составьте уравнение нормали к данной кривой в точке с абсциссой x0 :
y = |
x |
|
; x |
0 = −2. |
|
x2 +1 |
|||||
|
|
|
|||
2. Вычислите приближенно |
значение функции y = x7 при |
||||
x= 2,002 .
3.Найдите наибольшее и наименьшее значения данной функции на замкнутом промежутке:
y = x2 −2x + |
16 |
|
|
−13; |
2 ≤ x ≤5. |
|
x − |
1 |
|||||
|
|
|
||||
4. Точки A и B с абсциссами 2 и −2 |
расположены на параболе |
|||||
y = 12 x2 . Найти на этой параболе точку, сумма квадратов расстояний
которой до точек A и B была бы наименьшей.
5. Исследуйте поведение данной функции в окрестности указанной точки с помощью производных высших порядков:
y = x4 +4x3 +12x2 +24(x +1−ex ); x0 |
= 0 . |
|
|
||||
6. Найдите асимптоты графика функции |
y = |
2x2 |
+ |
7x −4 |
и точки |
||
5x |
− |
3 |
|||||
|
|
|
|||||
его пересечения с осями координат. По найденным данным схематически постройте график.
Проведите полное исследование функции и постройте ее график.
7. y =55 (x −1)2 − 5 x . |
8. |
y = |
x3 |
|
. |
9. y = |
3ln x |
. |
|
x + |
1 |
x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
10. По графику функции постройте график ее первой производной.
В а р и а н т 22
1. Составьте уравнение нормали к данной кривой в точке с абсциссой x0 :
y = |
x2 |
−3x +3 |
; x |
0 =3. |
|
|
|
3 |
|||
|
|
|
|
|
|
2. Вычислите приближенно |
значение |
функции y = 4x −3 при |
|||
x=1,78.
3.Найдите наибольшее и наименьшее значения данной функции на замкнутом промежутке:
y = 2 x −1 −x +2; 1 ≤ x ≤5.
4. Точки A и B с абсциссами 3 и −3 расположены на параболе y = 13 x2 . Найти на этой параболе точку, сумма квадратов расстояний
которой до точек A и B была бы наименьшей.
5. Исследуйте поведение данной функции в окрестности указанной точки с помощью производных высших порядков:
y = 6ex+1 −x3 −6x2 −15x −16; x0 |
= −1. |
|
|||
6. Найдите асимптоты графика функции |
y = |
x2 |
+2x −1 |
и точки его |
|
|
2x +1 |
|
|||
|
|
|
|
||
пересечения с осями координат. По найденным данным схематически постройте график.
Проведите полное исследование функции и постройте ее график.
7. y =3 − 3 (x −1)2 . |
|
x |
2 |
−4 |
|
9. y = xe− |
x2 |
|
8. y = |
|
. |
3 |
. |
||||
|
|
|
||||||
|
|
|
x3 |
|
|
|
||
10. По графику функции постройте график ее первой производной.
В а р и а н т 23
1. Составьте уравнение нормали к данной кривой в точке с абсциссой x0 :
y = |
|
2x |
|
; x0 =1. |
|
x |
2 +1 |
||||
|
|
||||
2. Вычислите приближенно |
значение функции y = x3 при |
||||
x= 0,98 .
3.Найдите наибольшее и наименьшее значения данной функции на замкнутом промежутке:
y = − |
x2 |
+2x + |
8 |
+5; |
−2 ≤ x ≤1. |
|
2 |
x −2 |
|||||
|
|
|
|
4. В окружность вписан прямоугольник. Какой он должен быть формы, чтобы его площадь была наибольшей?
5. Исследуйте поведение данной функции в окрестности указанной точки с помощью производных высших порядков:
y =sin x +shx −2x; x0 |
= 0 . |
|
|
||
6. Найдите асимптоты графика функции |
y = |
|
x3 +64 |
и точки |
|
8x |
2 +18x −5 |
||||
|
|
|
|||
его пересечения с осями координат. По найденным данным схематически постройте график.
Проведите полное исследование функции и постройте ее график.
7. y = 6 |
3 (x +1)2 −x2 . 8. y = |
x2 −5x +6 |
. |
9. y = |
ex |
|
. |
|
x −1 |
||||||
|
|
2x −1 |
|
|
|||
10. По графику функции постройте график ее первой производной.
В а р и а н т 24
1. Составьте уравнение нормали к данной кривой в точке с абсциссой x0 :
y = −2( 3 x +3 x ); x0 =1.
2. Вычислите приближенно значение функции y = x5 при
x= 2,997 .
3.Найдите наибольшее и наименьшее значения данной функции на замкнутом промежутке:
y =8x + |
4 |
−15; |
1 |
≤ x ≤ 2 . |
|
x2 |
2 |
||||
|
|
|
4.В сферу вписан цилиндр. Как должен относиться его высота и радиус, чтобы объем цилиндра был наибольшим?
5.Исследуйте поведение данной функции в окрестности указанной точки с помощью производных высших порядков:
y = cos x +chx; x0 |
= 0 . |
|
|
|
6. Найдите асимптоты графика функции |
y = |
x2 |
+9x +8 |
и точки его |
|
x +4 |
|||
|
|
|
|
пересечения с осями координат. По найденным данным схематически постройте график.
Проведите полное исследование функции и постройте ее график.
3 |
1−x2 |
|
|
2x +1 |
|
|
ex |
|
||
7. y = |
|
|
. |
8. y = 4 − |
|
|
. |
9. y = x + |
|
. |
|
x2 |
x2 |
x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
10. По графику функции постройте график ее первой производной.
В а р и а н т 25
1. Составьте уравнение нормали к данной кривой в точке с абсциссой x0 :
y = |
1+ |
3x2 |
; x |
0 = −1. |
|
|
3 + x2 |
||||
|
|
|
|
||
2. Вычислите приближенно |
значение функции y = 5 x2 при |
||||
x=1,03.
3.Найдите наибольшее и наименьшее значения данной функции на замкнутом промежутке:
y = 3 2(x +2)2 (x −4) +3; |
−4 ≤ x ≤ 2 . |
|||
4. Найдите на кривой y = |
2 |
, x > 0 |
точку, ближайшую к точке |
|
x |
||||
|
|
|
||
(−1; 1) .
5. Исследуйте поведение данной функции в окрестности указанной точки с помощью производных высших порядков:
y = x2 −2ex−1; x0 =1. |
|
|
|
||
6. Найдите асимптоты графика функции |
y = |
3x2 |
−10 |
и точки его |
|
4x |
2 −1 |
||||
|
|
|
|||
пересечения с осями координат. По найденным данным схематически постройте график.
Проведите полное исследование функции и постройте ее график.
7. y = (x +3) x3 . |
|
x |
2 |
|
9. y = e− |
x |
||
8. y = |
|
. |
2 |
(x −2) . |
||||
−x −2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||
10. По графику функции постройте график ее первой производной.